學(xué)案4向量的應(yīng)用名師伴你行SANPINBOOK1.考點(diǎn)1考點(diǎn)2填填知學(xué)情課內(nèi)考點(diǎn)突破規(guī)律探究考綱解讀考向預(yù)測(cè)名師伴你行SANPINBOOK2.返回目錄

考綱解讀向量的應(yīng)用(1)會(huì)用向量方法解決某些簡(jiǎn)單的平面幾何問(wèn)題.(2)會(huì)用向量方法解決簡(jiǎn)單的力學(xué)問(wèn)題與其他一些實(shí)際問(wèn)題.名師伴你行SANPINBOOK3.返回目錄

考向預(yù)測(cè)

在前幾年的高考命題中,主要考查用向量知識(shí)解決夾角和距離問(wèn)題,隨著新課標(biāo)的推行和普及,在高考命題中,本學(xué)案內(nèi)容將會(huì)越來(lái)越受重視,用向量知識(shí)解決物理問(wèn)題,進(jìn)行學(xué)科之間的交叉和滲透也是將來(lái)的一種命題趨勢(shì).名師伴你行SANPINBOOK4.返回目錄

1.向量在幾何中的應(yīng)用(1)證明線(xiàn)段平行問(wèn)題，包括相似問(wèn)題，常用向量平行（共線(xiàn)）的充要條件a∥b

.(2)證明垂直問(wèn)題,常用向量垂直的充要條件a⊥b

.名師伴你行SANPINBOOK5.返回目錄

(3)求夾角問(wèn)題

.

(4)求線(xiàn)段的長(zhǎng)度，可以用向量的線(xiàn)性運(yùn)算，向量的模|a|=

或|AB|=|AB|=

.(5)直線(xiàn)的傾斜角、斜率與平行于該直線(xiàn)的向量之間的關(guān)系①設(shè)直線(xiàn)l的傾斜角為α，斜率為k，向量a=(a1,a2)平行于l，則k=

;如果已知直線(xiàn)的斜率k=，則向量(a1,a2)與向量(1,k)一定都與l

.利用夾角公式平行名師伴你行SANPINBOOK6.返回目錄

②與a=(a1,a2)平行且過(guò)P(x0,y0)的直線(xiàn)方程為

;過(guò)點(diǎn)P(x0,y0)且與向量a=(a1,a2)垂直的直線(xiàn)方程為

.(6)兩條直線(xiàn)的夾角已知直線(xiàn)l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,則n1=(A1,B1)與l1垂直，n2=(A2,B2)與l2垂直，則l1和l2的夾角便是n1與n2的夾角（或其補(bǔ)角）.設(shè)l1與l2的夾角是θ，則有cosθ=

=

.a2x-a1y+a1y0-a2x0=0a1x+a2y-a2y0-a1x0=0|cos<n1,n2>|名師伴你行SANPINBOOK7.2.向量在物理中的應(yīng)用(1)向量的加法與減法在力的分解與合成中的應(yīng)用.(2)向量在速度的分解與合成中的應(yīng)用.返回目錄

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已知向量m=(2sinx,cosx),n=(cosx,2cosx),定義函數(shù)f(x)=loga(m·n-1)(a>0,且a≠1).(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期；(2)確定函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間.考點(diǎn)1向量在三角函數(shù)中的應(yīng)用名師伴你行SANPINBOOK9.返回目錄

【分析】通過(guò)向量的數(shù)量積運(yùn)算得到一個(gè)復(fù)合函數(shù)f(x)=loga〔2sin(2x+)〕,根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行解決.【解析】(1)因?yàn)閙·n=2sinxcosx+2cos2x=sin2x+cos2x+1=2sin(2x+)+1,所以f(x)=loga〔2sin(2x+)〕，故T==π.名師伴你行SANPINBOOK10.返回目錄

(2)令g(x)=2sin(2x+),則g(x)單調(diào)遞增的正值區(qū)間是(kπ-,kπ+〕，k∈Z,g(x)單調(diào)遞減的正值區(qū)間是〔kπ+,kπ+),k∈Z.∴當(dāng)0<a<1時(shí)，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為〔kπ+,kπ+),k∈Z;當(dāng)a>1時(shí)，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(kπ-,kπ+〕，k∈Z.名師伴你行SANPINBOOK11.返回目錄

這類(lèi)問(wèn)題主要是向量與三角知識(shí)點(diǎn)的綜合.解決問(wèn)題的主要方法是:通過(guò)向量的運(yùn)算把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角問(wèn)題,再利用三角函數(shù)的知識(shí)解決.名師伴你行SANPINBOOK12.已知向量a=(sinθ,1),b=(1,cosθ),-<θ<.(1)若a⊥b,求θ;(2)求|a+b|的最大值.返回目錄

名師伴你行SANPINBOOK13.(1)a⊥ba·b=0sinθ+cosθ=0θ=-.(2)|a+b|當(dāng)sin(θ+)=1時(shí)，|a+b|有最大值,此時(shí)θ=,最大值為.返回目錄

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考點(diǎn)2向量在解析幾何中的應(yīng)用已知橢圓C的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,一條經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3,)且方向向量為v=(-2,)的直線(xiàn)l交橢圓C于A,B兩點(diǎn),交x軸于M點(diǎn),又AM=2MB.(1)求直線(xiàn)l的方程;(2)求橢圓C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)的取值范圍.名師伴你行SANPINBOOK15.返回目錄

【分析】(1)可用點(diǎn)斜式求直線(xiàn)l的方程;(2)直線(xiàn)方程與橢圓方程聯(lián)立,消元轉(zhuǎn)化為關(guān)于x(或y)的二次方程,借助判別式找出關(guān)于a,b的不等式.注意a>b的隱含條件和消元思想在解題中的作用.【解析】(1)直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)(3,),且方向向量為v=(-2,),∴l(xiāng)的方程為,化簡(jiǎn)得y=(x-1).名師伴你行SANPINBOOK16.返回目錄

(2)設(shè)直線(xiàn)y=(x-1)和橢圓=1交于兩點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),和x軸交于M(1,0),如圖所示.由AM=2MB,知y1=-2y2.將x=y+1代入b2x2+a2y2=a2b2中,得(b2+a2)y2-b2y+b2(1-a2)=0.①∴由韋達(dá)定理知名師伴你行SANPINBOOK17.返回目錄

y1+y2==-y2,②y1·y2==-2,③由②2÷③得32b2=(4b2+5a2)(a2-1).化為4b2=.④對(duì)方程①，由Δ>0，即化簡(jiǎn)得5a2+4b2>5.⑤名師伴你行SANPINBOOK18.返回目錄

將④式代入⑤可知，求得1<a2<9.注意到M(1,0)在長(zhǎng)軸上,a>1,得1<a<3.又橢圓的焦點(diǎn)在x軸上,得a2>b2.由④知4b2=.結(jié)合1<a<3,求得1<a<.因此所求橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a的取值范圍為(2,).名師伴你行SANPINBOOK19.返回目錄

(1)向量與解析幾何的綜合是高考中的熱點(diǎn),主要題型有:①向量的概念、運(yùn)算、性質(zhì)、幾何意義與解析幾何問(wèn)題的結(jié)合；②將向量作為描述問(wèn)題或解決問(wèn)題的工具；③以向量的坐標(biāo)運(yùn)算為手段，考查直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)相交、軌跡等問(wèn)題.(2)本題把解析幾何與向量、方程、函數(shù)、不等式等知識(shí)有機(jī)地結(jié)合為一體，體現(xiàn)了解析幾何的基本思想、方法和方程的數(shù)學(xué)思想.名師伴你行SANPINBOOK20.返回目錄

在直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為圓心的圓與直線(xiàn)x-y=4相切.（1）求圓O的方程；（2）圓O與x軸相交于A,B兩點(diǎn)，圓內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)P使|PA|,|PO|,|PB|成等比數(shù)列，求PA·PB的取值范圍.名師伴你行SANPINBOOK21.返回目錄

【解析】（1）依題設(shè)，圓O的半徑r等于原點(diǎn)O到直線(xiàn)x-y=4的距離，即r==2，得圓O的方程為x2+y2=4.(2)不妨設(shè)A(x1,0),B(x2,0),x1<x2.由x2=4，得A(-2,0),B(2,0).設(shè)P(x,y),由|PA|,|PO|,|PB|成等比數(shù)列，得，即x2-y2=2.名師伴你行SANPINBOOK22.返回目錄

PA·PB=(-2-x,-y)·(2-x,-y)=x2-4+y2=2(y2-1).由于點(diǎn)P在圓O內(nèi)，故x2+y2<4x2-y2=2,由此得y2<1.所以PA·PB的取值范圍為［-2,0).名師伴你行SANPINBOOK23.返回目錄

1.向量的坐標(biāo)表示，使向量成為解決解析幾何問(wèn)