2.2

矩陣的特征值與特征向量及其

相似對角化

2.2.1矩陣的特征值和特征向量2.2.2矩陣的相似對角化2.2.3應用實例定義2.1

設(shè)—階矩陣，如果存在數(shù)和維非零列向量，使得關(guān)系成立，則稱為的特征值，稱為對應

特征值的特征向量。2.2.1

矩陣的特征值和特征向量

d=eig(A)，[vd]=eig(A)>>d=eig(A)>>[vd]=eig(A)poly(A)>>poly(A)2.2.1矩陣的特征值與特征向量2.特征多項式1.特征值和特征向量eig(A)

1.計算矩陣的的特征值和特征向量例2.11求的特征值和特征向量。解：輸入：>>A=[122;212;221]>>d=eig(A)d=

-1.0000-1.00005.00002.2.1

矩陣的特征值和特征向量>>[vd]=eig(A)v=0.62060.53060.57740.1492-0.80270.5774-0.76980.27220.5774d=-1.0000000-1.00000005.00002.2.1

矩陣的特征值和特征向量矩陣d對角元存儲A的所有特征值，從小到大排列。矩陣V每一列存儲相應的特征向量，所以V的最后

一列，就是最大特征值的特征向量。2.2.1

矩陣的特征值和特征向量2.計算矩陣的的特征多項式例2.12

求的特征多項式解：輸入：>>A=[-110;-430;102];>>p=poly(A)輸出：p=1-45-2即特征多項式：

2.2.1

矩陣的特征值和特征向量例2.13

化方陣為對角陣。解：

先求出矩陣的特征向量并判定其相關(guān)性；如果線性無關(guān)，則可以相似對角化。輸入：>>A=[001;11-1;100]；>>[vd]=eig(A)2.2.2

矩陣的相似對角化v=

00.7071-0.57741.000000.577400.70710.5774d=

1.00000001.0000000-1.00002.2.2

矩陣的相似對角化即1、1、-1為方陣的特征值，v為對應的特征向量組成的相似變換矩陣，d為對應v的方陣A的對角矩陣，且。2.2.2矩陣的相似對角化例2.14

求一個正交變換，將二次型化為標準型解：二次型系數(shù)陣：輸入：>>A=[3-3-3;-31-1;-3-11]；>>[P1D]=eig(A)

2.2.2矩陣的相似對角化%當特征向量不是正交陣是需要正交化P1=-0.57740.00000.8165-0.5774-0.7071-0.4082-0.57740.7071-0.4082D=-3.00000002.00000006.00002.2.2矩陣的相似對角化2.2.2矩陣的相似對角化利用正交變換得到二次型的標準型例2.15

求一個正交變換，將二次曲面方程化為標準方程解：二次型系數(shù)陣：輸入：>>A=[32-2;25-5;-2-55]；>>[P1D]=eig(A)

2.2.2矩陣的相似對角化2.2.2矩陣的相似對角化利用正交變換二次曲面化成標準形：例2.16某農(nóng)場飼養(yǎng)某種動物所能達到最大年齡為15歲將其分為三個年齡組：第一組0-5歲；第二組6-10歲；第三組11-15歲動物從第二個年齡組開始繁殖后代：第二個年齡組的動物在其年齡段平均繁殖4個后代；第三年齡組的動物在其年齡段平均繁殖3個后代。第一年齡組和第二年齡組的動物能順利進入下一年齡組的存活率：0.5和0.252.2.3

應用實例假設(shè)農(nóng)場現(xiàn)有三個年齡段動物各1000頭，計算5年后、

10年后、15年、20年后各年齡段動物數(shù)量。根據(jù)有關(guān)生物學研究結(jié)果，對于足夠大的時間值k，有（—Leslie矩陣的唯一正特征值）。

請檢驗此結(jié)果是否正確，如果正確給出適當?shù)膋的值。

2.2.3

應用實例解：由題設(shè)，初始時刻0-5歲、6-10歲、11-15歲的三個年齡段動物數(shù)量分別為：以五年為一個年齡段，則某一時刻三個年齡段的動物數(shù)量可用向量表示。2.2.3

應用實例同理，根據(jù)第一年齡組和第二年齡組的存活率，可得等式

聯(lián)立得2.2.3

應用實例即

由此得到向量和的遞推關(guān)系式（2-8）其中，矩陣—

Leslie矩陣。2.2.3

應用實例由式（2-8）可得輸入：>>x0=[1000;1000;1000];

>>A=[043;1/200;01/40];

>>x1=A*x0>>x2=A*x1

>>x3=A*x2>>x4=A*x32.2.3

應用實例輸出：x1=7000500250x2=27503500125x3=143751375875x4=1.0e+003*8.12507.18750.3438

>>eig(A)A的特征值：1.5000，-1.3090，-0.19102.2.3

應用實例計算Leslie矩陣的特征值則矩陣A的唯一正特征值為x=[1000;1000;1000];d1=1.5;A=[043;1/200;01/40];y=A*x;y1=d1*x;k=1;whilemax(abs(y-y1))>.1x=y;y=A*x;y1=d1*x;k=k+1;end

可知，當時，有結(jié)論成立。2.2.3

應用實例下面驗證：2.2.3

應用實例例2.17

假定一農(nóng)民有一大片作物，它由三種可能基因型AA、Aa、aa的某種分布所組成。農(nóng)民采用的育種方案：作物總體中每種作物都總是用基因型AA的作物授粉。在親本基因型生物后代的基因型的概率分布已知的前提下，推導出在任何一個后代總體中三種可能基因型的分布表達式。表2.6親本基因型生物后代的基因型的概率分布2.2.3

應用實例親本后代AA-AAAA-AaAA-aaAA11/20Aa01/21aa000解：記—第n代中AA基因型作物所占分數(shù)

—第n代中Aa基因型作物所占分數(shù)

—第n代中aa基因型作物所占的分數(shù)

—基因型的原始分布，且

現(xiàn)用基因型AA作物授粉，分析表2.6可知，從上一代的基因型分布產(chǎn)生的下一代的基因型分布可用下列遞推公式求出：

2.2.3

應用實例則遞推公式：其中2.2.3

應用實例可得計算上式的兩種方法：直接計算、將矩陣對角化對角化方法需要將矩陣M對角化，需要找出一個可逆矩陣P和一個對角陣D，使于是其中2.2.3

應用實例是的特征值。所以，只需求得的特征值和對應的特征向量，就可使對角化。>>M=[11/20;01/21;000];

>>[pd]=eig(M)p=1-985/1393881/21580985/1393-881/107900881/21582.2.3

應用實例D=10001/20000這表明，M特征值：因為特征向量乘一非零數(shù)仍是特征向量，所以可取三個特征值對應的特征向量分別為2.2.3

應用實例于是可逆矩陣2.2.3

應用實例>>P=[1-11;