報班地址：天明路校區(qū)——鄭州市農(nóng)業(yè)路與天明路怡豐新都匯8號樓1單元425室；電話：0371—6038526263582627558196211551619042518039226897高等數(shù)學(xué)第14頁（共15頁）報班地址：龍子湖校區(qū)——鄭東新區(qū)龍子湖北路與博學(xué)路交叉口向南200米學(xué)府廣場B座13樓電話：0371—5581962015638117707150361028972010年河南省普通高等學(xué)校選拔優(yōu)秀?？飘厴I(yè)生進(jìn)入本科階段學(xué)習(xí)考試高等數(shù)學(xué)答案及【解析】析一、選擇題（每小題2分，共60分）1．答案：D【解析】：由題意可知：，所以.選D.2．答案：D【解析】：A選項(xiàng)為非奇非偶；B選項(xiàng)中為奇函數(shù)，也為奇函數(shù)，因此整體為奇函數(shù)；C選項(xiàng)中為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，因此整體為非奇非偶；D選項(xiàng)中為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，奇偶奇為偶函數(shù)。選D.3．答案：D【解析】：，因此為同階非等價無窮小量。選D.4．答案：A【解析】：（無窮小量乘以有界變量還是無窮小量）；，即左極限=右極限=0，但該函數(shù)在處沒有定義，因此為可去間斷點(diǎn)。選A.5．答案：C【解析】：對C選項(xiàng)來說，令，顯然在區(qū)間上連續(xù)，有，，根據(jù)零點(diǎn)定理可知，區(qū)間內(nèi)至少有一個實(shí)根。其他選項(xiàng)均不滿足零點(diǎn)定理，取法判斷。選C.6．答案：D【解析】：根據(jù)某點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)的定義可知：.選D.7．答案：A【解析】：，切線斜率為1，對應(yīng)的切點(diǎn)，可【解析】得為.故切線方程為.選A.答案：B【解析】：根據(jù)求導(dǎo)法則可得：.選B.9．答案：B【解析】：，.選B.10．答案：D【解析】：定積分表示的是常數(shù)，常數(shù)求導(dǎo)就是0.選D.11．答案：D【解析】：，.當(dāng)時，，有，，所以.選D.12．答案：D【解析】：極值點(diǎn)是駐點(diǎn)或者不可導(dǎo)點(diǎn)，根據(jù)題意無法判斷是否是極值點(diǎn)。選D.13．答案：C【解析】：.令，可得，對應(yīng)的點(diǎn)為，經(jīng)驗(yàn)證是拐點(diǎn)。選C.14．答案：A【解析】：水平漸近線：，故有水平漸近線為；垂直漸近線：，故沒有垂直漸近線。選A.15．答案：A【解析】：因?yàn)槭堑囊粋€原函數(shù)，所以.故.選A.16．答案：B【解析】：由題意知：，故.把代入可得.所以.選B.17．答案：B【解析】：該積分區(qū)間為關(guān)于原點(diǎn)對稱的，且被積函數(shù)為奇函數(shù)，根據(jù)定積分的性質(zhì)可知積分值為0.選B.答案：C【解析】：，可知是的一個原函數(shù)。選C.19．答案：C【解析】：A選項(xiàng)屬于中的情形，顯然是發(fā)散的；B選項(xiàng)屬于中的情形，顯然是發(fā)散的；C選項(xiàng)屬于中的情形，顯然是收斂的；D選項(xiàng)中，顯然是發(fā)散的。選C.20．答案：B【解析】：該方程中出現(xiàn)y的最高階數(shù)為2，故選B.21．答案：B【解析】：因?yàn)閮上蛄科叫?，故對?yīng)的量必定成比例，即，故可【解析】得.選B.22．答案：D【解析】：已知的兩平面的法向量為，這兩個向量既不平行又不垂直，即兩平面既不平行又不垂直。選D.23．答案：A【解析】：根據(jù)柱面方程的特點(diǎn)：只含有兩個變量，可知選A.24．答案：A【解析】：，因此不連續(xù)。選A.25．答案：D【解析】：對兩邊同時對y求導(dǎo)，可有.選D.26．答案：D【解析】：根據(jù)題意可知：積分區(qū)域可表示為，也可以表示為.故選D.27．答案：B【解析】：區(qū)域D在圖形上表示為.選B.28．答案：D【解析】：由題意可知：，【解析】得.選D.29．答案：B【解析】：A選項(xiàng)加絕對值后是，顯然是發(fā)散的；B選項(xiàng)加絕對值后是，即公比為的等比數(shù)列，收斂的，故B為絕對收斂的；C選項(xiàng)的一般項(xiàng)極限為，故是發(fā)散的；D選項(xiàng)的一般項(xiàng)極限為，顯然是發(fā)散的。選B.30．答案：C【解析】：根據(jù)已知兩點(diǎn)的斂散性，可知該冪級數(shù)的收斂域?yàn)椋纱丝芍l(fā)散的點(diǎn)為和.選C.二、填空題（每空2分，共20分）31．答案：．【解析】：.故的定義域?yàn)?32．答案：【解析】：.33．答案：24.【解析】：因?yàn)橐阎瘮?shù)為4次多項(xiàng)式，因此最多求4階導(dǎo)數(shù)，即為某個常數(shù)。所以.34．答案：【解析】：，.35．答案：.【解析】：.36．答案：【解析】：.37．答案：.【解析】：，.因此.38．答案：0.【解析】：對該曲線積分來說，積分曲線L是封閉的，故可用格林公式計(jì)算，但是，故該積分值為0.答案：.【解析】：將特解帶入微分方程有，即，所以.40．答案：.【解析】：，.三、計(jì)算題（每小題5分，共45分）41．求極限．【解析】：原式.42．設(shè)由方程確定的函數(shù)為，求．【解析】：對方程兩邊同時對x求導(dǎo)有，整理可得：.當(dāng)時，代入原方程有.故.43．求不定積分．【解析】：令，則，.則原式.44．求定積分．【解析】：原式.45．求過點(diǎn)且與直線平行的直線方程．【解析】：已知直線的方向向量.所以要求的直線的標(biāo)準(zhǔn)式方程為.46．求函數(shù)的極值．【解析】：令可得唯一可能的極值點(diǎn)，而，有，故是極小值點(diǎn)，極小值為.47．將展開成的冪級數(shù)．【解析】：，因?yàn)椋?，?所以.48．計(jì)算二重積分，其中是由圓所圍成的閉區(qū)域．【解析】：積分區(qū)域D在極坐標(biāo)系下的積分區(qū)域可表示為，故.49．求微分方程的通【解析】．【解析】：這是二階常系數(shù)齊次線性微分方程，它的特征方程為，有兩個相同的特征根即，從而對應(yīng)的齊次方程的通【解析】為（，是任意常數(shù)）.四、應(yīng)用題（每小題8分，共16分）50．要做一個容積為的圓柱形帶蓋容器，問它的高與底面半徑的比值是多少時用料最省？【解析】：設(shè)容積的高和底面半徑分別為其表面積為S，則，易知，代入中有.令得唯一可能的極值點(diǎn)為，根據(jù)實(shí)際意義可知S一定存在最小值，故此時S就取得最小值，這時.故容積的高與底面半徑的比值為2時，用料最省。51．平面圖形由曲線，直線及軸所圍成．求：（1）的面積；（2）繞軸旋轉(zhuǎn)形成的旋轉(zhuǎn)體的體積．【解析】：所求圖形如下圖中的陰影部分：聯(lián)立方程得交點(diǎn).取x為積分變量，且.（1）所求圖形D為.（2）平面圖形D繞x州旋轉(zhuǎn)形成的旋轉(zhuǎn)體的體積.五、證明題（9分）52．設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上