第九節(jié)函數(shù)模型及其應(yīng)用【教材·知識梳理】1.幾類函數(shù)模型函數(shù)模型函數(shù)解析式一次函數(shù)模型f(x)=ax+b(a,b為常數(shù),a≠0)反比例函數(shù)模型f(x)=+b(k,b為常數(shù)且k≠0)二次函數(shù)模型f(x)=ax2+bx+c(a,b,c為常數(shù),a≠0)指數(shù)函數(shù)模型f(x)=bax+c(a,b,c為常數(shù),b≠0,a>0且a≠1)對數(shù)函數(shù)模型f(x)=blogax+c(a,b,c為常數(shù),b≠0,a>0且a≠1)冪函數(shù)模型f(x)=axn+b(a,b為常數(shù),a≠0)2.三種函數(shù)模型的性質(zhì)函數(shù)性質(zhì)y=ax(a>1)y=logax(a>1)y=xn(n>0)在(0,+∞)上的增減性單調(diào)_____單調(diào)_____單調(diào)遞增增長速度越來越快越來越慢相對平穩(wěn)圖象的變化隨x的增大,逐漸表現(xiàn)為與____平行隨x的增大,逐漸表現(xiàn)為與____平行隨n值變化而各有不同值的比較存在一個x0,當(dāng)x>x0時,有l(wèi)ogax<xn<ax遞增遞增y軸x軸【常用結(jié)論】“對勾”函數(shù)：形如f(x)=x+(a>0)的函數(shù)模型稱為“對勾”函數(shù)模型：(1)該函數(shù)在(-∞，-]和[，+∞)上單調(diào)遞增，在[-，0)和(0，]上單調(diào)遞減.(2)當(dāng)x>0時，x=時取最小值2，當(dāng)x<0時，x=-時取最大值-2.【知識點(diǎn)辨析】(正確的打“√”,錯誤的打“×”)(1)函數(shù)y=2x的函數(shù)值比y=x2的函數(shù)值大. (

)(2)“指數(shù)爆炸”是指數(shù)型函數(shù)y=a·bx+c(a≠0,b>0,b≠1)增長速度越來越快的形象比喻. (

)(3)冪函數(shù)增長比直線增長更快. (

)(4)不存在x0,使 (

)提示:(1)×.當(dāng)x=-1時,2-1<(-1)2.(2)×.“指數(shù)爆炸”是針對b>1,a>0的指數(shù)型函數(shù)y=a·bx+c.(3)×.冪函數(shù)增長速度是逐漸加快的,當(dāng)變量較小時,其增長很緩慢,題目說的太絕對,也沒有任何條件限制.(4)×.當(dāng)a∈(0,1)時存在x0,使【易錯點(diǎn)索引】序號易錯警示典題索引1忽略圖象的橫縱坐標(biāo)的意義考點(diǎn)一、T12忽略圖象的變化趨勢考點(diǎn)一、T2、43忽略函數(shù)的表示方法(列表)考點(diǎn)二、T34忽略自變量的取值考點(diǎn)三、角度15忽略基本不等式成立的條件考點(diǎn)三、角度2【教材·基礎(chǔ)自測】1.(必修1P67例4改編)某工廠一年中各月份的收入、支出情況的統(tǒng)計圖如圖所示,則下列說法中錯誤的是(

)A.收入最高值與收入最低值的比是3∶1B.結(jié)余最高的月份是7月C.1至2月份的收入的變化率與4至5月份的收入的變化率相同D.前6個月的平均收入為40萬元【解析】選D.由題圖可知,收入最高值為90萬元,收入最低值為30萬元,其比是3∶1,故A正確;由題圖可知,7月份的結(jié)余最高,為80-20=60(萬元),故B正確;由題圖可知,1至2月份的收入的變化率與4至5月份的收入的變化率相同,故C正確;由題圖可知,前6個月的平均收入為×(40+60+30+30+50+60)=45(萬元),故D錯誤.2.(必修1P69習(xí)題2-3AT7改編)生產(chǎn)一定數(shù)量的商品的全部費(fèi)用稱為生產(chǎn)成本,某企業(yè)一個月生產(chǎn)某種商品x萬件時的生產(chǎn)成本為C(x)=x2+2x+20(萬元).一萬件售價為20萬元,為獲取更大利潤,該企業(yè)一個月應(yīng)生產(chǎn)該商品數(shù)量為______萬件.

【解析】利潤L(x)=20x-C(x)=-(x-18)2+142,當(dāng)x=18時,L(x)有最大值.答案:183.(必修1P120鞏固與提高T9改編)某動物繁殖量y(只)與時間x(年)的關(guān)系為y=alog3(x+1),設(shè)這種動物第2年有100只,則到第8年繁殖到________只.

【解析】依題設(shè)知alog33=100,a=100.當(dāng)x=8時,y=100log39=200.答案:200【核心素養(yǎng)】數(shù)學(xué)建?！鉀Q實際問題中的函數(shù)模型的應(yīng)用

【素養(yǎng)詮釋】數(shù)學(xué)建模是對現(xiàn)實問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象,用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題、用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模型解決問題.在應(yīng)用函數(shù)解決實際問題時需注意以下四個步驟:(1)審題:弄清題意,分清條件和結(jié)論,理順數(shù)量關(guān)系,初步選擇函數(shù)模型.(2)建模:將自然語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言,將文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言,利用數(shù)學(xué)知識,建立相應(yīng)的函數(shù)模型.(3)解模:求解函數(shù)模型,得出數(shù)學(xué)結(jié)論.(4)還原:將數(shù)學(xué)結(jié)論還原為實際意義的問題.【典例】牧場中羊群的最大蓄養(yǎng)量為m只,為保證羊群的生長空間,實際蓄養(yǎng)量不能達(dá)到最大蓄養(yǎng)量,必須留出適當(dāng)?shù)目臻e量.已知羊群的年增長量y只和實際蓄養(yǎng)量x只與空閑率的乘積成正比,比例系數(shù)為k(k>0).(1)寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式,并指出這個函數(shù)的定義域.(2)求羊群年增長量的最大值.(3)當(dāng)羊群的年增長量達(dá)到最大值時,求k的取值范圍.【解析】(1)根據(jù)題意,由于最大蓄養(yǎng)量為m只,實際蓄養(yǎng)量為x只,則蓄養(yǎng)率為故空閑率為由此可得(2)由(1)知即當(dāng)時,y取