2023中考數(shù)學總復習難點突破：最值問題練習一、單選題1．如圖，為正方形邊上一點，，，為對角線上一個動點，則的最小值為（

）A．5 B． C． D．102．已知線段AB及直線l，在直線上確定一點，使最小，則下圖中哪一種作圖方法滿足條件（

）．A． B．C． D．3．如圖，等邊△ABC的邊長為6，AD是BC邊上的中線，M是AD上的動點，E是邊AC上一點，若AE＝2，則EM＋CM的最小值為（

）A． B．3 C．2 D．44．如圖，如圖，的半徑為2，圓心的坐標為，點是上的任意一點，，，與x軸分別交于A，B兩點，若點A、點B關于原點O對稱，則的最小值為（

）A．3 B．4 C．5 D．65．如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)y＝x2﹣2x＋c的圖象與x軸交于A、C兩點，與y軸交于點B（0，﹣3），若P是x軸上一動點，點D（0，1）在y軸上，連接PD，則PD＋PC的最小值是（

）A．4 B．2＋2 C．2 D．6．如圖，凸四邊形中，，若點M、N分別為邊上的動點，則的周長最小值為（

）A． B． C．6 D．37．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝7，AC＝9，以C為圓心、3為半徑作⊙C，P為⊙C上一動點，連接AP、BP，則AP＋BP的最小值為（

）A．7 B．5 C． D．8．如圖，在中，，cm，cm．是邊上的一個動點，連接，過點作于，連接，在點變化的過程中，線段的最小值是（

）A．1 B． C．2 D．二、填空題9．如圖，是⊙O的弦，點C在⊙O內(nèi)，，連接，若⊙O的半徑是4，則長的最小值為______．10．如圖，拋物線與x軸分別交于兩點（點在點的左側），與軸交于點，在其對稱軸上有一動點，連接，則周長的最小值是______．11．如圖所示，，半徑為2的圓內(nèi)切于．為圓上一動點，過點作、分別垂直于的兩邊，垂足為、，則的取值范圍為___________．12．如圖，直線與軸，軸分別交于和，點、分別為線段、的中點，為上一動點，當?shù)闹底钚r，點的坐標為___________．三、解答題13．如圖，正方形的邊長為4，點是正方形內(nèi)部一點，求的最小值．14．如圖，在平面直角坐標系中，三個頂點的坐標分別為，，．(1)畫，使與關于y軸對稱；(2)求的面積；(3)在y軸上作一點P，使得最短；15．拋物線分別交x軸于點，，交y軸于點C，拋物線的對稱軸與x軸相交于點D，點M為線段OC上的動點，點N為線段AC上的動點，且．(1)求拋物線的表達式；(2)線段MN，NC在數(shù)量上有何關系，請寫出你的理由；(3)在M，N移動的過程中，DM＋MC是否有最小值，如果有，請寫出理由．16．如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8，BC＝20，AD＝18，點Q為BC中點，動點P在線段AD邊上以每秒2個單位的速度由點A向點D運動，設動點P的運動時間為t秒．(1)當t為何值時，四邊形PBQD是平行四邊形，請說明理由?(2)在AD邊上是否存在一點R，使得B、Q、R、P四點為頂點的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出t的值：若不存在，請說明理由．(3)在線段PD上有一點M，且PM＝10，當點P從點A向右運動_________秒時，四邊形BCMP的周長最小，其最小值為_________．17．已知拋物線（a，b，c是常數(shù)，）的頂點為P，與x軸相交于點和點B．(1)若，①求點P的坐標；②直線（m是常數(shù)，）與拋物線相交于點M，與相交于點G，當取得最大值時，求點M，G的坐標；(2)若，直線與拋物線相交于點N，E是x軸的正半軸上的動點，F(xiàn)是y軸的負半軸上的動點，當?shù)淖钚≈禐?時，求點E，F(xiàn)的坐標．18．定義：若三角形的一條邊上的高線與這條邊相等，則稱這個三角形為“標準三角形”．如：在，于點，，則為標準三角形．(1)【概念感知】判斷：對的打“√”，錯的打“×”．①等腰直角三角形是標準三角形．（

）②頂角為的等腰三角形是標準三角形．（

）(2)【概念理解】若一個等腰三角形為標準三角形，則此三角形的三邊長之比為______．(3)【概念應用】如圖，若為標準三角形，于點，，求的最小值．(4)若一個標準三角形的其中一邊是另一邊的倍，求最小角的正弦值．19．已知，平面直角坐標系中有一個邊長為6的正方形，為線段上的動點，將沿直線對折，使點落在處．(1)如圖①，當時，求點的坐標；(2)如圖②，連接，當時．①求點的坐標；②連接，求與重疊部分的面積；(3)當點在線段（不包括端點）上運動時，請直接寫出線段的取值范圍．20．在中，，CA＝2CB．將線段CA繞點C旋轉得到線段CD．(1)如圖1，當點D落在AB的延長線上時，過點D作交AC的延長線于點E，若BC＝2，求DE的長；(2)如圖2，當點D落在CB的延長線上時，連接AD，過點C作CF⊥AB于點F，延長CF交AD于點E，連接BE，求證：；(3)如圖3，在（2）的條件下，將沿AC翻折得到，M為直線AD上一個動點．連接BM，將沿BM翻折得到．當最小時，直接寫出的值．參考答案1．A連接，交于P點∵四邊形為正方形∴A點和C點關于對稱根據(jù)“兩點之間線段最短”，可知的最小值即為線段的長.∵，∴的最小值為5故選：A

2．C解：∵點A，B在直線l的同側，∴作B點關于l的對稱點B'，連接AB'與l的交點為P，由對稱性可知BP=B'P，∴PA+PB=PB′+PA=AB′為最小故選：C．3．C解：連接BE，交AD于點M，過點E作EF⊥BC交于點F，∵△ABC是等邊三角形，AD是BC邊上的中線，∴B點與C點關于AD對稱，∴BM＝CM，∴EM＋CM＝EM＋BM＝BE，此時EM＋CM的值最小，∵AC＝6，AE＝2，∴EC＝4，在Rt△EFC中，∠ECF＝60°，∴FC＝2，EF＝2，在Rt△BEF中，BF＝4，∴BE＝2，故選：C．4．D解：連接，，，，，若要使取得最小值，則需取得最小值，連接，交于點，當點位于位置時，取得最小值，過點作軸于點，則、，，又，，，故選：D．5．A解：過點P作PJ⊥BC于J，過點D作DH⊥BC于H．∵二次函數(shù)y＝x2﹣2x+c的圖象與y軸交于點B（0，﹣3），∴c＝﹣3，∴二次函數(shù)的解析式為y＝x2﹣2x﹣3，令y＝0，x2﹣2x﹣3＝0，解得x＝﹣1或3，∴A（﹣1，0），B（0，-3），∴OB＝OC＝3，∵∠BOC＝90°，∴∠OBC＝∠OCB＝45°，∵D（0，1），∴OD＝1，BD＝4，∵DH⊥BC，∴∠DHB＝90°，設，則,∵，∴，∴，∴，∵PJ⊥CB，∴，∴，∴，∵，∴，∴DP+PJ的最小值為，∴的最小值為4．故選：A．6．C解：作點關于、的對稱點分別為點和點，連接交和于點和點，，連接、；再和上分別取一動點和（不同于點和，連接，，和，如圖1所示：，，，，又，，，，時周長最??；連接，過點作于的延長線于點，如圖示2所示：在中，，，，，，，又，，，，，，又，，，，在△中，由勾股定理得：．，故選：C．7．B如圖，在CA上截取CM，使得CM＝1，連接PM，PC，BM．∵PC＝3，CM＝1，CA＝9，∴PC2＝CM?CA，∴，∵∠PCM＝∠ACP，∴△PCM∽△ACP，∴，∴PMPA，∴AP+BP＝PM+PB，∵PM+PB≥BM，在Rt△BCM中，∵∠BCM＝90°，CM＝1，BC＝7，∴BM5，∴AP+BP≥5，∴AP+BP的最小值為5．故選：B．8．A如圖，由題意知，，在以為直徑的的上（不含點、可含點，最短時，即為連接與的交點（圖中點點），在中，，，則．，長度的最小值，故選：．9．解：如圖，延長交圓O于點D，連接，過O點作交于點E，∵，∴，∵，∴是等邊三角形，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴點C在以E為圓心，為半徑的圓上，在中，，∴，∴的最小值為，故答案為：．10．解：拋物線與x軸分別交于兩點（點在點的左側），與軸交于點，當時，解得或，即；當時，，即，由二次函數(shù)對稱性，關于對稱軸對稱，即，，，周長的最小值就是的最小值，根據(jù)兩點之間線段最短即可得到的最小值為三點共線時線段長，，周長的最小值為，故答案為：．11．解：作于，作于，如圖所示：，，，，，，，，當與相切時，取得最大和最小，①連接，，，如圖1所示：可得：四邊形是正方形，，在中，，，在中，，，即；②連接，，，如圖2所示：可得：四邊形是正方形，，由上同理可知：在中，，，在中，，，即，．故答案為：．12．解：作點關于軸的對稱點，連接交x軸于點，此時值最小，最小值為，如圖．令中，則，∴點的坐標為；令中，則，解得：，∴點的坐標為．∵點、分別為線段、的中點，∴點，點．∵點和點關于軸對稱，∴點的坐標為．設直線的解析式為，∵直線過點，，∴，解得，∴直線的解析式為．令，則，解得：，∴點P的坐標為．故答案為：．13．解：延長到，使得，則，在的內(nèi)部作射線，使得，使得，連接，，．，，，，，，，，，，，，，的值最小，最小值為．14．（1）如圖所示；即為所求；（2）的面積；（3）連接交y軸于P，點P即為所求．15．（1）把點，代入拋物線中得：，解得：，∴拋物線的解析式為：；（2），理由是：如圖1，令，則，即，∵，，∴，，，在中，，，∵，∴，∴，∴，∴；（3）在M，N移動的過程中，有最小值是，理由如下：由（2）知：，∴，即，∴，∴的最小值是的最小值，即D、M、N三點共線時，點D到AC的垂線段DN的長，如圖2，拋物線解析式為：；∴對稱軸是：，即，∴，在中，，∴，即，∴在M，N移動的過程中，有最小值是．16．（1）解：連接BP、DQ，∵BC＝20，點Q為BC中點，∴，要使四邊形PBQD是平行四邊形，則，∴，∴，此時，且，則四邊形PBQD是平行四邊形，∴當t為4時，四邊形PBQD是平行四邊形．（2）存在，；假設R點在圖中所示位置，則連接BP、QR，要使得B、Q、R、P四點為頂點的四邊形是菱形，則有，在Rt△ABP中，，∴，（舍去），此時，符合題意；∴在AD邊上存在一點R，使得B、Q、R、P四點為頂點的四邊形是菱形，且．（3）；如圖，連接BP、QM，因為，∴且，∴四邊形PBQM是平行四邊形，∴，∵四邊形BCMP的周長，∴當?shù)闹底钚r，四邊形BCMP的周長最小，作Q點關于AD的對稱點G，連接CG，則，四邊形ABQE是矩形，∴AE=BQ=10，AB=EQ=8，當C、M、G三點共線時（即M點位于圖中的F點處），的值最小等于CG，∴Rt△GQC中，，此時，四邊形BCMP的周長最小值為，∵E點為QG中點，EF∥QC，∴，∴AF=15，∴AP=15-10=5,∴．∴當點P從點A向右運動秒時，四邊形BCMP的周長最小，其最小值為．故答案為：；．17．（1）①∵拋物線與x軸相交于點，∴．又，得．∴拋物線的解析式為．∵，∴點P的坐標為．②當時，由，解得．∴點B的坐標為．設經(jīng)過B，P兩點的直線的解析式為，有解得∴直線的解析式為．∵直線（m是常數(shù)，）與拋物線相交于點M，與相交于點G，如圖所示：∴點M的坐標為，點G的坐標為．∴．∴當時，有最大值1．此時，點M的坐標為，點G的坐標為．（2）由（1）知，又，∴．∴拋物線的解析式為．∵，∴頂點P的坐標為．∵直線與拋物線相交于點N，∴點N的坐標為．作點P關于y軸的對稱點，作點N關于x軸的對稱點，如圖所示：得點的坐標為，點的坐標為．當滿足條件的點E，F(xiàn)落在直線上時，取得最小值，此時，．延長與直線相交于點H，則．在中，．∴．解得（舍）．∴點的坐標為，點的坐標為．則直線的解析式為．∴點和點．18．（1）①如圖所示，等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，∵AC是BC邊上的高，且AC=BC，∴為標準三角形．故：①√②如解圖，△ABC是等腰三角形，且∠BAC=30°，AB=AC如解圖1，過點A作AD⊥BC，垂足為D，則AD是BC邊上的高，顯然，；如解圖2，過點B作BD⊥AC，垂足為D，則BD是AC邊上的高，顯然，．故：②×（2）①如圖所示，若△ABC是等腰直角三角形，則．②如圖所示，若△ABC是等腰三角形，AB=AC，AD是BC邊上的高，且AD=BC，則△ABC為標準三角形．∵AB=AC，AD是BC邊上的高∴BD=CD∴設，則，在Rt△ABD中，∴．故：或；（3）如圖所示，過點C作CMAB，作點A關于CM的對稱點E，連接BE．∴AC=CE∴AC+BC=EC+BC∴當B、C、E三點共線時，EC+BC的最最小．此時AE=2CD=2，在Rt△ABE中，∴AC+BC的最小值為（4）由題意，AB=CD，∠CDA=∠CDB=90°∴，即，∴△ABC的最小角為∠ACB．①當時，，如圖甲所示，過點B作BE⊥AC于點E設，則∵∴∴在Rt△ADC中，∴在Rt△BDC中，在Rt△BEC中，②當時，，如圖乙所示，過點B作BE⊥AC于點E設，則在Rt△BDC中，∴在Rt△ADC中，∵∴∴在Rt△BEC中，．綜上所述，求最小角的正弦值或．

圖甲

圖乙19(1)解：如圖，連接交于過作于由對折可得：是等邊三角形，，(2)①而②如圖，連接交于交于過作交于過于由①得：設則解得：（不符合題意的根舍去）而設為則解得：∴為同理可得：AM為OB為解得：即所以即同理可得：與重疊部分的面積為：(3)如圖，由對折可得∴在以為圓心，為半徑的上運動，與不重合，連接AC，交于當重合時，取得最小值，此時所以的取值范圍為：20．（1）解：∵CA＝2CB，BC＝2，∴CA＝4，∵，∴．∵將線段CA繞點C旋轉得到線段CD，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵CA=4，BC＝2，∴，∴，∵，∴．（2）證明：過D作DG⊥CD交CE延長線于點G，∵