大氣運動的基本方程組1第一頁，共五十七頁，2022年，8月28日

§1.1運動學基礎(chǔ)一、標量場的空間變化1、位置矢量：空間上的任一點M(x，y，z)的位置則可用一個位置矢量表示：

空間上位置的變化可用位置矢量的改變量（位移矢量）表示：

2第二頁，共五十七頁，2022年，8月28日2、標量場的梯度

任一標量場(以氣壓場p為例)可表為空間點和時間的函數(shù)：

考慮某一指定時刻(t=t0

)氣壓p在某一點的鄰域的空間變化，則p可視為只是空間變量的函數(shù)，其空間微分可表為：

定義：為氣壓梯度。

梯度算子（符）：3第三頁，共五十七頁，2022年，8月28日

氣壓p沿

（或

）方向的方向?qū)?shù)可表為：

此式清楚地表明了氣壓空間變化與氣壓梯度的關(guān)系：當＝0時，即p的方向?qū)?shù)取得最大正值；當＝/2時，4第四頁，共五十七頁，2022年，8月28日三、場變量的時間變化1、局地時間變化率

當考察在空間某個固定點（位置矢為

）上一個場變量隨時間t的變化時，所測得(或觀測到)的變化稱為該場變量在該地點上的局地（時間）變化。

場變量F（

，t）在點

上的局地變化率(單位時間內(nèi)的變化量)可定量地表為：2、個別時間變化率

個別變化率是指跟隨某個“動點”（如移動的飛機、車、5第五頁，共五十七頁，2022年，8月28日

船、空氣質(zhì)點或天氣系統(tǒng)中的特性點等）在運動過程中所歷經(jīng)（或測得）某物理量F隨時間的變化率。

其數(shù)學表達式可寫為：

與局地變化率不同，它是物理量在不同地點、不同時刻的變化率。3、平流變化率

改寫個別變化率的表達式：

＋局地時間變化率6第六頁，共五十七頁，2022年，8月28日右邊第二項的分子可表為：取(同時有)的極限：

平流變化率

其中：為動點的位置矢的時間變化率，也稱為平流速度。F的個別變化率等于其局地變化率與平流變化率之和。當動點就是空氣質(zhì)點時，氣象上通常用表示空氣運動的速度：

7第七頁，共五十七頁，2022年，8月28日其中：這樣有：上式可以看成是“個別微分算子”：作用于場變量F的結(jié)果。若令F=T,T為氣溫,則由上式有：這是局地溫度的預報方程。左邊代表局地的溫度變化率，右邊的項可視為影響局地溫度變化的強迫因子。

8第八頁，共五十七頁，2022年，8月28日上式右邊第二項（）稱為溫度平流。當<0時,稱為冷平流

，可造成降溫：當>0時,稱為暖平流

，可造成升溫：

T-T+T-T+

冷平流

暖平流例題20第九頁，共五十七頁，2022年，8月28日三、速度場的散度和渦度1、速度散度和連續(xù)方程1）速度散度考慮表面積為S、體積為τ的空氣塊（如圖），由于其表面上各點的速度分布不均勻而引起的體積變化率

高斯公式其中：速度散度第十頁，共五十七頁，2022年，8月28日考慮氣塊體積趨于零有：速度散度的物理意義：空氣微團體積的相對變化率。當垂直速度為零時，空氣運動為水平運動，空氣微團的體積變化率退化為水平面積(A)的變化率：

輻散輻合第十一頁，共五十七頁，2022年，8月28日2）連續(xù)方程3）氣壓傾向方程（P10）

第十二頁，共五十七頁，2022年，8月28日2、速度場的渦度

1）渦度：是用來描述空氣微團的旋轉(zhuǎn)特性：x分量y分量z分量第十三頁，共五十七頁，2022年，8月28日第十四頁，共五十七頁，2022年，8月28日

對于大尺度運動，垂直方向的渦度分量是主要的，天氣學上常常主要考慮垂直渦度分量z，并且約定：在北半球：ζ>0，稱之為氣旋式渦度，

ζ<0，稱之為反氣旋式渦度在南半球，情況則相反：當ζ>0(ζ<0)時，稱之為反氣旋式（氣旋式）渦度。2）速度環(huán)流沿閉合曲線L的速度環(huán)流定義為：第十五頁，共五十七頁，2022年，8月28日速度環(huán)流的物理含義：圍線L上的一群空氣質(zhì)點沿L方向運動的總體（積分）趨勢的一種定量量度。在北半球，當C>0(C<0)時，氣象上稱之為氣旋式（反氣旋式）環(huán)流。

3）速度環(huán)流與渦度的關(guān)系計算沿圍線ABCD的速度環(huán)流：AB:BC:CD:DA:第十六頁，共五十七頁，2022年，8月28日沿圍線ABCD的總速度環(huán)流則為:

由此有

:ζ為矩形中心點處的鉛直渦度分量，為矩形ABCD的面積。當矩形面積趨于零，取極限則有

可見，鉛直渦度分量ζ可解釋為水平圍線上的速度環(huán)流在面積趨于零時的極限，或者說是單位面積上的速度環(huán)流。第十七頁，共五十七頁，2022年，8月28日§1.2旋轉(zhuǎn)坐標系中的大氣運動方程1慣性坐標系與非慣性坐標系

牛頓第二定律只適用于某種特定的坐標系（或參照系）。按牛頓第二定律是否成立，可將坐標系分成：

絕對（靜止）坐標系：能使牛頓第二定律成立的坐標系。在這種坐標系中，牛頓慣性定律亦成立，故又稱之為慣性坐標系。相對于慣性坐標系作勻速直線運動的坐標系仍是慣性坐標系。

相對坐標系：相對于慣性坐標系作加速運動的坐標系，也稱非慣性坐標系。

第十八頁，共五十七頁，2022年，8月28日在氣象學上：1）通常將相對于恒星靜止、不隨地球自轉(zhuǎn)的坐標系稱為絕對坐標系（慣性坐標系或“靜止”坐標系），在絕對坐標系中觀測到的大氣運動稱為絕對運動；并且，通常略去地球繞太陽公轉(zhuǎn)引起的加速度(≈6×10-3m/s2)；2）將固定于地球上、跟隨地球自轉(zhuǎn)一起轉(zhuǎn)動的坐標系稱為相對坐標系（旋轉(zhuǎn)坐標系），它是一種非慣性坐標系,在此坐標系中觀測到的大氣運動稱為相對運動。

2慣性坐標系中的運動方程

在慣性坐標系中，按牛頓第二運動定律，單位質(zhì)量空氣徽團的運動方程可表

第十九頁，共五十七頁，2022年，8月28日

上式是在絕對坐標系中，單位質(zhì)量空氣微團所遵從的運動方程，有時稱為絕對運動方程。但是，由于在地球坐標系中（例如地球上的測站）無法直接觀測到絕對速度和絕對加速度，只能觀測到相對速度和相對加速度。因此，上式并不能直接用于研究地球大氣運動。

找出絕對速度與相對速度以及絕對加速度與相對加速度的關(guān)系？3

兩種坐標系中的速度和加速度的關(guān)系

第二十頁，共五十七頁，2022年，8月28日絕對位移相對位移第二十一頁，共五十七頁，2022年，8月28日若將由于地球自轉(zhuǎn)引起p點的移動速度（稱為牽連速度）記為，則p點的牽連位移為

空氣微團的絕對位移等于其相對位移與牽連位移之向量和若用除上式兩端，并取趨于零的極限，則有

即

絕對速度與相對速度的關(guān)系第二十二頁，共五十七頁，2022年，8月28日位于緯度處的空氣質(zhì)點的牽連速度就是該質(zhì)點隨地球自轉(zhuǎn)時在緯圈平面上以角速度作勻速圓周運動的線速度：（推導）于是有：和從個別變化率的定義出發(fā)，可直接證明，對于任一標量F,絕對坐標系中的個別變化率等于相對坐標系中的個別變化率：空氣質(zhì)點的牽連速度作業(yè)：習題21，29第二十三頁，共五十七頁，2022年，8月28日證明：對任意矢量，成立。第二十四頁，共五十七頁，2022年，8月28日令：有：（推導）即表述絕對加速度與相對加速度關(guān)系的定量關(guān)系式。絕對加速度等于相對加速度加上兩個由于坐標系旋轉(zhuǎn)而引起的附加加速度：

1）科里奧利（Coriolis）加速度：

2）向心加速度：通過已經(jīng)確定了旋轉(zhuǎn)坐標系中的相對速度與絕對速度以及相對加速度與絕對加速度的定量關(guān)系，那么我們就完全可以通過地球上探測到的風速（相對速度）來定量地表述絕對速度和絕對加速度。因而，我們可以進一步導出便于直接用于研究地球大氣運動規(guī)律的運動方程———旋坐標系中的運動方程（相對運動方程）。第二十五頁，共五十七頁，2022年，8月28日4、相對運動方程

在等號的不同邊，或稱“慣性力”，或稱“加速度”第二十六頁，共五十七頁，2022年，8月28日5、作用于空氣微團上的作用力1）氣壓梯度力考慮右圖空氣塊所受壓力：于是，對單位質(zhì)量的空氣小體而言，在x方向上所受壓力的合力為：第二十七頁，共五十七頁，2022年，8月28日Y方向的合力：Z方向的合力：綜合起來，單位質(zhì)量空氣小體所受總的壓力合力即氣壓梯度力為氣壓梯度力的性質(zhì)：1）氣壓梯度力的方向與氣壓梯度的方向相反，即與等壓面（線）垂直、指向氣壓降低的方向；2）氣壓梯度力的大小與氣壓梯度的大小成正比，與空氣密度成反比。

第二十八頁，共五十七頁，2022年，8月28日2)科里奧利（Coriolis）力:

它的存在條件：0（旋轉(zhuǎn)）；0，即有相對于地球的運動?？剖狭Γǖ剞D(zhuǎn)偏向力）的性質(zhì)：

i)－－即科氏力一定在緯圈平面上；

ii)－－科氏力只會改變運動的方向，不改變其大小，即對空氣微團不做功。

iii)對于北半球的水平運動，科氏力總是指向運動前進方向的右方（觀測者面向運動前進方向），南半球的情形則相反，指向運動前進方向的左方。

第二十九頁，共五十七頁，2022年，8月28日例如，在北半球，向南（北）流的水流會受到指向西（東）的科氏力的作用，引起水流向南（北）流的河床的西（東）岸受到更為嚴重的沖刷。又如，在北半球運行的遠程火箭，當它鉛直上升（下降）時，其軌道要向西（東）偏移；當它在水平面方向向東（西）飛行時，其軌道要向南并向上（向北并向下）偏移。3重力：地心引力與慣性離心力的合力單位質(zhì)量空氣微團所受地心引力可表為

第三十頁，共五十七頁，2022年，8月28日地心引力是指向地心的有勢力，設(shè)為地心引力勢，則地心引力可表為：

勢力的性質(zhì)：沿閉合路線積分為零，無旋。（證明）

若假定極地海平面（）上的地心引力勢為零（），則可以求得地心引力勢為：

物理圖像：地心引力的等勢面為以地心為球心的同心球面族。

第三十一頁，共五十七頁，2022年，8月28日

慣性離心力：－－垂直于地軸、從地軸指向外，也是一種有勢力。設(shè)其勢函數(shù)為，則可將慣性離心力表為：（證明）若假設(shè)地軸上（）的慣性離心力勢為零（），則可求得

物理圖像：慣性離心力的等勢面為以地軸為軸的同軸圓柱面族。

這樣，重力加速度可表為

：重力位勢：

第三十二頁，共五十七頁，2022年，8月28日由地心引力和慣性離心力的性質(zhì)可知，重力的大小隨所處的緯度和高度不同而不同。在同一海拔高度上，重力加速度隨緯度增大而增大，赤道上最小，極地最大；在同一緯度，重力加速度隨海拔高度增大而減小。計算重力的近似公式（1930年國際重力公式）可表為：這里為緯度，z為海拔高度（以米為單位）。由于重力加速度隨緯度和高度的變化很小，它與地心引力的夾角也很小，故氣象上一般將重力加速度視為常數(shù)，取g≈9.81

米/秒2；并近似地視地球為半徑a≈6371公里的球形，視等重力位勢面為同心球面族。

單位？第三十三頁，共五十七頁，2022年，8月28日重力位勢則可近似估算為（假定）：（推導）4分子粘性力（內(nèi)摩擦力）

其中，為運動學粘性系數(shù)，為動力粘性系數(shù)。大氣是一種低粘流體，除了貼近地面幾厘米厚度的薄層，因為空氣運動速度垂直梯度很大，必須考慮分子粘性作用的影響外，一般都可忽略分子粘性力的作用。

第三十四頁，共五十七頁，2022年，8月28日最后，矢量形式的相對運動方程可改寫為

第三十五頁，共五十七頁，2022年，8月28日§1.3運動方程的分量形式

1球坐標系：原點O卻在地心

λ－經(jīng)度；

Ф－緯度

r－

距球心距離－為沿緯圈指向東－沿經(jīng)圈指向北－沿徑向指向天頂?shù)膯挝幌蛄俊?/p>

第三十六頁，共五十七頁，2022年，8月28日沿各方向的坐標線元分別為：在球坐標中，若將空氣微團的運動速度矢表為則有：

，第三十七頁，共五十七頁，2022年，8月28日2球坐標系的個別微分算子對任意一個場變量，有：

兩邊除以dt，取極限，并利用球坐標各速度分量的表達式有：

所以：球坐標個別微分算子：第三十八頁，共五十七頁，2022年，8月28日梯度算子：

要求得運動方程在球坐標系中的分量方程，就得先將運動方程中向量形式的各項分別分解到球坐標系的各個方向上，即求出各項的分量式。

3球坐標系加速度的分量形式

(1)相對加速度可寫為：

問題歸結(jié)為求單位向量、和的個別變化率的分量表達式。

第三十九頁，共五十七頁，2022年，8月28日

①

由于所以：考慮單位矢量隨經(jīng)度λ的變化：

第四十頁，共五十七頁，2022年，8月28日

大?。河谑牵旱姆较颍吹姆较颍┡c方向相反，指向地軸。

第四十一頁，共五十七頁，2022年，8月28日于是，有②③（還有簡便的推導）

第四十二頁，共五十七頁，2022年，8月28日其中，包含因子1/r的項是由于地球的球面性引起的曲率項，稱為“曲率加速度”。4各作用力在球坐標系中的分量(1)氣壓梯度力的分量形式

利用球坐標系中的梯度算子，可得氣壓梯度力在球坐標系中分解式為:(2)科氏力其中，地轉(zhuǎn)角速度可表為：

第四十三頁，共五十七頁，2022年，8月28日各分量可分別表為：于是，在球坐標系中，科氏力可表為其中稱為科氏參數(shù)。

第四十四頁，共五十七頁，2022年，8月28日（3）重力和分子粘性力重力只在垂直方向有分量：分子粘性力可形式上表為：

5球坐標系的運動方程的分量形式，第四十五頁，共五十七頁，2022年，8月28日等式右邊的含因子1/r的項源于球坐標系中的“曲率加速度”，可稱為“曲率慣性力”，可以證明該力與速度垂直，即其對空氣微團不做功。由于90%以上的大氣都集中在離地面20公里以下的薄層內(nèi)，有時采用郭曉嵐稱謂的“薄層近似”，即在上述方程中，當r作為系數(shù)出現(xiàn)時，近似地取于是薄層近似下的運動方程可表為:

第四十六頁，共五十七頁，2022年，8月28日6球坐標系的速度散度和渦度球坐標系中的單位向量的基本微分公式可表為：及

第四十七頁，共五十七頁，2022年，8月28日利用上述微分關(guān)系，可得到球坐標系中速度場的散度：類似地，速度場的渦度可表為球坐標系中的拉普拉斯算子可表為

第四十八頁，共五十七頁，2022年，8月28日6球坐標系得連續(xù)方程

將球坐標系中的散度表達式代入上連續(xù)方程，可將球坐標系中的質(zhì)量連續(xù)方程寫為：或：

另一種推導方法：

小體積得空氣質(zhì)量增加＝凈的質(zhì)量流入

第四十九頁，共五十七頁，2022年，8月28日

§1.4局地直角坐標系中的運動方程與連續(xù)方程

1局地直角坐標系局地直角坐標系的坐標原點位于海平面上指定地點，x軸沿緯線指向東，y軸沿經(jīng)線指向北，z軸指向天頂。三個坐標軸向的單位向量分別為和，它們與球坐標系中沿和方向的單位矢的指向完全相同，所不同的是，現(xiàn)在，在坐標原點附近的“局部地區(qū)”（研究問題的區(qū)域），單位矢量將視為不隨地點的改變而改變的單位矢量。（當范圍不大時，即局地看成一個平面，而不是球面）

第五十頁，共五十七頁，2022年，8月28日2局地直角坐標系中的運動方程與連續(xù)方程

在球坐標系的基礎(chǔ)上，假定：1）略去球面性所產(chǎn)生的曲率項。

2）形式上，令空氣運動的速度分量可表為：

，第五十一頁，共五十七頁，2022年，8月28日局地直角坐標系中的運動方程可表為：局地直角坐標系中的連續(xù)方程為：或

第五十二頁，共五十七頁，2022年，8月28日β-平面近似采用局地直角坐標系，忽略地球的球面性，可以使方程形式變得簡單，但是，以后將會看到，如果完全略去地球的球面性，取科氏參數(shù)為常數(shù)（即所謂的f-平面近似），除了精度降低外，還會帶來一個嚴重的動力學缺陷，即消除了氣象學中非常重要的一種波動———羅斯貝（Rossby）波的生存條件。為了彌補這種缺陷，可采用所謂的β-平面近似