線性代數(shù)59主講 March March高等數(shù)學138講（優(yōu)酷網(wǎng)線性代數(shù)59講（優(yōu)酷網(wǎng)概高等數(shù)學138講（優(yōu)酷網(wǎng)線性代數(shù)59講（優(yōu)酷網(wǎng)考研題評講 傳課 : @ March我在課程高等數(shù)學138我在課程高等數(shù)學138及線性代數(shù)59講受 各地大學生的歡 件 課程的 希望此課件僅用于你的學習。請尊的著作權(quán)，切勿在網(wǎng) 課件。謝謝 (聯(lián)(聯(lián)大) March大觀+請在優(yōu)酷網(wǎng)搜索我 + March March回憶上一講講過的一個性質(zhì)

定理5 大若向量A={a1am線性無關(guān)向量B={a1amb線性相關(guān)則向量b必能由向量組A線性表示 大且表示式是唯一的 March大 B是向量組A的一個部分組B組能線性表示全組的所有向量。川大學“多余的”向量能被組內(nèi)其他向量線 MarchBA的一個線性無關(guān)組，并且B組再增加一個向量就會成為線性相關(guān)組。我們稱這樣部分組B是向量組A的一 大A={a1am至少有一個非零向量，則A一定有一個這樣的極大無關(guān)組。大學a1≠0則{a1Aai{a1ai成為相關(guān)組，則{a1就是極大無關(guān)組，且A中任何向量都能被a1線性表示。大 如果有另一個向量，不妨設(shè)為a2，使得{a1a2線Aai，都使{a1,a2,ai}成為相關(guān)組，則{a1,a2}就是極大無關(guān)組，且A中向量都能被a1,a2線性表示。a3，使得{a1a2 大這樣一直做下去，最終會找到A的一個極大無關(guān)組B，它可以線性表示全組的向量。 March551)(向量組的極大無關(guān)組設(shè)有向量A的一個部分B={a1a2ar滿B={a1a2ar線性無關(guān)再增加一個A中的向量a(如果A中還有其他向量)的向量組{a1,a2,…,ar,a}總線性相關(guān)，則稱向量B={a1a2ar是A的一個極線性無關(guān)組(簡稱極大無關(guān)組alindependent(也稱為最大無關(guān)組)allinearlyindependent 極大無關(guān)組就是不能再擴大的線性無關(guān) March命題一個向量組A的極大無關(guān)組B與全（即它們能互相線性表示）證明：因為B組是A組的部分組，所以B組能由A組線性表示。 反之，設(shè)a是A中的任一向量 大。a在BaB組線性表示；若a不在B中，則BU{a。由定理5(2a能由B所以A中任一向量都能B組線性表示 March命題一個向量組A的極大無關(guān)組B與全組等一個向量組A的極大無關(guān)組一般不是唯一 推論 下面來討論這個問題 March先來證明一個重要結(jié)

定理B={b1bl能由向量組A={a1,…,am}線性表示，如果l> 則向量Bb1bl}一定線性相關(guān) 大 March定理設(shè)向量定理設(shè)向量B={b1bl能由向量組A={a1,…,am}線性表示，如果l>m，則向量組B={b1,…,bl}一定線性相關(guān)。 bca... 大 大bca... c11...c1l (b,...,b)(a,...,a)... ... Marchc11...c1l (b,...,b)(a,...,a)... ... 大 ml 大k1kbkb

(b,...,b)

klk March ... ... ml大欲證：有不全為零

k1(b,...,b)k1kl

k 大l>m≥R(C齊次

l

...

0

有非：... ：第30講 k1,....,k第30講 ...

x

0

March ml l c11...c1l(b,...,b)(a,...,a)... x 0 x 0 c11...

cm1cml 大1... 有非零解 ...

x

0

k1,....,kl ml l 大

k1 k1(b,...,b)(a,...,a)C k kl

llMarchc11...

x1 0

... 有非零解

k,....,

...

x

0 ml l 大

k(a,...,a)C1 1(b1,...,bl)

k大 kl0 (a,...,a) 0 0大

lb1blMarch定理設(shè)向量B={b1bl能由向量A={a1,…,am}線性表示，如果l> 大 大 推論線性無關(guān)組不能由更少的向量線性表示即：若{b1bl線性無關(guān)，且能{a1am線性表示，則必lm March推論線性無關(guān)組不能由更少的向量線性表示即：若{b1bl線性無關(guān)，且能{a1amlm 的基本單位向量{i,j,

k}就兩個等價的線性無關(guān)組所含的向量的個 March推論線性無關(guān)組不能由更少的向量線性表示即：若{b1,…,bl}線性無關(guān)，且能 大{a1am線性表示，則必lm命題個數(shù)一定相同大命題向且含有相同個數(shù)的向量 March

March March命題向且含有相同個數(shù)的向量52)(向量組的秩為向量組的秩(Rank)，記作RA。大的秩為0。 March由以上討論，我們得到以下命命題記?。号c全組等價的無關(guān)組命題記?。号c全組等價的無關(guān)組就是極大無關(guān) 設(shè)B={a1ar是向量A的一個線性無關(guān)無關(guān)組B與全組A等價 大 A的秩等rA中任意r+1個向量都線性相關(guān) MarchnxmAn行構(gòu)一個成行向量組β1β2... a12...

大A

a22...

α2m α

川大aa

an

...anmαn下面A的秩A的行向量組 March引理A有一kD≠0證(1)nxm矩陣A有一k階子ii1D

大ii 大iaki

...ij ij

March證

nxmA有一kai

...ai1 1D ai ...ai

0D所在k列的大 大學

...

k1 1 B

...

B的列向量組線性同理，D所在的行的行向量組例如 12 4

21 6矩 A

有一3112

3 6大011D 1

115

23

0

March612 46

21矩 A

3 3

D≠0 6 大A的行向量組2,34),(0,14,3),,,,線性無關(guān) 234 大136

143 大

March三秩相三秩相 一個矩陣的秩等于它的列向量組的秩(列秩也等于它的行向量組的秩(行秩) 設(shè)矩陣A的秩A有一r階子D≠0前 大所以A的列向量組的秩RA≥r=R(A)。下面證明RA=r=R(A) MarchRArR(A)，設(shè)RAr1r。則A的列向量組有r1個向量線性無關(guān)，大 由定理4(第34講 得R(A1)=r1>r= 大RArR(A)A的秩等于其列同理可證：矩陣A的秩等于其行向量組的秩 March定理大一個矩陣的秩等于它的列向量組的秩(列秩也等于它的行向量組的秩(行秩)：矩：矩陣的秩=行秩=三秩

March因此，我們可以不區(qū)分矩陣的秩和它的列量組的秩 大例如，定理2 84頁，第33講 大定理定理2矩陣B的列向量組{b1,b2,…,bl}能由矩陣A{a1a2am線性表示的充分必要條件是:R(A)=R(A,B) March定理2矩陣B的列向量組{b1b2bl能由矩陣A的列向量組{a1,a2,…,am}線性表示的充分必要條件是矩陣A的秩等于增廣矩陣(AB)的秩:R(A)=R(A,大可以用向量組的秩重新敘述為：定定理2’向量組b1b2bl能由a1a2am線性表示的充分R(a1,a2,…,am)=R(a1,a2,…,am,b1,b2,…,bl March推論1(定推論1(定理3’)若向量組b1b2bl能由定理2’向量組b1b2bl能由a1a2am線性表示的充分必要R(a1,a2,…,am)=R(a1,a2,…,am,b1,b2,…,bl量組{a1,a2,…,am}線性表示， 大RR(b1,b2,…,bl)≤R(a1,a2,…,am：你：你若能被我表示，你的秩不會超 March推論推論1b1b2bl能由a1a2am線性表示R(b1,b2,…,bl)≤R(a1,a2,…,am推論2若向量組{b1,b2,…,b}與向量 R(b1,b2,…,bl)=RR(b1,b2,…,bl)=R(a1,a2,…,am：等價：等價向量組必等 March