第九節(jié)函數(shù)模型及其應(yīng)用【教材·知識(shí)梳理】1.幾類(lèi)函數(shù)模型函數(shù)模型函數(shù)解析式一次函數(shù)模型f(x)=ax+b(a,b為常數(shù),a≠0)反比例函數(shù)模型f(x)=+b(k,b為常數(shù)且k≠0)二次函數(shù)模型f(x)=ax2+bx+c(a,b,c為常數(shù),a≠0)指數(shù)函數(shù)模型f(x)=bax+c(a,b,c為常數(shù),b≠0,a>0且a≠1)對(duì)數(shù)函數(shù)模型f(x)=blogax+c(a,b,c為常數(shù),b≠0,a>0且a≠1)冪函數(shù)模型f(x)=axn+b(a,b為常數(shù),a≠0)2.三種函數(shù)模型的性質(zhì)函數(shù)性質(zhì)y=ax(a>1)y=logax(a>1)y=xn(n>0)在(0,+∞)上的增減性單調(diào)_____單調(diào)_____單調(diào)遞增增長(zhǎng)速度越來(lái)越快越來(lái)越慢相對(duì)平穩(wěn)圖象的變化隨x的增大,逐漸表現(xiàn)為與____平行隨x的增大,逐漸表現(xiàn)為與____平行隨n值變化而各有不同值的比較存在一個(gè)x0,當(dāng)x>x0時(shí),有l(wèi)ogax<xn<ax遞增遞增y軸x軸【常用結(jié)論】“對(duì)勾”函數(shù)：形如f(x)=x+(a>0)的函數(shù)模型稱(chēng)為“對(duì)勾”函數(shù)模型：(1)該函數(shù)在(-∞，-]和[，+∞)上單調(diào)遞增，在[-，0)和(0，]上單調(diào)遞減.(2)當(dāng)x>0時(shí)，x=時(shí)取最小值2，當(dāng)x<0時(shí)，x=-時(shí)取最大值-2.【知識(shí)點(diǎn)辨析】(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”)(1)函數(shù)y=2x的函數(shù)值比y=x2的函數(shù)值大. (

)(2)“指數(shù)爆炸”是指數(shù)型函數(shù)y=a·bx+c(a≠0,b>0,b≠1)增長(zhǎng)速度越來(lái)越快的形象比喻. (

)(3)冪函數(shù)增長(zhǎng)比直線(xiàn)增長(zhǎng)更快. (

)(4)不存在x0,使 (

)提示:(1)×.當(dāng)x=-1時(shí),2-1<(-1)2.(2)×.“指數(shù)爆炸”是針對(duì)b>1,a>0的指數(shù)型函數(shù)y=a·bx+c.(3)×.冪函數(shù)增長(zhǎng)速度是逐漸加快的,當(dāng)變量較小時(shí),其增長(zhǎng)很緩慢,題目說(shuō)的太絕對(duì),也沒(méi)有任何條件限制.(4)×.當(dāng)a∈(0,1)時(shí)存在x0,使【易錯(cuò)點(diǎn)索引】序號(hào)易錯(cuò)警示典題索引1忽略圖象的橫縱坐標(biāo)的意義考點(diǎn)一、T12忽略圖象的變化趨勢(shì)考點(diǎn)一、T2、43忽略函數(shù)的表示方法(列表)考點(diǎn)二、T34忽略自變量的取值考點(diǎn)三、角度15忽略基本不等式成立的條件考點(diǎn)三、角度2【教材·基礎(chǔ)自測(cè)】1.(必修1P67例4改編)某工廠(chǎng)一年中各月份的收入、支出情況的統(tǒng)計(jì)圖如圖所示,則下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是(

)A.收入最高值與收入最低值的比是3∶1B.結(jié)余最高的月份是7月C.1至2月份的收入的變化率與4至5月份的收入的變化率相同D.前6個(gè)月的平均收入為40萬(wàn)元【解析】選D.由題圖可知,收入最高值為90萬(wàn)元,收入最低值為30萬(wàn)元,其比是3∶1,故A正確;由題圖可知,7月份的結(jié)余最高,為80-20=60(萬(wàn)元),故B正確;由題圖可知,1至2月份的收入的變化率與4至5月份的收入的變化率相同,故C正確;由題圖可知,前6個(gè)月的平均收入為×(40+60+30+30+50+60)=45(萬(wàn)元),故D錯(cuò)誤.2.(必修1P69習(xí)題2-3AT7改編)生產(chǎn)一定數(shù)量的商品的全部費(fèi)用稱(chēng)為生產(chǎn)成本,某企業(yè)一個(gè)月生產(chǎn)某種商品x萬(wàn)件時(shí)的生產(chǎn)成本為C(x)=x2+2x+20(萬(wàn)元).一萬(wàn)件售價(jià)為20萬(wàn)元,為獲取更大利潤(rùn),該企業(yè)一個(gè)月應(yīng)生產(chǎn)該商品數(shù)量為_(kāi)_____萬(wàn)件.

【解析】利潤(rùn)L(x)=20x-C(x)=-(x-18)2+142,當(dāng)x=18時(shí),L(x)有最大值.答案:183.(必修1P120鞏固與提高T9改編)某動(dòng)物繁殖量y(只)與時(shí)間x(年)的關(guān)系為y=alog3(x+1),設(shè)這種動(dòng)物第2年有100只,則到第8年繁殖到________只.

【解析】依題設(shè)知alog33=100,a=100.當(dāng)x=8時(shí),y=100log39=200.答案:200【核心素養(yǎng)】數(shù)學(xué)建模——解決實(shí)際問(wèn)題中的函數(shù)模型的應(yīng)用

【素養(yǎng)詮釋】數(shù)學(xué)建模是對(duì)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象,用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)問(wèn)題、用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模型解決問(wèn)題.在應(yīng)用函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)需注意以下四個(gè)步驟:(1)審題:弄清題意,分清條件和結(jié)論,理順數(shù)量關(guān)系,初步選擇函數(shù)模型.(2)建模:將自然語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言,將文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語(yǔ)言,利用數(shù)學(xué)知識(shí),建立相應(yīng)的函數(shù)模型.(3)解模:求解函數(shù)模型,得出數(shù)學(xué)結(jié)論.(4)還原:將數(shù)學(xué)結(jié)論還原為實(shí)際意義的問(wèn)題.【典例】牧場(chǎng)中羊群的最大蓄養(yǎng)量為m只,為保證羊群的生長(zhǎng)空間,實(shí)際蓄養(yǎng)量不能達(dá)到最大蓄養(yǎng)量,必須留出適當(dāng)?shù)目臻e量.已知羊群的年增長(zhǎng)量y只和實(shí)際蓄養(yǎng)量x只與空閑率的乘積成正比,比例系數(shù)為k(k>0).(1)寫(xiě)出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式,并指出這個(gè)函數(shù)的定義域.(2)求羊群年增長(zhǎng)量的最大值.(3)當(dāng)羊群的年增長(zhǎng)量達(dá)到最大值時(shí),求k的取值范圍.【解析】(1)根據(jù)題意,由于最大蓄養(yǎng)量為m只,實(shí)際蓄養(yǎng)量為x只,則蓄養(yǎng)率為故空閑率為由此可得(2)由(1)知即當(dāng)時(shí),y取