知識(shí)點(diǎn)大膽猜測(cè)，求例題精【例1有99個(gè)筐裝著蘋(píng)果和桃子（混裝50筐，這50筐的總蘋(píng)果數(shù)，總桃子數(shù)均不少【例2】在平面上給定一直線，半徑為1040條長(zhǎng)為1【例3】平面上有50個(gè)點(diǎn)，證明：存在51個(gè)同心足②同心圓所形成的50【例4】試在810的矩形表中填入80【例5】在1, ,1999中至多可找出多少個(gè)數(shù)，使得任意兩個(gè)找出來(lái)的數(shù)x,y，都有xy?xy【例6】ABC【例7】abc

bc

ac

ab

0

bca2

acb2

abc2【例8已知111

11 ab

a7b7大顯身123zm的最大值．在一個(gè)1010的方格表中有一個(gè)由4n個(gè)11n個(gè)

n個(gè)

”或

”型（可以旋轉(zhuǎn)）n枚舉法和反證法（一知識(shí)點(diǎn)例題精【例9】a,bab【例10】2020時(shí)，外圈所有人順時(shí)針一起走一步，如此進(jìn)行下去，直至外圈人移動(dòng)一周．10【例11】在八邊形的8個(gè)頂點(diǎn)上是否可以分別記上數(shù)12,,8，使得任意三個(gè)相鄰的頂點(diǎn)上的數(shù)的和大于13？【例12】有一個(gè)1000位的數(shù)，它由888個(gè)1和112個(gè)0【例13】a1a2a3a4a5，a1a2a3a4a5【例14】平面上有10個(gè)點(diǎn)，已知過(guò)其中任意兩點(diǎn)的直線必過(guò)第三點(diǎn)，求證：這10【例15】100個(gè)正數(shù)a1a2a3≥a100，滿足aaa 300及a2a2a2

2 a1a2a3≥100

【例16】11大顯身nn22n12不是121把1600?；ㄉ纸o100只猴子，請(qǐng)你說(shuō)明不管怎樣分，至少有4枚舉法和反證法（二知識(shí)點(diǎn)例題精【例17】將正整數(shù)1,2,3, ,15隨機(jī)分成兩部分，證明：必有兩個(gè)數(shù)屬于同一部分，且這兩個(gè)數(shù)的和為【例18】ABCD【例19】有2位同學(xué)圍成一圈，其中有些同學(xué)手中持有鮮花，鮮花總數(shù)為13每次分花按如下規(guī)則進(jìn)行：其中一位手中至少持有兩束鮮花的同學(xué)拿出兩束鮮花分給與其相鄰的左右兩位同學(xué)，每人一束，試證：在持續(xù)進(jìn)行這種分花游戲的過(guò)程中，一定會(huì)出現(xiàn)至少有7位同學(xué)手中持有鮮花的情況．圖形不可能有7條或條邊．【例21】20個(gè)點(diǎn)，任意三點(diǎn)不共線，現(xiàn)將其中10點(diǎn)涂成紅色，另外10點(diǎn)涂成藍(lán)色，試證：總可找到兩兩沒(méi)有公共點(diǎn)的10【例22】將1,2, ,8這8個(gè)數(shù)填入33棋盤(pán)的四邊周?chē)?個(gè)方格中，使這8個(gè)方格相鄰兩數(shù)之差的絕對(duì)【例23】將1,2,3, ,9這9個(gè)數(shù)分別填入33棋盤(pán)中，使相鄰（具有公共邊）兩格的數(shù)之差的絕對(duì)值之大顯身的差中，至少有3個(gè)相等．你認(rèn)為這種說(shuō)法對(duì)嗎？為什么？20次天文觀測(cè)活動(dòng)，每次有5名學(xué)生參加，任何兩名學(xué)生都至多同時(shí)參加過(guò)一次21證明方法綜合運(yùn)用（一知識(shí)點(diǎn)須要有嫻數(shù)學(xué)知識(shí)思維上的靈巧以及鍥而不舍的精神．先生就曾經(jīng)：“‘退’，足夠地‘退’，‘退’到最原始而不失去重要性的地方，是學(xué)好數(shù)學(xué)的一個(gè)訣竅!問(wèn)題往往是層層遞進(jìn)的，當(dāng)解題者一步一步地把這些局部問(wèn)題解決了，整個(gè)問(wèn)題也就解決了．用分例題精AOBCMMABCAB2BC2AOBCM【例25】設(shè)a,b,c,d為正實(shí)數(shù)，證明：11416 abc【例26】PQR和△PQR是兩個(gè)全等的正三角形，六邊形ABCDEF的邊長(zhǎng)分別記為：ABaBCbCDaDEbEFaFAb，求證a2a2a2b2b2b2 B D 【例27】p是大于3p2124【例28】n【例29】在一個(gè)88的方格棋盤(pán)的方格中，填入從1到64這64的方格，它們中所填數(shù)的差大于4【例30】nn≥4個(gè)盤(pán)子里放的糖塊總數(shù)不少于4塊，從任選的兩個(gè)盤(pán)子中各取1塊糖，放入另一個(gè)盤(pán)大顯身abx

a1b1a1b1

2aba2abb2

x

x A、B、C、D四點(diǎn)，其中任意三點(diǎn)都不在一條直線上．求證：△ABC、△ABD△ACD、△BCD中至少有一個(gè)三角形的一個(gè)內(nèi)角不超過(guò)45n4條兩兩不平行的直線，并且每個(gè)交點(diǎn)處至少有3條直線通過(guò)，則這些直線都證明方法綜合運(yùn)用（二例題精【例31】xax22bxc≥0px22qxr≥0a、b、cp、q、r都是xapx22bqxcr≥0【例32】任意10個(gè)不同的十進(jìn)制二位正整數(shù)．試證：可以從中挑出若干個(gè)數(shù)，使得這些數(shù)可以分成兩【例33】nn，n1，n2，n3，n4，n5可劃分成兩部分，n存在嗎？證明你的結(jié)論．【例34】在一平面內(nèi)給定5三角形．試證：這些三角形最多70%【例35】劇院的坐位排成9排和10列（我們規(guī)定把縱行的坐位叫做列90個(gè)觀學(xué)生，在這些最矮的學(xué)生中，個(gè)子最高的身高為a．然后，老師在每一列中，挑選個(gè)子最高的學(xué)生，他們之中最矮的為b．a(chǎn)b，ab，aba與b的關(guān)系．并弄清當(dāng)劇院里【例36】AB、C三人參加下述游戲：共有三張牌．每張寫(xiě)有一個(gè)整數(shù)．比如說(shuō)三個(gè)數(shù)是pq、r且有0pqrAB、C20、10、9個(gè)．Brq假設(shè)a1、

、

、

、

和ba2a2a2a2a2b2 a1a2a10是小于1的正數(shù)，而b1b2b10有的數(shù)1ab1ab1

b11

abcax2bxc0知識(shí)點(diǎn)例題精【例38】a

abc滿足條件a

b

c

k，求證abbccak211

【例39】a,bcd,pqabcd2pqacp20bd【例40】

x

是5x

是32xy99．求7x

【例41】x,yR，且4x25xy4y25Sx2y2

【例42】若ai,bj(i1, ,9,j1, ,10)均為正數(shù) ai bj試證可在一張910的表格里i j置不多于18個(gè)數(shù)，使得第iaij列的數(shù)的和為bjx2x15【例43】設(shè)3≤xx2x152

219【例45】在66的正方形網(wǎng)格中，把部分小方格涂成紅色．然后任意劃掉3行和3列，使得剩下的小方格中至少有1個(gè)是紅色的．那么，總共至少要涂紅多少小方格？大顯身x2xy2y21x22y2p3q32

p

知識(shí)點(diǎn)例題精x32【例46】x32【例47】a1a2、…、anna)2≤n(aa)2≤n(a2a2n a2n【例48】【例49】m【例50】

1大顯身設(shè)a1,a2, ,a2009是2009個(gè)整數(shù)，具有性質(zhì)P：任意去掉其中一個(gè)后，可把剩下的2008個(gè)數(shù)分成和相等的兩部分，每部分恰好1004個(gè)數(shù)．證明：這2009平面幾何技巧（一知識(shí)點(diǎn)例題精【例53】如圖，在直角三角形ABC中，CH為斜邊AB上的高A為圓心AC為半徑作圓ABAAD，E，交CHF（DB，F(xiàn)之間ABGABD，G在圓周上GDAB兩側(cè)．求證EHG三點(diǎn)共線．ECECFDAHG 【例54】如圖，在△ABCBAC90E在△ABC的外接圓Γ的弧BC（不含點(diǎn)A）內(nèi)AEEC．連接EC并延長(zhǎng)F，使得EACCAFBFΓD連接ED，記△DEF的外心為O AC【例55H是△ABC垂心，PHPA，PB，PCHL，HM，HNBC，CABAXYZXYZYZALHM P 【例56】A，B，C，DP都滿足不等式：PAPDPBPC，BCAD四點(diǎn)共線．【例57】ABCD外切于圓OACBDMNMNO O CB【例58】ACCEABCDEFMNACCEAMCN

3BMN3NM NM 【例59】已知CDAB為直徑的半圓OADBCEF,GACBD延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，且滿足AFBGAEBE，若AEFBEG的垂心分別為H1H2，AH1BH2K在圓OFK,G大顯身銳角△ABC中，BC，O、H△BOHAB 如圖，作△ABCACABBCABDBCEDELDLDIEACMN知識(shí)點(diǎn)欲證直線l1,l2 ,lk共點(diǎn)，先在li上取一特殊點(diǎn)，再證其余直線都過(guò)此點(diǎn)例題精【例60】設(shè)O是△ABCO關(guān)于A，B，CA，B，CAABBCC相交于一點(diǎn)．AO【例61】如圖，設(shè)平面上兩不相等的圓O1和圓O2ABO1于圓O1于CEAM2AO2交圓O2DFABEFCDAO2O1 O2E

DF【例62】如圖，已知等圓O1與圓O2A，B，OAB中點(diǎn)，過(guò)O引圓O1的弦CD交圓O2PO引圓O2EF交圓O1于QABCQEPEECAQO1DB【例63】如圖，設(shè)△ABCHABCAH為直徑的圓，分別交邊ABACMN（且與A不同A作直線LA垂直于MN．類(lèi)似地作出直LB與LCLALBLC共點(diǎn)．A NMBC BCE【例64】ABCD內(nèi)接于圓OACBDP，設(shè)△ABP，△BCP，△CDP與△DAP的外心分別是O1O2O3O4OPO1O3O2O4三直線共點(diǎn)．DO3DO3POAB【例65】已知△ABC的重心為GAGBG,CG分別關(guān)于A,B,C的角平分線對(duì)稱(chēng)的三條直線交于一點(diǎn)P．【例66】ABCDEFADBE,CF中的每一條都將六邊形分成面積相等的兩部分，大顯身如圖，圓O內(nèi)切于△ABCA1B1，C1BC，CAABAOBO，COA2B2C2A1A2B1B2C1C2共點(diǎn)．A 2 如圖，一圓交△ABCBC,CAABA1A2，B1B2，C1與C2A1B1BC,CAABA2,B2C2APO已知ABC的外心為OA90P為OBC的外接圓上且在ABC內(nèi)部的任意一點(diǎn)，以O(shè)A為直徑的圓分別與ABAC交于點(diǎn)DE，OD，OE分別與PBPC或其延長(zhǎng)線交于FGAFG三點(diǎn)共線．A P 平面幾何技巧（三知識(shí)點(diǎn)線段的同側(cè)相等時(shí)，頂點(diǎn)與線段的端點(diǎn)共圓例題精【例67】圓OABCDBC、ADE、FAOEFKDOEFNBK與直線CNM點(diǎn)．OKMN四點(diǎn)共圓．BEBECKOMNF【例68】ABCDEABDEBCEAABEAB，C，D，E四點(diǎn)共圓．ACADA，B，C，D四點(diǎn)共圓．反過(guò)來(lái)也成立．AECECD【例69】Rt△ABC中，C90，CHAB，HO1和圓O2分別是△AHC和ACBCPQ．PABQ四點(diǎn)共圓．CQPQP【例70】△ABC

ABAB邊的高線CCMNACACPQ．MNPQ四點(diǎn)共圓．AQAQPMBC【例71】⊙O1，與⊙O2相交于點(diǎn)CDD的一條直線分別與⊙O1⊙O2AB

P在⊙O1AD上，PDACM

Q在⊙O2BDBC