報班地址：天明路校區(qū)——鄭州市農(nóng)業(yè)路與天明路怡豐新都匯8號樓1單元425室；電話：0371—6038526263582627558196211551619042518039226897高等數(shù)學(xué)第14頁（共15頁）報班地址：龍子湖校區(qū)——鄭東新區(qū)龍子湖北路與博學(xué)路交叉口向南200米學(xué)府廣場B座13樓電話：0371—5581962015638117707150361028972008年河南省普通高等學(xué)校選拔優(yōu)秀?？粕M入本科階段學(xué)習(xí)考試高等數(shù)學(xué)答案及解析一.單項選擇題（每題2分，共計60分）1.答案：C【解析】：.2.答案：C【解析】：.3.答案：B【解析】：.4.答案：B【解析】：顯然只有,其他三個都不存在,應(yīng)選B.5.答案：D【解析】：,.6.答案：A【解析】：在處連續(xù);在處不連續(xù);應(yīng)選A.7.答案：D【解析】：.8.答案：C【解析】：,應(yīng)選C.9.答案：B【解析】：,應(yīng)選B.10.答案：D【解析】：,應(yīng)選D.11.答案：C【解析】：驗證羅爾中值定理的條件,只有滿足,應(yīng)選C.12.答案：B【解析】：,應(yīng)選B.13.答案：B【解析】：.14.答案：D【解析】：,應(yīng)選D.15.答案：A【解析】：,應(yīng)選A.16.答案：B【解析】：此題有問題,定積分是一個常數(shù),有,根據(jù)定積分的估值性質(zhì),有,但這個常數(shù)也在其它三個區(qū)間,都應(yīng)該正確,但真題中答案是B.17.答案：D【解析】：顯然應(yīng)選D.18.答案：D【解析】：,應(yīng)選D.19.答案：A【解析】：對兩邊求有:,即有,還初始條件,代入得,應(yīng)選A.20.答案：C【解析】：令,則,故有,應(yīng)選C.21.答案：C【解析】：,應(yīng)選C.22.答案：D【解析】：,而點(-2,-4,0)不在平面內(nèi),為平行,應(yīng)選D.23.答案：A【解析】：,應(yīng)選A.24.答案：A【解析】：令,,也可以把點（1，2，5）代入方程驗證,應(yīng)選A.25.答案：B【解析】：,應(yīng)選B.26.答案：C【解析】：根據(jù)二重積分的可加性,,應(yīng)選C.27.答案：C【解析】：有此積分與路徑無關(guān),取直線段從變到0,則,應(yīng)選C.28.答案：B【解析】：,應(yīng)選B.29.答案：A【解析】：-1是單特征方程的根,是一次多項式,應(yīng)設(shè),應(yīng)選A.30.答案：B【解析】：級數(shù)的一般項的極限為,是發(fā)散的,應(yīng)選B.二、填空題（每題2分，共30分）31.答案：充要條件【解析】：顯然為充要條件(充分且必要).32.答案：單調(diào)增加，凹函數(shù)【解析】：在內(nèi)單調(diào)增加,在內(nèi)大于零,應(yīng)為凹的.33.答案：【解析】：.34.答案：【解析】：.35.答案：0【解析】：函數(shù)在區(qū)間是奇函數(shù)，所以.36.答案：【解析】：，所以的面積為.37.答案：兩條平行直線【解析】：是橢圓柱面與平面的交線,為兩條平行直線.38.答案：【解析】：.39.答案：0【解析】：.40.答案：【解析】：.41.答案：【解析】：.42.答案：【解析】：由為通解知,有二重特征根-3,從而,微分方程為.43.答案：，【解析】：級數(shù)是等比級數(shù),當(dāng)時,級數(shù)收斂,當(dāng)時,級數(shù)發(fā)散.44.答案：【解析】：.45.答案：發(fā)散【解析】：,級數(shù)發(fā)散.三、計算題（每小題5分，共40分）46．求.【解析】：.47.求.【解析】：.48.已知,求.【解析】：.49.計算不定積分.【解析】：.50.求函數(shù)的全微分.【解析】：利用微分的不變性,.51．計算，其中是由所圍成的閉區(qū)域.【解析】：積分區(qū)域如圖所示:把區(qū)域看作Y型,則有112112故.52．求微分方程滿足初始條件的特解.【解析】：這是一階線性非齊次微分方程,它對應(yīng)的齊次微分方程的通解為,設(shè)是原方程解,代入方程有,即有,所以,故原方程的通解為,把初始條件代入得:,故所求的特解為.53．求級數(shù)的收斂半徑及收斂區(qū)間(考慮區(qū)間端點).【解析】：這是標準的不缺項的冪級數(shù),收斂半徑,而,故收斂半徑.當(dāng)時,級數(shù)化為,這是調(diào)和級數(shù),發(fā)散的;當(dāng)時,級數(shù)化為,這是交錯級數(shù),滿足萊布尼茲定理的條件,收斂的;所以級數(shù)的收斂域為.四、應(yīng)用題（每題7分，共計14分）54.過曲線上一點作切線，是由曲線，切線及軸所圍成的平面圖形，求（1）平面圖形的面積;11（2）該平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)體的體積.11【解析】：平面圖形D如圖所示：因,所以切線的斜率,切線的方程為,即取為積分變量，且.（1）平面圖形D的面積為.（2）平面圖形D繞軸旋轉(zhuǎn)一周所生成旋轉(zhuǎn)體的體積為.55.一塊鐵皮寬為24厘米,把它的兩邊折上去,做成一正截面為等腰梯形的槽(如下圖),要使梯形的面積最大,求腰長和它對底邊的傾斜角.【解析】：梯形截面的下底長為,上底長為,高為,所以截面面積為,即,令得唯一駐點.根據(jù)題意可知,截面的面積最大值一定存在,且在內(nèi)取得,又函數(shù)在內(nèi)只有一個可能的最值點,因此可以斷定時,截面的面積最大.五、證明題（6分）56.證明方程在