共享知識 分享快樂共享知識 分享快樂頁眉內(nèi)容頁眉內(nèi)容競賽專題：因式分解一、重要公式1、a2—b2=(a+b)(a—b);an—1=(a—1)(an-1+an-2+an-3+…+a2+a+1)2、a2±2ab+b2=(a士b)2;23、x+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b);4、a3+b3=(a+b)(a2—ab+b2);a3—b3=(a—b)(a2+ab+b2);二、因式分解的一般方法及考慮順序1、基本方法：提公因式法、公式法、十字相乘法、分組分解法；2、常用方法與技巧：換元法、主元法、拆項法、添項法、配方法、待定系數(shù)法。3、考慮順序：(1)提公因式法；(2)十字相乘法；(3)公式法；(4)分組分解法；1、添項拆項［例1］因式分解：(1)x4+x2+1; (2)a3+b3+c3—3abc(1)分析：x4+1若添上2x2可配成完全平方公式解：x4+x2+1=x4+2x2+1—x2=(x2+1)2—x2=(x2+1+x)(x2+1—x)(2)分析：a3+b3要配成(a+b)3應添上兩項3a2b+3ab2解：a3+b3+c3—3abc=a3+3a2b+3ab2+b3+c3—3abc—3a2b-3ab2=(a +b)3+c3—3ab(a+b+c)=(a +b+c)［(a+b)2—(a+b)c+c2］—3ab(a+b+c)=(a +b+c)(a2+b2+c2—ab—ac—bc)［例2］因式分解：(1)x3—11x+20; (2)a5+a+1(1)分析：把中項—11x拆成—16x+5x分別與x5,20組成兩組,頁眉內(nèi)容頁眉內(nèi)容共享知識 分享快樂則有公因式可提。(注意這里16是完全平方數(shù))解：x3-11x+20=x3—16x+5x+20=x(x2—16)+5(x+4)=x(x+4)(x—4)+5(x+4)=(x+4)(x2—4x+5)(2)分析：添上一a2和a2兩項，分別與a5和a+1組成兩組，正好可以用立方差公式解：a5+a+1=a5—a2+a2+a+1=a2(a3—1)+a2+a+1=a2(a—1)(a2+a+1)+a2+a+1=(a2+a+1)(a3—a2+1)2、待定系數(shù)法[例3]因式分解2x2+3xy—9y2+14x—3y+20解：???2x2+3xy—9y2=(2x—3y)(x+3y),故用待定系數(shù)法，可設(shè)2x2+3xy—9y2+14x—3y+20=(2x—3y+a)(x+3y+b),其中a,b是待定的系數(shù)，比較右邊和左邊的x和y兩項的系數(shù)，得衛(wèi)+2b=14解搞a=4、3a-3b=-3bb=5「?2x2+3xy—9y2+14x—3y+20=(2x—3y+4)(x+3y+5)[另解]原式=2x2+(3y+14)x—(9y2+3y—20),這是關(guān)于x的二次三項式常數(shù)項可分解為—(3y-4)(3y+5),用待定系數(shù)法，可設(shè)2x2+(3y+14)x—(9y2+3y—20)=[mx—(3y—4)][nx+(3y+5)]比較左、右兩邊的x2和x項的系數(shù)，得m=2,n=1???2x2+3xy-9y2+14x-3y+20=(2x-3y+4)(x+3y+5)三、重點定理共享知識 分享快樂1、余式定理：整系數(shù)多項式f(x)除以(x-a)商為q(x),余式為r,則f(x)=(x-a)q(x)+r 。當一個多項式f(x)除以(x-a)時，所得的余數(shù)等于f(a)。例如：當f(x)=xA2+x+2 除以(x-1)時，則余數(shù)=f(1)=1八2+1+2=4。2、因式定理：即為余式定理的推論之一：如果多項式f(a)=0,那么多項式f(x)必定含有因式x-a。反過來，如果f(x)含有因式x-a,那么，f(a)=0。四、填空題1、兩個小朋友的年齡分別為a和b,已知a2+ab=99,則a=,b=。2、計算：(x+6)2(x-6)2={x2-36)2。3、若x+y=4,x2+y2=10,則(x—y)2=。4、分解因式：a2—b2+4a+2b+3=。5、分解因式：4x3—31x+15=。6、分解因式：x4+1987x2+1986x+1987=。五、選擇題7、x2y—y2z+z2x—x2z+y2x+z2y—2xyz因式分解后的結(jié)果是()c共享知識 分享快樂共享知識 分享快樂頁眉內(nèi)容頁眉內(nèi)容（A）（y－z）（x＋y）（x－z） （B）（y－z）（x－y）（x＋z）（C）（y＋z）（x－y）（x＋z） （D）（y＋z）（x＋y）（x－z）8、已知 724－1可被40至50之間的兩個整數(shù)整除，則這兩個整數(shù)是（ ）。（A）41，48 （B）45，47 （C）43，48 （D）41，47n為某一自然數(shù)，代入代數(shù)式 n3－n中計算其值時，四個同學算出如下四個結(jié)果，其中正確的結(jié)果只能是（）。（A）388944 （B）388945 （C）388954 （D）388948六、將下列各式分解因式x4＋x2y2＋y4 11、x4＋412、12、x4－23x2y2＋y4 13x3＋4x2－9x3－41x＋30 15 、x3＋5x2－1816、16、x3＋3x2y＋3xy2＋2y317 、x3－3x2＋3x＋718、18、x3－9ax2＋27a2x－26a319 、x3＋6x2＋11x＋6a3＋b3＋3(a2＋b2)＋3(a＋b)＋23x3－7x＋10 22 、x3－11x2＋31x－21七、解答題23、已知x—y+4是x2—y2+mx+3y+4的一個因式，求m的值24、求方程 xy－x－y＋1=3的整數(shù)解。解：原方程可化為