第三節(jié)等比數(shù)列1．等比數(shù)列的定義一般地，如果一個(gè)數(shù)列從

起，每一項(xiàng)與它的

的比等于

常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的

，公比通常用字母

(q≠0)表示．第2項(xiàng)前一項(xiàng)同一個(gè)公比q 等比數(shù)列與等差數(shù)列的定義從字面上看差不多，就是“比”與“差”的區(qū)別，但等比數(shù)列隱含著數(shù)列的各項(xiàng)不能為零，項(xiàng)與公比的正負(fù)號(hào)有著密切關(guān)系等等．2．等比數(shù)列的通項(xiàng)公式設(shè)等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公比為q，則它的通項(xiàng)an＝

.3．等比中項(xiàng)如果三個(gè)數(shù)a、G、b組成

，則G叫做a和b的等比中項(xiàng)，那么 ，即G2＝

.b2＝ac是a，b，c成等比的什么條件？a1qn－1等比數(shù)列ab

b2＝ac是a，b，c成等比的什么條件？【提示】b2＝ac是a，b，c成等比的必要不充分條件，∵當(dāng)b＝0，a，c至少有一個(gè)為零時(shí)，b2＝ac成立，但a，b，c不成等比，反之，若a，b，c成等比，則必有b2＝ac.4．等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式 (1)公式的推導(dǎo)分q＝1和q≠1兩種情況分別求解．當(dāng)q＝1時(shí)，數(shù)列為常數(shù)列，易有Sn＝na1；當(dāng)q≠1時(shí)，采用“錯(cuò)位相減法”進(jìn)行推導(dǎo)，這種方法具有一定的通性，要注意理解和掌握．(2)在利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式時(shí)，如果等比數(shù)列的公比q不確定，需分q＝1和q≠1兩種情況進(jìn)行討論． 等比數(shù)列有關(guān)性質(zhì)(1)在等比數(shù)列中，若m＋n＝p＋q，則am·an＝ap·aq(m，n，p，q∈N)．特別地，當(dāng)m＋n＝2p時(shí)，有am·an＝a.(2)間隔相同的項(xiàng)，如a1，a3，a5，…仍為等比數(shù)列，且公比為q2.(3)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比數(shù)列，公比為qn.【解析】

設(shè)公比為q.由已知得a1q2·a1q8＝2(a1q4)2，即q2＝2.因?yàn)榈缺葦?shù)列{an}的公比為正數(shù)，【答案】

C2．(2008年全國(guó)卷Ⅰ)已知等比數(shù)列{an}滿足a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，則a7＝()A．64 B．81C．128 D．243【答案】

A3．設(shè)a1＝2，數(shù)列{1＋2an}是公比為2的等比數(shù)列，則a6＝()A．64 B．160C．79.5 D．31.5【解析】1＋2an＝(1＋2a1)·2n－1，∴a6＝79.5.故選C.【答案】C【答案】

155．若等比數(shù)列的公比為2，且前4項(xiàng)和為1，則這個(gè)等比數(shù)列的前8項(xiàng)和為_(kāi)_______．【解析】

由題意可知，S8－S4＝a8＋a7＋a6＋a5＝q4(a1＋a2＋a3＋a4)＝24，所以前8項(xiàng)和等于17.【答案】

17 在公差為d(d≠0)的等差數(shù)列{an}和公比為q的等比數(shù)列{bn}中，a2＝b1＝3，a5＝b2，a14＝b3，(1)求數(shù)列{an}與{bn}的通項(xiàng)公式；(2)令cn＝ban，求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn.【思路點(diǎn)撥】由等差、比數(shù)列通項(xiàng)公式解得d和q，再利用求和公式． 已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且對(duì)任意的n∈N有an＋Sn＝n.(1)設(shè)bn＝an－1，求證：數(shù)列{bn}是等比數(shù)列；(2)設(shè)c1＝a1且cn＝an－an－1(n≥2)，求{cn}的通項(xiàng)公式． 1．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，Sn＝(an－1)(n∈N)．(1)求a1，a2；(2)求證：數(shù)列{an}是等比數(shù)列． (1)已知等比數(shù)列{an}中，有a3a11＝4a7，數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，且b7＝a7，求b5＋b9的值；(2)在等比數(shù)列{an}中，若a1a2a3a4＝1，a13a14a15a16＝8，求a41a42a43a44.【解析】

(1)∵a3a11＝a＝4a7，∵a7≠0，∴a7＝4，∴b7＝4，∵{bn}為等差數(shù)列，∴b5＋b9＝2b7＝8.(2)解法1：a1a2a3a4＝a1a1qa1q2a1q3＝aq6＝1①a13a14a15a16＝a1q12·a1q13·a1q14·a1q15＝a·q54＝8②解法2：由性質(zhì)可知，依次4項(xiàng)的積為等比數(shù)列，設(shè)公比為p，T1＝a1·a2·a3·a4＝1，T4＝a13·a14·a15·a16＝8，則T4＝T1·p3＝1·p3＝8?p＝2.∴T11＝a41·a42·a43·a44＝T1·p10＝210＝1024. 在等比數(shù)列的基本運(yùn)算問(wèn)題中，一般是建立a1，q滿足的方程組，求解方程組，但如果可利用等比數(shù)列的性質(zhì)，便可減少運(yùn)算量，提高解題的速度，要注意挖掘已知，注意“隱含”條件． 2．(1)在等比數(shù)列{an}中，a1＋a2＝324，a3＋a4＝36，求a5＋a6的值；(2)在等比數(shù)列{an}中，已知a3a4a5＝8，求a2a3a4a5a6的值．本節(jié)內(nèi)容一是等比數(shù)列的定義及中項(xiàng)，考查等比數(shù)列的判定，二是通項(xiàng)公式及求