第十三章期權(quán)的定價(jià)

第一節(jié)

期權(quán)價(jià)格的特性

一、

內(nèi)在價(jià)值和時(shí)間價(jià)值期權(quán)價(jià)格等于期權(quán)的內(nèi)在價(jià)值加上時(shí)間價(jià)值。（一）期權(quán)的內(nèi)在價(jià)值期權(quán)的內(nèi)在價(jià)值（IntrinsicValue）是指多方行使期權(quán)時(shí)可以獲得的收益的現(xiàn)值。歐式看漲期權(quán)的內(nèi)在價(jià)值為(ST-X)的現(xiàn)值。無(wú)收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)的內(nèi)在價(jià)值等于S-Xe-r(T-t),而有收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)的內(nèi)在價(jià)值等于S-D-Xe-r(T-t)。無(wú)收益資產(chǎn)美式看漲期權(quán)價(jià)格等于歐式看漲期權(quán)價(jià)格,其內(nèi)在價(jià)值也就等于S-Xe-r(T-t)。有收益資產(chǎn)美式看漲期權(quán)的內(nèi)在價(jià)值也等于S-D-Xe-r(T-t)。無(wú)收益資產(chǎn)歐式看跌期權(quán)的內(nèi)在價(jià)值為Xe-r(T-t)-S，有收益資產(chǎn)歐式看跌期權(quán)的內(nèi)在價(jià)值為Xe-r(T-t)+D-S。無(wú)收益資產(chǎn)美式期權(quán)的內(nèi)在價(jià)值等于X-S，有收益資產(chǎn)美式期權(quán)的內(nèi)在價(jià)值等于X+D-S。當(dāng)然，當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)市價(jià)低于協(xié)議價(jià)格時(shí)，期權(quán)多方是不會(huì)行使期權(quán)的，因此期權(quán)的內(nèi)在價(jià)值應(yīng)大于等于0。（二）期權(quán)的時(shí)間價(jià)值期權(quán)的時(shí)間價(jià)值（TimeValue）是指在期權(quán)有效期內(nèi)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格波動(dòng)為期權(quán)持有者帶來(lái)收益的可能性所隱含的價(jià)值。顯然，標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的波動(dòng)率越高，期權(quán)的時(shí)間價(jià)值就越大。此外，期權(quán)的時(shí)間價(jià)值還受期權(quán)內(nèi)在價(jià)值的影響。以無(wú)收益資產(chǎn)看漲期權(quán)為例，當(dāng)S=Xe-r(T-t)時(shí)，期權(quán)的時(shí)間價(jià)值最大。當(dāng)S-Xe-r(T-t)的絕對(duì)值增大時(shí)，期權(quán)的時(shí)間價(jià)值是遞減的，如圖13.1所示。二、

期權(quán)價(jià)格的影響因素（一）標(biāo)的資產(chǎn)的市場(chǎng)價(jià)格與期權(quán)的協(xié)議價(jià)格（二）期權(quán)的有效期

（三）標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的波動(dòng)率（四）無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率（五）標(biāo)的資產(chǎn)的收益三、期權(quán)價(jià)格的上、下限（一）期權(quán)價(jià)格的上限1．看漲期權(quán)價(jià)格的上限在任何情況下，期權(quán)的價(jià)值都不會(huì)超過(guò)標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格。因此，對(duì)于對(duì)于美式和歐式看跌期權(quán)來(lái)說(shuō)，標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格都是看漲期權(quán)價(jià)格的上限：

（13.1）其中，c代表歐式看漲期權(quán)價(jià)格，C代表美式看漲期權(quán)價(jià)格，S代表標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格。2．看跌期權(quán)價(jià)格的上限由于美式看跌期權(quán)多頭執(zhí)行期權(quán)的最高價(jià)值為協(xié)議價(jià)格（X），因此，美式看跌期權(quán)價(jià)格（P）的上限為X：

（13.2）

由于歐式看跌期權(quán)只能在到期日（T時(shí)刻）執(zhí)行，在T時(shí)刻，其最高價(jià)值為X，因此，歐式看跌期權(quán)價(jià)格（p）不能超過(guò)X的現(xiàn)值：

（13.3）其中，r代表T時(shí)刻到期的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率，t代表現(xiàn)在時(shí)刻。（二）期權(quán)價(jià)格的下限1．歐式看漲期權(quán)價(jià)格的下限（1）無(wú)收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)價(jià)格的下限為了推導(dǎo)出期權(quán)價(jià)格下限，我們考慮如下兩個(gè)組合：組合A：一份歐式看漲期權(quán)加上金額為的現(xiàn)金；組合B：一單位標(biāo)的資產(chǎn)T時(shí)刻，組合A的價(jià)值為：

而組合B的價(jià)值為ST。由于，因此，在t時(shí)刻組合A的價(jià)值也應(yīng)大于等于組合B，即:c+Xe-r(T-t)≥S

所以c≥S-Xe-r(T-t)

由于期權(quán)的價(jià)值一定為正，因此無(wú)收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)價(jià)格下限為（13.4）（2）有收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)價(jià)格的下限我們只要將上述組合A的現(xiàn)金改為+D，并經(jīng)過(guò)類似的推導(dǎo)，就可得出有收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)價(jià)格的下限為：

（13.5）

2．歐式看跌期權(quán)價(jià)格的下限（1）無(wú)收益資產(chǎn)歐式看跌期權(quán)價(jià)格的下限考慮以下兩種組合：組合C：一份歐式看跌期權(quán)加上一單位標(biāo)的資產(chǎn)組合D：金額為的現(xiàn)金在T時(shí)刻，組合C的價(jià)值為：max（ST，X）假定組合D的現(xiàn)金以無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率投資，則在T時(shí)刻組合D的價(jià)值為X。由于組合C的價(jià)值在T時(shí)刻大于等于組合D，因此組合C的價(jià)值在t時(shí)刻也應(yīng)大于等于組合D，即：

由于期權(quán)權(quán)價(jià)值一一定為正正，因此此無(wú)收益益資產(chǎn)歐歐式看跌跌期權(quán)價(jià)價(jià)格下限限為：（13.6）（2）有有收益資資產(chǎn)歐式式看跌期期權(quán)價(jià)格格的下限限我們只要要將上述述組合D的現(xiàn)金金改為+D就可得到到有收益益資產(chǎn)歐歐式看跌跌期權(quán)價(jià)價(jià)格的下下限為：：（13.7）從以上分分析可以以看出，，歐式期期權(quán)的下下限實(shí)際際上就是是其內(nèi)在在價(jià)值。。四、提前前執(zhí)行美美式期權(quán)權(quán)的合理理性（一）提提前執(zhí)行行無(wú)收益益資產(chǎn)美美式期權(quán)權(quán)的合理理性1．看漲漲期權(quán)由于現(xiàn)金金會(huì)產(chǎn)生生收益，，而提前前執(zhí)行看看漲期權(quán)權(quán)得到的的標(biāo)的資資產(chǎn)無(wú)收收益，再再加上美美式期權(quán)權(quán)的時(shí)間間價(jià)值總總是為正正的，因因此我們們可以直直觀地判判斷提前前執(zhí)行是是不明智智的。為了精確確地推導(dǎo)導(dǎo)這個(gè)結(jié)結(jié)論，我我們考慮慮如下兩兩個(gè)組合合：組合A：：一份美美式看漲漲期權(quán)加加上金額額為的的現(xiàn)現(xiàn)金組合B：：一單位位標(biāo)的資資產(chǎn)T時(shí)刻組組合A的的價(jià)值為為max（ST，X），，而組合合B的價(jià)價(jià)值為ST，可見(jiàn)組組合A在在T時(shí)刻刻的價(jià)值值一定大大于等于于組合B。即如如果不提提前執(zhí)行行，組合合A的價(jià)價(jià)值一定定大于等等于組合合B。若在時(shí)時(shí)刻提前前執(zhí)行，，則此時(shí)時(shí)組合A的價(jià)值值為：，而組合合B的價(jià)價(jià)值為。。由于因因此此即：若提提前執(zhí)行行美式期期權(quán)，組組合A的的價(jià)值將將小于組組合B。。比較兩種種情況可可得：提提前執(zhí)行行無(wú)收益益資產(chǎn)美美式看漲漲期權(quán)是是不明智智的。因因此，同同一種無(wú)無(wú)收益標(biāo)標(biāo)的資產(chǎn)產(chǎn)的美式式看漲期期權(quán)和歐歐式看漲漲期權(quán)的的價(jià)值是是相同的的，即：：C=c（（13.8）根據(jù)（13.4），我我們可以以得到無(wú)無(wú)收益資資產(chǎn)美式式看漲期期權(quán)價(jià)格格的下限限：（13.9）2．看跌跌期權(quán)為考察提提前執(zhí)行行無(wú)收益益資產(chǎn)美美式看跌跌期權(quán)是是否合理理，我們們考察如如下兩種種組合：：組合A：：一份美美式看跌跌期權(quán)加加上一單單位標(biāo)的的資產(chǎn)組合B：：金額為為的的現(xiàn)現(xiàn)金若不提前前執(zhí)行，，則到T時(shí)刻，，組合A的價(jià)值值為max（X，ST），組合合B的價(jià)價(jià)值為X，組合合A的價(jià)價(jià)值大于于等于組組合B。。若在t時(shí)時(shí)刻提前前執(zhí)行，，則組合合A的價(jià)價(jià)值為X，組合合B的價(jià)價(jià)值為Xe-(T-τ)，因此組組合A的的價(jià)值也也高于組組合B。。故：是否否提前執(zhí)執(zhí)行無(wú)收收益資產(chǎn)產(chǎn)的美式式看跌期期權(quán)，主主要取決決于期權(quán)權(quán)的實(shí)值值額（X-S））、無(wú)風(fēng)風(fēng)險(xiǎn)利率率水平等等因素。。一般來(lái)來(lái)說(shuō)，只只有當(dāng)S相對(duì)于于X來(lái)說(shuō)說(shuō)較低，，或者r較高時(shí)時(shí)，提前前執(zhí)行無(wú)無(wú)收益資資產(chǎn)美式式看跌期期權(quán)才可可能是有有利的。。由于美式式期權(quán)可可提前執(zhí)執(zhí)行，因因此其下下限比（（13.6）更更嚴(yán)格：：（13.10））（二））提前執(zhí)執(zhí)行有收收益資產(chǎn)產(chǎn)美式期期權(quán)的合合理性1．看漲漲期權(quán)由于在無(wú)無(wú)收益的的情況下下，不應(yīng)應(yīng)提前執(zhí)執(zhí)行美式式看漲期期權(quán)，據(jù)據(jù)此可知知：在有有收益情情況下，，只有在在除權(quán)前前的瞬時(shí)時(shí)時(shí)刻提提前執(zhí)行行美式看看漲期權(quán)權(quán)方有可可能是最最優(yōu)的。。我們先來(lái)來(lái)考察在在最后一一個(gè)除權(quán)權(quán)日（tn）提前執(zhí)執(zhí)行的條條件。如如果在tn時(shí)刻提前前執(zhí)行，，則期權(quán)權(quán)多方獲獲得Sn-X的收收益。若若不提前前執(zhí)行，，則標(biāo)的的資產(chǎn)價(jià)價(jià)格將由由于除權(quán)權(quán)降到Sn-Dn。根據(jù)式（（13.5），，在tn時(shí)刻期權(quán)權(quán)的價(jià)值值（Cn）因此，如如果：即：（13.11））則在tn提前執(zhí)行行是不明明智的。。相反，如如果（13.12））則在tn提前執(zhí)執(zhí)行有有可能能是合合理的的。實(shí)實(shí)際上上，只只有當(dāng)當(dāng)tn時(shí)刻標(biāo)標(biāo)的資資產(chǎn)價(jià)價(jià)格足足夠大大時(shí)，，提前前執(zhí)行行美式式看漲漲期權(quán)權(quán)才是是合理理的。。同樣，，在ti時(shí)刻不不能提提前執(zhí)執(zhí)行有有收益益資產(chǎn)產(chǎn)的美美式看看漲期期權(quán)條條件是是：（13.13））由于存存在提提前執(zhí)執(zhí)行更更有利利的可可能性性，有有收益益資產(chǎn)產(chǎn)的美美式看看漲期期權(quán)價(jià)價(jià)值大大于等等于歐歐式看看漲期期權(quán)，，其下下限為為：（13.14））2．看看跌期期權(quán)由于提提前執(zhí)執(zhí)行有有收益益資產(chǎn)產(chǎn)的美美式期期權(quán)意意味著著自己己放棄棄收益益權(quán)，，因此此收益益使美美式看看跌期期權(quán)提提前執(zhí)執(zhí)行的的可能能性變變小，，但還還不能能排除除提前前執(zhí)行行的可可能性性。通過(guò)同同樣的的分析析，我我們可可以得得出美美式看看跌期期權(quán)不不能提提前執(zhí)執(zhí)行的的條件件是：：由于美美式看看跌期期權(quán)有有提前前執(zhí)行行的可可能性性，因因此其其下限限為：：（13.15））五、期期權(quán)價(jià)價(jià)格曲曲線的的形狀狀（一））看漲漲期權(quán)權(quán)價(jià)格格曲線線無(wú)收益益資產(chǎn)產(chǎn)看漲漲期權(quán)權(quán)價(jià)格格曲線線如圖圖13-2所示示。有收益益資產(chǎn)產(chǎn)看漲漲期權(quán)權(quán)價(jià)格格曲線線與圖圖13.2類似，，只是是把Xe-r(T-t)換成Xe-r(T-t)+D。（二））看跌跌期權(quán)權(quán)價(jià)格格曲線線1．歐歐式看看跌期期權(quán)價(jià)價(jià)格曲曲線無(wú)收益益資產(chǎn)產(chǎn)歐式式看跌跌期權(quán)權(quán)價(jià)格格曲線線如圖圖13-3所示示。圖13.3無(wú)無(wú)收收益資資產(chǎn)歐歐式看看跌期期權(quán)價(jià)價(jià)格曲曲線有收益益資產(chǎn)產(chǎn)期權(quán)權(quán)價(jià)格格曲線線與圖圖13.3相似似，只只是把把換為2．美美式看看跌期期權(quán)價(jià)價(jià)格曲曲線無(wú)收益益資產(chǎn)產(chǎn)美式式看跌跌期權(quán)權(quán)價(jià)格格曲線線如圖圖13-4所示示。有收益益美式式看跌跌期權(quán)權(quán)價(jià)格格曲線線與圖圖13.4相似似，只只是把把X換換成D+X。六、看看漲期期權(quán)與與看跌跌期權(quán)權(quán)之間間的平平價(jià)關(guān)關(guān)系（一））歐式式看漲漲期權(quán)權(quán)與看看跌期期權(quán)之之間的的平價(jià)價(jià)關(guān)系系1．無(wú)無(wú)收益益資產(chǎn)產(chǎn)的歐歐式期期權(quán)考慮如如下兩兩個(gè)組組合：：組合A：一一份歐歐式看看漲期期權(quán)加加上金金額為為的的現(xiàn)金金組合B：一一份有有效期期和協(xié)協(xié)議價(jià)價(jià)格與與看漲漲期權(quán)權(quán)相同同的歐歐式看看跌期期權(quán)加加上一一單位位標(biāo)的的資產(chǎn)產(chǎn)在期權(quán)權(quán)到期期時(shí)，，兩個(gè)個(gè)組合合的價(jià)價(jià)值均均為max(ST,X)。由由于歐歐式期期權(quán)不不能提提前執(zhí)執(zhí)行，，因此此兩組組合在在時(shí)刻刻t必必須具具有相相等的的價(jià)值值，即即：（13.16））這就是是無(wú)收收益資資產(chǎn)歐歐式看看漲期期權(quán)與與看跌跌期權(quán)權(quán)之間間的平平價(jià)關(guān)關(guān)系。。它表表明歐歐式看看漲期期權(quán)的的價(jià)值值可根根據(jù)相相同協(xié)協(xié)議價(jià)價(jià)格和和到期期日的的歐式式看跌跌期權(quán)權(quán)的價(jià)價(jià)值推推導(dǎo)出出來(lái)，，反之之亦然然。如果式（13.16）不成立立，則存在在無(wú)風(fēng)險(xiǎn)套套利機(jī)會(huì)。。套利活動(dòng)動(dòng)將最終促促使式（13.16）成立。。2．有收益益資產(chǎn)歐式式期權(quán)在標(biāo)的資產(chǎn)產(chǎn)有收益的的情況下，，我們只要要把前面的的組合A中中的現(xiàn)金改改為+D，我我們就可推推導(dǎo)有收益益資產(chǎn)歐式式看漲期權(quán)權(quán)和看跌期期權(quán)的平價(jià)價(jià)關(guān)系：（13.17）（二）美式式看漲期權(quán)權(quán)和看跌期期權(quán)之間的的關(guān)系1．無(wú)收益益資產(chǎn)美式式期權(quán)。由于P>p,從式（（13.16）中我我們可得：：對(duì)于無(wú)收益益資產(chǎn)看漲漲期權(quán)來(lái)說(shuō)說(shuō)，由于c=C，因因此：（13.18）為了推出C和P更嚴(yán)密的關(guān)關(guān)系，我們們考慮以下下兩個(gè)組合合：組合A：一一份歐式看看漲期權(quán)加加上金額為為X的現(xiàn)金金組合B：一一份美式看看跌期權(quán)加加上一單位位標(biāo)的資產(chǎn)產(chǎn)如果美式期期權(quán)沒(méi)有提提前執(zhí)行，，則在T時(shí)時(shí)刻組合B的價(jià)值為為max(ST,X)，而而此時(shí)組合合A的價(jià)值值為。因此此組合A的的價(jià)值大于于組合B。。如果美式期期權(quán)在τ時(shí)刻提前執(zhí)執(zhí)行，則在在τ時(shí)刻，組合合B的價(jià)值值為X，而而此時(shí)組合合A的價(jià)值值大于等于于X。因此此組合A的的價(jià)值也大大于組合B。這就是說(shuō)，，無(wú)論美式式組合是否否提前執(zhí)行行，組合A的價(jià)值都都高于組合合B，因此此在t時(shí)刻刻，組合A的價(jià)值也也應(yīng)高于組組合B，即即：C+X>P+S由于c=C，因此，，C+X>P+SC-P>S-X結(jié)合式（13.18），我們們可得：（13.19）由于美式期期權(quán)可能提提前執(zhí)行，，因此我們們得不到美美式看漲期期權(quán)和看跌跌期權(quán)的精精確平價(jià)關(guān)關(guān)系，但我我們可以得得出結(jié)論：：無(wú)收益美美式期權(quán)必必須符合式式（13.19）的的不等式。。2．有收益益資產(chǎn)美式式期權(quán)同樣，我們們只要把組組合A的現(xiàn)現(xiàn)金改為D+X，就就可得到有有收益資產(chǎn)產(chǎn)美式期權(quán)權(quán)必須遵守守的不等式式：S-D-XC-PS-D-Xe-r（T-t）（13.20）第二節(jié)期期權(quán)組合的的盈虧分布布期權(quán)交易的的精妙之處處在于可以以通過(guò)不同同的期權(quán)品品種構(gòu)成眾眾多具有不不同盈虧分分布特征的的組合。投資者可以以根據(jù)各自自對(duì)未來(lái)標(biāo)標(biāo)的資產(chǎn)現(xiàn)現(xiàn)貨價(jià)格概概率分布的的預(yù)期，以以及各自的的風(fēng)險(xiǎn)--收益偏好，，選擇最適適合自己的的期權(quán)組合合。在以下的分分析中同組組合中的期期權(quán)標(biāo)的資資產(chǎn)均相同同。一、標(biāo)的資資產(chǎn)與期權(quán)權(quán)組合通過(guò)組建標(biāo)標(biāo)的資產(chǎn)與與各種期權(quán)權(quán)頭寸的組組合，我們們可以得到到與各種期期權(quán)頭寸本本身的盈虧虧圖形狀相相似但位置置不同的盈盈虧圖，如如圖13.5表示。。圖13.5（a）反反映了標(biāo)的的資產(chǎn)多頭頭與看漲期期權(quán)空頭組組合的盈虧虧圖，該組組合稱為有有擔(dān)保的看看漲期權(quán)（（CoveredCall）空頭。。標(biāo)的資產(chǎn)產(chǎn)空頭與看看漲期權(quán)多多頭組合的的盈虧圖，，與有擔(dān)保保的看漲期期權(quán)空頭剛剛好相反。。圖13.5（b）反映了標(biāo)標(biāo)的資產(chǎn)多多頭與看跌跌期權(quán)多頭頭組合的盈盈虧圖，標(biāo)標(biāo)的資產(chǎn)空空頭與看跌跌期權(quán)空頭頭組合的盈盈虧圖剛好好相反。從從圖13.5可以看出,組合的盈虧虧曲線可以以直接由構(gòu)構(gòu)成這個(gè)組組合的各種種資產(chǎn)的盈盈虧曲線疊疊加而來(lái)。。二、差價(jià)組合差價(jià)（Spreads）組合合是指持有有相同期限限、不同協(xié)協(xié)議價(jià)格的的兩個(gè)或多多個(gè)同種期期權(quán)頭寸組組合（即同同是看漲期期權(quán)，或者者同是看跌跌期權(quán)），，其主要類類型有牛市市差價(jià)組合合、熊市差差價(jià)組合、、蝶式差價(jià)價(jià)組合等。。1．牛市差價(jià)（（BullSpreads）組合。。牛市差價(jià)組組合是由一一份看漲期期權(quán)多頭與與一份同一一期限較高高協(xié)議價(jià)格格的看漲期期權(quán)空頭組組成。由于于協(xié)議價(jià)格格越高，期期權(quán)價(jià)格越越低，因此此構(gòu)建這個(gè)個(gè)組合需要要初始投資資。牛市差價(jià)組組合牛市差價(jià)組組合在不同同情況下的的盈虧可用用表13.2表示示。。表13.2牛市市差差價(jià)價(jià)期期權(quán)權(quán)的的盈盈虧虧狀狀況況表13.2結(jié)果果可可用用圖圖13.6表示示，，從從圖圖可可看看出出，，到到期期日日現(xiàn)現(xiàn)貨貨價(jià)價(jià)格格升升高高對(duì)對(duì)組組合合持持有有者者較較有有利利，，故故稱稱牛牛市市差差價(jià)價(jià)組組合合。。標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格范圍

看漲期權(quán)多頭的盈虧

看漲期權(quán)空頭的盈虧

總盈虧

STX2ST―X1―c1X2―ST+c2X2―X1+c2―c1X1<ST<X2ST―X1―c1c2ST―X1+c2―c1STX1-c1c2c2―c1

通過(guò)過(guò)比比較較標(biāo)標(biāo)的的資資產(chǎn)產(chǎn)現(xiàn)現(xiàn)價(jià)價(jià)與與協(xié)協(xié)議議價(jià)價(jià)格格的的關(guān)關(guān)系系，，我我們們可可以以把把牛牛市市差差價(jià)價(jià)期期權(quán)權(quán)分分為為三三類類：：兩虛虛值值期期權(quán)權(quán)組組合合，，指指兩兩個(gè)個(gè)協(xié)協(xié)議議價(jià)價(jià)格格均均比比現(xiàn)現(xiàn)貨貨價(jià)價(jià)格格高高；；多頭頭實(shí)實(shí)值值期期權(quán)權(quán)加加空空頭頭虛虛值值期期權(quán)權(quán)組組合合，，指指多多頭頭期期權(quán)權(quán)的的協(xié)協(xié)議議價(jià)價(jià)格格比比現(xiàn)現(xiàn)貨貨價(jià)價(jià)格格低低，，而而空空頭頭期期權(quán)權(quán)的的協(xié)協(xié)議議價(jià)價(jià)格格比比現(xiàn)現(xiàn)貨貨價(jià)價(jià)格格高高；；兩實(shí)實(shí)值值期期權(quán)權(quán)組組合合，，指指兩兩個(gè)個(gè)協(xié)協(xié)議議價(jià)價(jià)格格均均比比現(xiàn)現(xiàn)貨貨價(jià)價(jià)格格低低。。此外外，，一一份份看看跌跌期期權(quán)權(quán)多多頭頭與與一一份份同同一一期期限限、、較較高高協(xié)協(xié)議議價(jià)價(jià)格格的的看看跌跌期期權(quán)權(quán)空空頭頭組組合合也也是是牛牛市市差差價(jià)價(jià)組組合合，，如如圖圖13.7所所示示。。比較較看看漲漲期期權(quán)權(quán)的的牛牛市市差差價(jià)價(jià)與與看看跌跌期期權(quán)權(quán)的的牛牛市市差差價(jià)價(jià)組組合合可可以以看看，，前前者者期期初初現(xiàn)現(xiàn)金金流流為為負(fù)負(fù)，，后后者者為為正正，，但但前前者者的的最最終終收收益益可可能能大大于于后后者者。。2．．熊市市差差價(jià)價(jià)組組合合熊市市差差價(jià)價(jià)（（BearSpreads）組組合合剛剛好好跟跟牛牛市市差差價(jià)價(jià)組組合合相相反反，，它它可可以以由由一一份份看看漲漲期期權(quán)權(quán)多多頭頭和和一一份份相相同同期期限限、、協(xié)協(xié)議議價(jià)價(jià)格格較較低低的的看看漲漲期期權(quán)權(quán)空空頭頭組組成成（（如如圖圖13.8所示示））也也可可以以由由一一份份看看跌跌期期權(quán)權(quán)多多頭頭和和一一份份相相同同期期限限、、協(xié)協(xié)議議價(jià)價(jià)格格較較低低的的看看跌跌期期權(quán)權(quán)空空頭頭組組成成（（如如圖圖13.9所示示））。?？礉q漲期期權(quán)權(quán)的的熊熊市市差差價(jià)價(jià)組組合合和和看看跌跌期期權(quán)權(quán)的的熊熊市市差差價(jià)價(jià)組組合合的的差差別別在在于于，，前前者者在在期期初初有有正正的的現(xiàn)現(xiàn)金金流流，，后后者者在在期期初初則則有有負(fù)負(fù)的的現(xiàn)現(xiàn)金金流流，，但但后后者者的的最最終終收收益益可可能能大大于于前前者者。。通過(guò)過(guò)比比較較牛牛市市和和熊熊市市差差價(jià)價(jià)組組合合可可以以看看出出，，對(duì)對(duì)于于同同類類期期權(quán)權(quán)而而言言，，凡凡““買買低低賣賣高高””的的即即為為牛牛市市差差價(jià)價(jià)策策略略，，而而““買買高高賣賣低低””的的即即為為熊熊市市差差價(jià)價(jià)策策略略，，這這里里的的““低低””和和““高高””是是指指協(xié)協(xié)議議價(jià)價(jià)格格。。兩兩者者的的圖圖形形剛剛好好與與X軸軸對(duì)對(duì)稱稱。。3．蝶式差價(jià)組合合蝶式差價(jià)（ButterflySpreads）組合是是由四份具有有相同期限、、不同協(xié)議價(jià)價(jià)格的同種期期權(quán)頭寸組成成。若X1<X2<X3，且X2=（X1+X3）/2，則蝶蝶式差價(jià)組合合有如下四種種：看漲期權(quán)的正正向蝶式差價(jià)價(jià)組合，它由由協(xié)議價(jià)格分分別為X1和X3的看漲期權(quán)多多頭和兩份協(xié)協(xié)議價(jià)格為X2的看漲期權(quán)空空頭組成，其其盈虧分布圖圖如圖13.10所示；；看漲期權(quán)的反反向蝶式差價(jià)價(jià)組合，它由由協(xié)議價(jià)格分分別為X1和X3的看漲期權(quán)空空頭和兩份協(xié)協(xié)議價(jià)格為X2的看漲期權(quán)多多頭組成，其其盈虧圖剛好好與圖13.10相反反；看跌期權(quán)的正正向蝶式差價(jià)價(jià)組合，它由由協(xié)議價(jià)格分分別為X1和X3的看跌期權(quán)多多頭和兩份協(xié)協(xié)議價(jià)格為X2的看跌期權(quán)空空頭組成，其其盈虧圖如圖圖13.11所示?？吹跈?quán)的反反向蝶式差價(jià)價(jià)組合，它由由協(xié)議價(jià)格分分別為X1和X3的看跌期權(quán)空空頭和兩份協(xié)協(xié)議價(jià)格為X2的看跌期權(quán)多多頭組成，其其盈虧圖與圖圖13.11剛好相反。。圖13.10看漲期權(quán)權(quán)的正向蝶式式差價(jià)組合圖圖13.11看跌期期權(quán)的正向蝶蝶式差價(jià)組合合三、差期組合差期（CalendarSpreads）組組合是由兩份份相同協(xié)議價(jià)價(jià)格、不同期期限的同種期期權(quán)的不同頭頭寸組成的組組合。它有四四種類型：一份看漲期權(quán)權(quán)多頭與一份份期限較短的的看漲期權(quán)空空頭的組合，，稱看漲期權(quán)權(quán)的正向差期期組合。一份看漲期權(quán)權(quán)多頭與一份份期限較長(zhǎng)的的看漲期權(quán)空空頭的組合，，稱看漲期權(quán)權(quán)的反向差期期組合。一份看跌期權(quán)權(quán)多頭與一份份期限較短的的看跌期權(quán)空空頭的組合，，稱看跌期權(quán)權(quán)的正向差期期組合。一份看跌期權(quán)權(quán)多頭與一份份期限較長(zhǎng)的的看跌期權(quán)空空頭的組合，，稱看跌期權(quán)權(quán)的反向差期期組合?？礉q期權(quán)的正正向差期組合合的盈虧分布布情況見(jiàn)表13.3。表13.3看看漲期權(quán)的正正向差期組合合的盈虧狀況況根據(jù)表13.3，我們可以畫(huà)畫(huà)出看漲期權(quán)權(quán)正向差期組組合的盈虧分分布圖如圖13.12所示。ST的范圍

看漲期權(quán)多頭的盈虧

看漲期權(quán)空頭的盈虧

總盈虧

ST趨近ST―X―c1X―ST+c2趨近c(diǎn)2―c1ST=Xc1T―c1c2c2―c1+c1TST0趨近-c1c2

趨近c(diǎn)2―c1

用同樣的分析析法我們可以以畫(huà)出看跌期期權(quán)正向差期期組合的盈虧虧分布圖如圖圖13.13所示?？吹谄跈?quán)反向差期期組合的盈虧虧分布圖正好好與圖13.13相反，也從略略。四、對(duì)角組合合對(duì)角組合（DiagonalSpreads）是指由兩兩份協(xié)議價(jià)格格不同（X1和X2，且X1<X2）、期限也不不同（T和T*，且T<T*）的同種期權(quán)權(quán)的不同頭寸寸組成。它有有八種類型：：1．看漲期權(quán)的（（X1，T*）多頭加（X2，T）空頭組組合。表13.4看看漲期權(quán)權(quán)的正向差價(jià)價(jià)和差期組合合根據(jù)表13.4，我們可可以畫(huà)出看漲漲期權(quán)的正向向差價(jià)和差期期組合的盈虧虧分布圖如圖圖13.14所示。2.看漲期權(quán)權(quán)的（X1，T*）空頭加（X2，T）多頭組合。。其盈虧圖與與圖13.14剛好相反ST的范圍(X1,T*)多頭的盈虧(X2,T)空頭的盈虧

總盈虧

ST趨近于ST―X1―c1X2―ST+c2趨近X2―X1+c2－c1ST=X2X2―X1+c1T―c1c2X2―X1+c2―c1+c1TST0趨近-c1c2

趨近c(diǎn)2―c1

3.看漲期權(quán)的（（X2，T*）多頭加（X1，T）空頭組合。。4.看漲漲期權(quán)的（X2，T*）空頭頭加（X1，T）多頭組組合，其盈虧虧分布圖與圖圖13.15剛好相反。。5.看跌期權(quán)的（（X1，T*）多頭頭加（X2，T）空頭組組合，其盈虧虧圖如圖13.16所示示。6.看跌期權(quán)的（（X1，T*）空頭頭加（X2，T）多頭組組合，其盈虧虧圖與圖13.16剛好好相反。7.看跌期權(quán)的（（X2，T*）多頭頭加（X1，T）空頭組組合，其盈虧虧圖如圖13.17所示示。8.看跌期權(quán)的（（X2，T*）空頭加（X1，T）多頭組合，，其盈虧圖與與圖13.17剛好相反。五、混混合期期權(quán)1．跨式組組合（（Straddle）：：由具具有相相同協(xié)協(xié)議價(jià)價(jià)格、、相同同期限限的一一份看看漲期期權(quán)和和一份份看跌跌期權(quán)權(quán)組成成?？缈缡浇M組合分分為兩兩種：：底部部跨式式組合合和頂頂部跨跨式組組合。。前者者由兩兩份多多頭組組成，，后者者由兩兩份空空頭組組成。。底部跨跨式組組合的的盈虧虧圖如如圖13.18所示示，頂頂部跨跨式組組合的的盈虧虧圖與與圖13.18剛好好相反反。2．條式組組合和和帶式式組合合條式組組合（（Strip））由具具有相相同協(xié)協(xié)議價(jià)價(jià)格、、相同同期限限的一一份看看漲期期權(quán)和和兩份份看跌跌期權(quán)權(quán)組成成。條條式組組合也也分底底部和和頂部部?jī)煞N種，前前者由由多頭頭構(gòu)成成，后后者由由空頭頭構(gòu)成成。底部條條式組組合的的盈虧虧圖如如圖13.19所示示，頂頂部條條式組組合的的盈虧虧圖剛剛好相相反。。帶式組組合（（Strap））由具具有相相同協(xié)協(xié)議價(jià)價(jià)格、、相同同期限限的資資產(chǎn)的的兩份份看漲漲期權(quán)權(quán)和一一份看看跌期期權(quán)組組成，，帶式式組合合也分分底部部和預(yù)預(yù)部?jī)蓛煞N，，前者者由多多頭構(gòu)構(gòu)成，，后者者由空空頭構(gòu)構(gòu)成。。底部帶帶式組組合的的盈虧虧圖如如圖13.20所示示，頂頂部帶帶式組組合的的盈虧虧圖剛剛好相相反。。3．寬跨式式組合合。寬跨式式組合合（Strangle））由相相同到到期日日但協(xié)協(xié)議價(jià)價(jià)格不不同的的一份份看漲漲期權(quán)權(quán)和一一份看看跌期期權(quán)組組成，，其中中看漲漲期權(quán)權(quán)的協(xié)協(xié)議價(jià)價(jià)格高高于看看跌期期權(quán)。。寬跨跨式組組合也也分底底部和和頂部部，前前者由由多頭頭組成成，后后者由由空頭頭組成成。前前者的的盈虧虧圖如如圖13.21所示示。后后者的的盈虧虧圖剛剛好相相反。。第三節(jié)節(jié)期權(quán)定定價(jià)的的理論論基礎(chǔ)礎(chǔ)一、弱弱式效效率市市場(chǎng)假假說(shuō)與與馬爾爾可夫夫過(guò)程程1965年年，法法瑪（（EFFama））提出出了著著名的的效率率市場(chǎng)場(chǎng)假說(shuō)說(shuō)。該該假說(shuō)說(shuō)認(rèn)為為，投投資者者都力力圖利利用可可獲得得的信信息獲獲得更更高的的報(bào)酬酬；證證券價(jià)價(jià)格對(duì)對(duì)新的的市場(chǎng)場(chǎng)信息息的反反應(yīng)是是迅速速而準(zhǔn)準(zhǔn)確的的，證證券價(jià)價(jià)格能能完全全反映映全部部信息息；市市場(chǎng)競(jìng)競(jìng)爭(zhēng)使使證券券價(jià)格格從一一個(gè)均均衡水水平過(guò)過(guò)渡到到另一一個(gè)均均衡水水平，，而與與新信信息相相應(yīng)的的價(jià)格格變動(dòng)動(dòng)是相相互獨(dú)獨(dú)立的的，或或稱隨隨機(jī)的的，因因此效效率市市場(chǎng)假假說(shuō)又又稱隨隨機(jī)漫漫步理理論。。效率市市場(chǎng)假假說(shuō)可可分為為三類類：弱弱式、、半強(qiáng)強(qiáng)式和和強(qiáng)式式。弱式效效率市市場(chǎng)假假說(shuō)認(rèn)認(rèn)為，，證券券價(jià)格格變動(dòng)動(dòng)的歷歷史不不包含含任何何對(duì)預(yù)預(yù)測(cè)證證券價(jià)價(jià)格未未來(lái)變變動(dòng)有有用的的信息息，也也就是是說(shuō)不不能通通過(guò)技技術(shù)分分析獲獲得超超過(guò)平平均收收益率率的收收益。。半強(qiáng)式式效率率市場(chǎng)場(chǎng)假說(shuō)說(shuō)認(rèn)為為，證證券價(jià)價(jià)格會(huì)會(huì)迅速速、準(zhǔn)準(zhǔn)確地地根據(jù)據(jù)可獲獲得的的所有有公開(kāi)開(kāi)信息息調(diào)整整，因因此以以往往的價(jià)價(jià)格和和成交交量等等技術(shù)術(shù)面信信息以以及已已公布布的基基本面面信息息都無(wú)無(wú)助于于挑選選出價(jià)價(jià)格被被高估估或低低估的的證券券。強(qiáng)式效效率市市場(chǎng)假假說(shuō)認(rèn)認(rèn)為，，不僅僅是已已公布布的信信息，，而且且是可可能獲獲得的的有關(guān)關(guān)信息息都已已反映映在股股價(jià)中中，因因此任任何信信息（（包括括“內(nèi)內(nèi)幕信信息””）對(duì)對(duì)挑選選證券券都沒(méi)沒(méi)有用用處。。效率市市場(chǎng)假假說(shuō)提提出后后，許許多學(xué)學(xué)者運(yùn)運(yùn)用各各種數(shù)數(shù)據(jù)對(duì)對(duì)此進(jìn)進(jìn)行了了實(shí)證證分析析。結(jié)結(jié)果發(fā)發(fā)現(xiàn)，，發(fā)達(dá)達(dá)國(guó)家家的證證券市市場(chǎng)大大體符符合弱弱式效效率市市場(chǎng)假假說(shuō)。。弱式效效率市市場(chǎng)假假說(shuō)可可用馬馬爾可可夫隨隨機(jī)過(guò)過(guò)程（（MarkovStochasticProcess））來(lái)表表述。。所謂隨隨機(jī)過(guò)過(guò)程是是指某某變量量的值值以某某種不不確定定的方方式隨隨時(shí)間間變化化的過(guò)過(guò)程。。根據(jù)據(jù)時(shí)間間是否否連續(xù)續(xù)，隨隨機(jī)過(guò)過(guò)程可可分為為離散散時(shí)間間隨機(jī)機(jī)過(guò)程程和連連續(xù)時(shí)時(shí)間隨隨機(jī)過(guò)過(guò)程，，前者者是指指變量量只能能在某某些分分離的的時(shí)間間點(diǎn)上上變化化的過(guò)過(guò)程，，后者者指變變量可可以在在連續(xù)續(xù)的時(shí)時(shí)間段段變化化的過(guò)過(guò)程。。根據(jù)據(jù)變量量取值值范圍圍是否否連續(xù)續(xù)劃分分，隨隨機(jī)過(guò)過(guò)程可可分為為離散散變量量隨機(jī)機(jī)過(guò)程程和連連續(xù)變變量隨隨機(jī)過(guò)過(guò)程，，前者者指變變量只只能取取某些些離散散值，，而后后者指指變量量可以以在某某一范范圍內(nèi)內(nèi)取任任意值值。馬爾可可夫過(guò)過(guò)程是是一種種特殊殊類型型的隨隨機(jī)過(guò)過(guò)程。。在這這個(gè)過(guò)過(guò)程中中，只只有變變量的的當(dāng)前前值才才與未未來(lái)的的預(yù)測(cè)測(cè)有關(guān)關(guān)，變變量過(guò)過(guò)去的的歷史史和變變量從從過(guò)去去到現(xiàn)現(xiàn)在的的演變變方式式與未未來(lái)的的預(yù)測(cè)測(cè)無(wú)關(guān)關(guān)。（一））標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)布朗朗運(yùn)動(dòng)動(dòng)設(shè)代代表表一個(gè)個(gè)小的的時(shí)間間間隔隔長(zhǎng)度度，代代表表變量量z在在時(shí)間內(nèi)內(nèi)的變變化，，遵循循標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)布朗朗運(yùn)動(dòng)動(dòng)的具具有兩兩種特特征：：特征1：和和的的關(guān)關(guān)系滿滿足＝（（13.21）特征2：對(duì)對(duì)于任任何兩兩個(gè)不不同時(shí)時(shí)間間間隔，，的值相相互獨(dú)獨(dú)立。。從特征征1可可知，，本本身身也具具有正正態(tài)分分布特特征，，其均均值為為0，，標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)差為為，，方差差為。。從特征征2可可知，，標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)布朗朗運(yùn)動(dòng)動(dòng)符合合馬爾爾可夫夫過(guò)程程，因因此是是馬爾爾可夫夫過(guò)程程的一一種特特殊形形式?！，F(xiàn)在我我們來(lái)來(lái)考察察遵循循標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)布朗朗運(yùn)動(dòng)動(dòng)的變變量z在一一段較較長(zhǎng)時(shí)時(shí)間T中的的變化化情形形。我我們用用z（（T））－z(0)表表示變變量z在T中的的變化化量，，它可可被看看作是是在N個(gè)長(zhǎng)長(zhǎng)度為為的的小時(shí)時(shí)間間間隔中中z的的變化化總量量，其其中N=T/，，因因此，，（13.22））其中(i=1，2，………N）是是標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)正態(tài)態(tài)分布布的隨隨機(jī)抽抽樣值值。從從特征征2可可知，，是相相互獨(dú)獨(dú)立的的，因因此z（T）-z（（0））也具具有正正態(tài)分分布特特征，，其均均值為為0，，方差差為Nt=T，，標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)差為為。。由此我我們可可以發(fā)發(fā)現(xiàn)兩兩個(gè)特特征：：在任意意長(zhǎng)度度的時(shí)時(shí)間間間隔T中，，遵循循標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)布朗朗運(yùn)動(dòng)動(dòng)的變變量的的變化化值具具有均均值為為0，，標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)差為為的正正態(tài)分分布。。對(duì)于相相互獨(dú)獨(dú)立的的正態(tài)態(tài)分布布，方方差具具有可可加性性，而而標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)差不不具有有可加加性。。當(dāng)0時(shí)，我們們就可以得得到極限的的標(biāo)準(zhǔn)布朗朗運(yùn)動(dòng)：（13.23）（二）普通通布朗運(yùn)動(dòng)動(dòng)為了得到普普通的布朗朗運(yùn)動(dòng)，我我們必須引引入兩個(gè)概概念：漂移移率和方差差率。漂移移率（DriftRate）是指單位位時(shí)間內(nèi)變變量z均值的變化化值。方差差率（VarianceRate）是指單位位時(shí)間的方方差。標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)運(yùn)動(dòng)的漂移移率為0，方差率為為1.0。漂移率為為0意味著在未未來(lái)任意時(shí)時(shí)刻z的均值都都等于它它的當(dāng)前前值。方方差率為為1.0意味著在在一段長(zhǎng)長(zhǎng)度為T的時(shí)間段段后，z的方差為為1.0T。我們令令漂移率率的期望望值為a,方差率的的期望值值為b2，就可得得到變量量x的普通布布朗運(yùn)動(dòng)動(dòng)：從式（13.21）和和（13.24）可知知，在短短時(shí)間后后，x值值的變化化值為：：因此，Δx也具有正正態(tài)分布布特征，，其均值值為，，標(biāo)準(zhǔn)差差為，，方方差為。。同樣樣，在任任意時(shí)間間長(zhǎng)度T后x值的變化化也具有有正態(tài)分分布特征征，其均均值為aT，標(biāo)準(zhǔn)差差為，，方方差為b2T。三、證券券價(jià)格的的變化過(guò)過(guò)程證券價(jià)格格的變化化過(guò)程可可以用普普遍布朗朗運(yùn)動(dòng)來(lái)來(lái)描述。。但由于于投資者者關(guān)心的的是證券券價(jià)格的的變動(dòng)幅幅度而不不是變動(dòng)動(dòng)的絕對(duì)對(duì)值，因因此我們們可以用用證券價(jià)價(jià)格比例例的方式式來(lái)定義義證券價(jià)價(jià)格的布布朗運(yùn)動(dòng)動(dòng)：（13.25））其中S表表示證券券價(jià)格，，μ表示示證券在在單位時(shí)時(shí)間內(nèi)以以連續(xù)復(fù)復(fù)利計(jì)算算的期望望收益率率（又稱稱預(yù)期收收益率）），表表示示證券收收益率單單位時(shí)間間的方差差，表表示示證券收收益率單單位時(shí)間間的標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)差，簡(jiǎn)簡(jiǎn)稱證券券價(jià)格的的波動(dòng)率率（Volatility）），dz遵循標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)布朗朗運(yùn)動(dòng)。。從（13.21）和上上式可知知，在短短時(shí)間后后，，證券價(jià)價(jià)格比率率的變化化值為：：則可得（13.26）我們將在在下文證證明，衍衍生證券券的定價(jià)價(jià)與標(biāo)的的資產(chǎn)的的預(yù)期收收益率是是無(wú)關(guān)的的。相反反，證券券價(jià)格的的波動(dòng)率率對(duì)于衍衍生證券券的定價(jià)價(jià)則是相相當(dāng)重要要的。應(yīng)該注意意的是，，由于比比例變化化不具有有可加性性，因此我我們并不不能象以以前一樣樣推導(dǎo)出出在任意意時(shí)間長(zhǎng)長(zhǎng)度T后后證券價(jià)價(jià)格比例例變化的的標(biāo)準(zhǔn)差差為。。四、伊藤藤過(guò)程和和伊藤引引理普通布朗朗運(yùn)動(dòng)假假定漂移移率和方方差率為為常數(shù)，，若把變變量x的漂移率率和方差差率當(dāng)作作變量x和時(shí)間t的函數(shù)，，我們可可以從公公式（13.24）得到伊伊藤過(guò)程程（ItoProcess）：（13.27）其中，dz是一個(gè)標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)布朗朗運(yùn)動(dòng)，，a、b是變量x和t的函數(shù)，，變量x的漂移率率為a，方差率率為b2。在伊藤過(guò)過(guò)程的基基礎(chǔ)上，，伊藤進(jìn)進(jìn)一步推推導(dǎo)出：：若變量量x遵循循伊藤過(guò)過(guò)程，則則變量x和t的的函數(shù)G將遵循循如下過(guò)過(guò)程：（13.28）公式（13.28）就就是著名名的伊藤藤引理。。從式（13.25）中中，我們們可得：：（13.29）我們知道道，衍生生證券的的價(jià)格是是標(biāo)的證證券價(jià)格格S和時(shí)時(shí)間t的的函數(shù)。。根據(jù)伊伊藤引理理，衍生生證券的的價(jià)格G應(yīng)遵循循如下過(guò)過(guò)程：（13.30）比較式（（13.29）和(13.30)可看出，，衍生證證券價(jià)格格G和標(biāo)的證證券價(jià)格格S都受同一一個(gè)基本本的不確確定性來(lái)來(lái)源dz的影響，，這點(diǎn)對(duì)對(duì)于以后后推導(dǎo)衍衍生證券券的定價(jià)價(jià)公式很很重要。。五、證券券價(jià)格自自然對(duì)數(shù)數(shù)變化過(guò)過(guò)程我們可用用伊藤引引理來(lái)推推導(dǎo)證券券價(jià)格自自然對(duì)數(shù)數(shù)lnS變化所遵遵循的隨隨機(jī)過(guò)程程。令我們就可可得出證證券價(jià)格格對(duì)數(shù)G所遵循的的隨機(jī)過(guò)過(guò)程為：：令t時(shí)刻G的值為lnS，T時(shí)刻G的值為lnST，其中S表示t時(shí)刻（當(dāng)當(dāng)前時(shí)刻刻）的證證券價(jià)格格，ST表示T時(shí)刻（將將來(lái)時(shí)刻刻）的證證券價(jià)格格，則在在T－t期間G的變化為為：lnST-lnS這意味著著：（13.31）根據(jù)正態(tài)態(tài)分布的的特性，，從式（（13.31））可以得得到：（13.32）這表明ST服從對(duì)數(shù)數(shù)正態(tài)分分布。lnST的標(biāo)準(zhǔn)差差與成比比例，這這說(shuō)明證證券價(jià)格格對(duì)數(shù)的的不確定定性（用用標(biāo)準(zhǔn)差差表示））與我們們考慮的的未來(lái)時(shí)時(shí)間的長(zhǎng)長(zhǎng)度的平平方根成成正比。。這就解解決了前前面所說(shuō)說(shuō)的證券券價(jià)格比比例變化化的標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)差與時(shí)時(shí)間不成成正比的的問(wèn)題。。根據(jù)式（（13.32））和對(duì)數(shù)數(shù)正態(tài)分分布的特特性,可可知ST的期望值值E(ST)為：這與作為為預(yù)期收收益率的的定義相相符。ST的方差var(ST)為:第四節(jié)布布萊萊克———舒爾斯斯期權(quán)定定價(jià)模型型一、布萊萊克———舒爾斯斯微分方方程推導(dǎo)布萊萊克———舒爾斯斯微分方方程需要要用到如如下假設(shè)設(shè)：證券價(jià)格格遵循幾幾何布朗朗過(guò)程，，即和為為常數(shù)；；允許賣空空標(biāo)的證證券；沒(méi)有交易易費(fèi)用和和稅收，，所有證證券都是是完全可可分的；；在衍生證證券有效效期內(nèi)標(biāo)標(biāo)的證券券沒(méi)有現(xiàn)現(xiàn)金收益益支付；；不存在無(wú)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)套套利機(jī)會(huì)會(huì)；證券交易易是連續(xù)續(xù)的，價(jià)價(jià)格變動(dòng)動(dòng)也是連連續(xù)的；；在衍生證證券有效效期內(nèi)，，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)險(xiǎn)利率r為常數(shù)數(shù)。實(shí)際上，有些些假設(shè)條件我我們可以放松松，如、和r可以是t的函數(shù)。（一）布萊克克——舒爾斯斯微分方程的的推導(dǎo)（13.35）（13.36）我們可以構(gòu)建建一個(gè)包括一一單位衍生證證券空頭和單單位標(biāo)標(biāo)的證券多頭頭的組合。令代表該投資組組合的價(jià)值，，則：（13.37）在時(shí)間后，該該投資組合的的價(jià)值變化為為：在沒(méi)有套利機(jī)機(jī)會(huì)的條件下下：我們代入和和，，則可得著著名的布萊克克——舒爾斯斯微分分程：：布萊克——舒舒爾斯微分分分程適用于其其價(jià)格取決于于標(biāo)的證券價(jià)價(jià)格S的所有有衍生證券的的定價(jià)。應(yīng)該注意的是是，當(dāng)S和t變化時(shí)，的值也會(huì)變化化，因此上述述投資組合的的價(jià)值并不是是永遠(yuǎn)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)險(xiǎn)的，它只是是在一個(gè)很短短的時(shí)間間隔隔中才是無(wú)風(fēng)風(fēng)險(xiǎn)的。在一一個(gè)較長(zhǎng)時(shí)間間中，要保持持該投資組合合無(wú)風(fēng)險(xiǎn)，必必須根據(jù)的的變化而而相應(yīng)調(diào)整標(biāo)標(biāo)的證券的數(shù)數(shù)量。當(dāng)然，，推導(dǎo)布萊克克——舒爾斯斯微分方程并并不要求調(diào)整整標(biāo)的證券的的數(shù)量，因?yàn)闉樗魂P(guān)心中中的變變化。（二）風(fēng)險(xiǎn)中中性定價(jià)原理理從上可以看出出受制于主觀觀的風(fēng)險(xiǎn)收益益偏好的標(biāo)的的證券預(yù)期收收益率并未包包括在衍生證證券的價(jià)值決決定公式中。。這意味著，無(wú)無(wú)論風(fēng)險(xiǎn)收益益偏好狀態(tài)如如何，都不會(huì)會(huì)對(duì)f的值產(chǎn)產(chǎn)生影響。于是，我們就就可以利用布布萊克——舒舒爾斯微分方方程所揭示的的這一特性，，作出一個(gè)可可以大大簡(jiǎn)化化我們工作的的簡(jiǎn)單假設(shè)：：在對(duì)衍生證券券定價(jià)時(shí)，所所有投資者都都是風(fēng)險(xiǎn)中性性的。這就是是風(fēng)險(xiǎn)中性定定價(jià)原理。為了更好地理理解風(fēng)險(xiǎn)中性性定價(jià)原理，，我們可以舉舉一個(gè)簡(jiǎn)單的的例子來(lái)說(shuō)明明。（見(jiàn)書(shū)）二、布萊克———舒爾斯期期權(quán)定價(jià)公式式在風(fēng)險(xiǎn)中性的的條件下，歐歐式看漲期權(quán)權(quán)到期時(shí)（T時(shí)刻）的期望望值為：根據(jù)風(fēng)險(xiǎn)中性性定價(jià)原理，，歐式看漲期期權(quán)的價(jià)格c等于將此期期望值按無(wú)風(fēng)風(fēng)險(xiǎn)利率進(jìn)行行貼現(xiàn)后的現(xiàn)現(xiàn)值，即：（13.41）對(duì)式（13.41）右邊邊求值是一種種積分過(guò)程，，結(jié)果為：其中，由于歐式看漲漲期權(quán)和看跌跌期權(quán)之間存存在平價(jià)關(guān)系系,可得SN(d1)是Asset-or-notingcalloption的價(jià)價(jià)值,-e-rTXN(d2)是X份cash-or-nothing看漲漲期權(quán)空頭的的價(jià)值。N(d2)是在風(fēng)險(xiǎn)中中性世界中期期權(quán)被執(zhí)行的的概率，或者者說(shuō)ST大于X的概率率，e-rTXN(d2)是X的風(fēng)險(xiǎn)險(xiǎn)中性期望值值的現(xiàn)值。SN(d1)是得到ST的風(fēng)險(xiǎn)中性期期望值的現(xiàn)值值。是復(fù)制交易策策略中股票的的數(shù)量，SN（d1)就是股票的的市值,-e-rTXN(d2)則是復(fù)制交交易策略中負(fù)負(fù)債的價(jià)值。。三、有收益資資產(chǎn)的期權(quán)定定價(jià)公式（一）有收益益資產(chǎn)歐式期期權(quán)的定價(jià)公公式在收益已知情情況下，我們們可以把標(biāo)的的證券價(jià)格分分解成兩部分分：期權(quán)有效效期內(nèi)已知現(xiàn)現(xiàn)金收益的現(xiàn)現(xiàn)值部分和一一個(gè)有風(fēng)險(xiǎn)部部分。當(dāng)標(biāo)的證券已已知收益的現(xiàn)現(xiàn)值為I時(shí)，我們只要要用（S－I）代替S即可求出固定定收益證券歐歐式看漲和看看跌期權(quán)的價(jià)價(jià)格。當(dāng)標(biāo)的證券的的收益為按連連續(xù)復(fù)利計(jì)算算的固定收益益率q（單位為年））時(shí)，我們只只要將代替S就可求出支付付連續(xù)復(fù)利收收益率證券的的歐式看漲和和看跌期權(quán)的的價(jià)格，從而而使布萊克———舒爾斯的的歐式期權(quán)定定價(jià)公式適用用歐式貨幣期期權(quán)和股價(jià)指指數(shù)期權(quán)的定定價(jià)。對(duì)于歐式期貨貨期權(quán)，布萊萊克教授也給給出了定價(jià)公公式：其中，例子見(jiàn)書(shū).（二）有收益益資產(chǎn)美式期期權(quán)的定價(jià)1．美式看漲漲期權(quán)當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)有有收益時(shí)，美美式看漲期權(quán)權(quán)就有提前執(zhí)執(zhí)行的可能，，因此有收益益資產(chǎn)美式期期權(quán)的定價(jià)較較為復(fù)雜，布布萊克提出了了一種近似處處理方法。該該方法是先確確定提前執(zhí)行行美式看漲期期權(quán)是否合理理，其方法我我們?cè)诒菊碌诘谝还?jié)已論述述過(guò)。若不合合理，則按歐歐式期權(quán)處理理；若在tn提前執(zhí)行有可可能是合理的的，則要分別別計(jì)算在T時(shí)時(shí)刻和tn時(shí)刻到期的歐歐式看漲期權(quán)權(quán)的價(jià)格，然然后將二者之之中的較大者者作為美式期期權(quán)的價(jià)格。。在大多數(shù)情情況下，這種種近似效果都都不錯(cuò)。2．美式看跌期期權(quán)由于收益雖然然使美式看跌跌期權(quán)提前執(zhí)執(zhí)行的可能性性減小，但仍仍不排除提前前執(zhí)行的可能能性，因此有有收益美式看看跌期權(quán)的價(jià)價(jià)值仍不同于于歐式看跌期期權(quán)，它也只只能通過(guò)較復(fù)復(fù)雜的數(shù)值方方法來(lái)求出。。第五節(jié)二二叉樹(shù)期期權(quán)定價(jià)摸摸型由于美式看看跌期權(quán)無(wú)無(wú)法用布萊萊克——舒舒爾斯期權(quán)權(quán)定價(jià)公式式進(jìn)行精確確定價(jià)，因因此要用其其它替代方方法，如二二叉樹(shù)期權(quán)權(quán)定價(jià)模型型，該模型型是由科克克斯（J.Cox）、羅斯(S.Ross)和魯賓斯坦坦(M.Rubinstein)于1979年首先提出出的。一、無(wú)收益益資產(chǎn)期權(quán)權(quán)的定價(jià)二叉樹(shù)模型型首先把期期權(quán)的有效效期分為很很多很小的的時(shí)間間隔隔，并假設(shè)設(shè)在每一個(gè)個(gè)時(shí)間間隔隔內(nèi)證券價(jià)價(jià)格從開(kāi)始始的S運(yùn)動(dòng)到兩個(gè)個(gè)新值Su和Sd中的一個(gè)，，如圖13.22所示。其中中，u>1，d<1，且u=1/d圖13.22T時(shí)間內(nèi)證券券價(jià)格的變變動(dòng)為了對(duì)期權(quán)權(quán)進(jìn)行定價(jià)價(jià)，二叉樹(shù)樹(shù)模型也應(yīng)應(yīng)用風(fēng)險(xiǎn)中中性定價(jià)原原理并假定定：（1）所有有可交易證證券的期望望收益都是是無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利利率；（2）未來(lái)現(xiàn)金金流可以用用其期望值值按無(wú)風(fēng)險(xiǎn)險(xiǎn)利率貼現(xiàn)現(xiàn)來(lái)計(jì)算現(xiàn)現(xiàn)值。S0u

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–p)（一）參數(shù)數(shù)p、u和d的確定參數(shù)p、u和d的值值必須滿足足這個(gè)要求求，即：根據(jù)本章第第2節(jié)的討討論，在一一個(gè)小時(shí)間間段內(nèi)證券券價(jià)格變化化的方差是是。。根據(jù)方方差的定義義，變量X的方差等等于X2的期望值與與X期望值值平方之差差，因此：：由上可得，，（二）證券券價(jià)格的樹(shù)樹(shù)型結(jié)構(gòu)應(yīng)用二叉樹(shù)樹(shù)模型來(lái)表表示證券價(jià)價(jià)格變化的的完整樹(shù)型型結(jié)構(gòu)如圖圖13.23所示。圖13.23證券價(jià)格的的樹(shù)型結(jié)構(gòu)構(gòu)當(dāng)時(shí)間為0時(shí)，證券券價(jià)格為S。時(shí)間間為t時(shí)，證券價(jià)價(jià)格要么上上漲到Su，要么下下降到Sd；時(shí)間為為2t時(shí)，證券價(jià)價(jià)格就有三三種可能：：Su2、Sud（（等于S））和Sd2，以此類推推。一般而而言，在時(shí)時(shí)刻it，證券價(jià)格格有i+1種可能，，它們可用用符號(hào)表示示為：其中j=0，1，2，……，，i（三）倒推推定價(jià)法由于在T時(shí)刻的期權(quán)權(quán)價(jià)值是已已知的。所以在二叉樹(shù)模模型中，期期權(quán)定價(jià)從從樹(shù)型結(jié)構(gòu)構(gòu)圖的末端端T時(shí)刻開(kāi)始，，采用倒推推法定價(jià)。。例：S0=50;X=50;r=10%;s=40%;T=5months=0.4167;Dt=1month=0.0833則可得：u=1.1224;d=0.8909;a=1.0084;p=0.5076據(jù)此我們可可以畫(huà)出該該股票在期期權(quán)有效期期內(nèi)的樹(shù)型型圖，如下下圖：在時(shí)刻，股股票在第j個(gè)結(jié)結(jié)點(diǎn)點(diǎn)（（j=0，1，2，…………i）的的價(jià)價(jià)格格等等于于。。例例如如，，F(xiàn)結(jié)點(diǎn)點(diǎn)（（i=4，j=1）的的股股價(jià)價(jià)等等于于。。在在最最后后那那些些結(jié)結(jié)點(diǎn)點(diǎn)處處，，期期權(quán)權(quán)價(jià)價(jià)值值等等于于。。例例如如，，G結(jié)結(jié)點(diǎn)點(diǎn)的的期期權(quán)權(quán)價(jià)價(jià)格格等等于于50－－35.36=14.64。。從最最后后一一列列結(jié)結(jié)點(diǎn)點(diǎn)處處的的期期權(quán)權(quán)價(jià)價(jià)值值可可以以計(jì)計(jì)算算出出倒倒數(shù)數(shù)第第二二列列結(jié)結(jié)點(diǎn)點(diǎn)的的期期權(quán)權(quán)價(jià)價(jià)值值。。首首先先，，我我們們假假定定在在這這些些結(jié)結(jié)點(diǎn)點(diǎn)處處期期權(quán)權(quán)沒(méi)沒(méi)被被提提前前執(zhí)執(zhí)行行。。這這意意味味著著所所計(jì)計(jì)算算的的期期權(quán)權(quán)價(jià)價(jià)值值是是時(shí)時(shí)間間內(nèi)內(nèi)期期權(quán)權(quán)價(jià)價(jià)值值期期望望值值的的現(xiàn)現(xiàn)值值。。如E結(jié)點(diǎn)點(diǎn)處處的的期期權(quán)權(quán)價(jià)價(jià)值值等等于于：：而F結(jié)點(diǎn)點(diǎn)處處的的期期權(quán)權(quán)價(jià)價(jià)值值等等于于：：然后后，，我我們們要要檢檢查查提提前前執(zhí)執(zhí)行行期期權(quán)權(quán)是是否否較較有有利利。。在在E結(jié)點(diǎn)點(diǎn)，，提提前前執(zhí)執(zhí)行行將將使使期期權(quán)權(quán)價(jià)價(jià)值值為為0，所所以以不不應(yīng)應(yīng)提提前前執(zhí)執(zhí)行行。。而在在F結(jié)點(diǎn)點(diǎn)，，如如果果提提前前執(zhí)執(zhí)行行，，期期權(quán)權(quán)價(jià)價(jià)值值等等于于50.00－39.69元，，等等于于10.31元，，大大于于上上述述的的9.90元。。因因此此，，若若股股價(jià)價(jià)到到達(dá)達(dá)F結(jié)點(diǎn)點(diǎn)，，就就應(yīng)應(yīng)提提前前執(zhí)執(zhí)行行。。用相相同同的的方方法法我我們們可可以以算算出出各各結(jié)結(jié)點(diǎn)點(diǎn)處處的的期期權(quán)權(quán)價(jià)價(jià)值值，，并并最最終終倒倒推推算算出出初初始始結(jié)結(jié)點(diǎn)點(diǎn)處處的的期期權(quán)權(quán)價(jià)價(jià)值值為為4.48元。。（四四））美美式式看看跌跌期期權(quán)權(quán)的的定定價(jià)價(jià)公公式式其中中j=0，1，2，…………，，N假定定期期權(quán)權(quán)不不被被提提前前執(zhí)執(zhí)行行，，則則在在風(fēng)風(fēng)險(xiǎn)險(xiǎn)中中性性條條件件下下：：如果果考考慮慮提提前前執(zhí)執(zhí)行行的的可可能能性性的的話話，，式式中中的的必必須須與與期期權(quán)權(quán)的的內(nèi)內(nèi)在在價(jià)價(jià)值值比比較較，，由由此此可可得得：：按這這種種倒倒推推法法計(jì)計(jì)算算，，當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)間間區(qū)區(qū)間間的的劃劃分分趨趨于于無(wú)無(wú)窮窮大大，，或或者者說(shuō)說(shuō)當(dāng)當(dāng)每每一一區(qū)區(qū)間間Dt趨于于0時(shí)，，就就可可以以求求出出美美式式看看跌跌期期權(quán)權(quán)的的準(zhǔn)準(zhǔn)確確價(jià)價(jià)值值。。根根據(jù)據(jù)實(shí)實(shí)踐踐經(jīng)經(jīng)驗(yàn)驗(yàn)，，一一般般將將時(shí)時(shí)間間區(qū)區(qū)間間分分成成30個(gè)就就可可得得到到較較為為理理想想的的結(jié)結(jié)果果。。二、、有有收收益益資資產(chǎn)產(chǎn)期期權(quán)權(quán)的的定定價(jià)價(jià)（一一））支支付付連連續(xù)續(xù)復(fù)復(fù)利利收收益益率率資資產(chǎn)產(chǎn)的的期期權(quán)權(quán)定定價(jià)價(jià)當(dāng)標(biāo)標(biāo)的的資資產(chǎn)產(chǎn)支支付付連連續(xù)續(xù)復(fù)復(fù)利利收收益益率率q的收收益益時(shí)時(shí)，，在在風(fēng)風(fēng)險(xiǎn)險(xiǎn)中中性性條條件件下下，，證證券券價(jià)價(jià)格格的的增增長(zhǎng)長(zhǎng)率率應(yīng)應(yīng)該該為為r－q，因此此可可得得：：對(duì)于股價(jià)價(jià)指數(shù)期期權(quán)來(lái)說(shuō)說(shuō)，q為股票組組合的紅紅利收益益率；對(duì)對(duì)于外匯匯期來(lái)說(shuō)說(shuō)，q為國(guó)外無(wú)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利利率，因因此上式式也可用用于股價(jià)價(jià)指數(shù)和和外匯的的美式看看跌期權(quán)權(quán)的定價(jià)價(jià)。對(duì)于期貨貨期權(quán)來(lái)來(lái)說(shuō)，布布萊克曾曾證明，，在對(duì)期期貨期權(quán)權(quán)定價(jià)時(shí)時(shí)期貨的的價(jià)格可可以和支支付連續(xù)續(xù)紅利率率r的證券同同樣對(duì)待待，因此此對(duì)于期期貨期權(quán)權(quán)而言，，q=r，即：因此，也也就可用于于美式期期貨看跌跌期權(quán)的的定價(jià)。。（二）支支付已知知