山東省淄博市英才中學(xué)2023年高二數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.集合{2，4,6}的子集的個數(shù)是：（

）A.8

B.7

C.6

D.5參考答案：A略2.三棱錐P﹣ABC的四個頂點均在同一球面上，其中△ABC是正三角形，PA⊥平面ABC，PA=2AB=6，則該球的體積為（）A．16π B．32π C．48π D．64π參考答案：B【考點】球內(nèi)接多面體．【分析】由題意把A、B、C、P擴(kuò)展為三棱柱如圖，求出上下底面中心連線的中點與A的距離為球的半徑，然后求出球的體積．【解答】解：由題意畫出幾何體的圖形如圖，把A、B、C、P擴(kuò)展為三棱柱，上下底面中心連線的中點與A的距離為球的半徑，PA=2AB=6，OE=3，△ABC是正三角形，∴AB=3，∴AE==．AO==2．所求球的體積為：（2）3=32π．故選：B．3.以下程序運行后的輸出結(jié)果為（

）A．17

B．19

C．21

D．23參考答案：C無4.過曲線（）上橫坐標(biāo)為1的點的切線方程為（

）A.

B.

C.

D.

參考答案：B略5.等差數(shù)列滿足則（

）A．17 B．18 C．19 D．20參考答案：B6.下列函數(shù)是偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增的是A．

B．

C．

D．參考答案：C7.設(shè)函數(shù)，則等于

（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C略8.已知，，則

(

)A．

B．

C．

D．參考答案：B9.有一段演繹推理是這樣的：“所有9的倍數(shù)都是3的倍數(shù)，某奇數(shù)是9的倍數(shù)，故某奇數(shù)是3的倍數(shù)”．那么，這個演繹推理（）A．大前提錯誤 B．小前提錯誤 C．推理形式錯誤 D．沒有錯誤參考答案：D【考點】F5：演繹推理的意義．【分析】要分析一個演繹推理是否正確，主要觀察所給的大前提，小前提和結(jié)論是否都正確，根據(jù)三個方面都正確，得到結(jié)論．【解答】解：∵所有9的倍數(shù)都是3的倍數(shù)，某奇數(shù)是9的倍數(shù)，故某奇數(shù)是3的倍數(shù)，大前提：所有9的倍數(shù)都是3的倍數(shù)，小前提：某奇數(shù)是9的倍數(shù)，結(jié)論：故某奇數(shù)是3的倍數(shù)，∴這個推理是正確的，故選：D10.甲、乙、丙、丁、戊五位同學(xué)站成一排照相，其中要求甲和乙必須相鄰，且丙不能排最左端，則不同的排法共有（

）A.12種 B.24種 C.36種 D.48種參考答案：C【分析】把甲乙看成一個元素，甲乙、丁，戊的排列共有種不同的排法，又由丙不能排最左端，只有3種方式，利用分步計數(shù)原理，即可求解．【詳解】由題意，把甲乙看成一個元素，甲乙、丁，戊的排列共有種不同的排法，又由丙不能排最左端，利用“插空法”可得丙只有3種方式，由分步計數(shù)原理可得，不同的排法共有種，故選C．【點睛】本題主要考查了排列、組合的應(yīng)用，其中解答中認(rèn)真審題，合理利用“捆綁法”和“插空法”求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.．命題“若，則”的否命題是

．參考答案：略12.若，，且與的夾角為銳角，則的取值范圍為______.參考答案：13.若，則實數(shù)m=

．參考答案：2由題得，所以，∴m=2.故填2.

14.已知直線與垂直，則的值是______________.

參考答案：1或4略15.如圖，在棱長為1的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N分別是A1B1和BB1的中點，那么直線AM和CN所成角的余弦值為．參考答案：【考點】異面直線及其所成的角．【專題】計算題．【分析】先通過平移將兩條異面直線平移到同一個起點B1，得到的銳角或直角就是異面直線所成的角，在三角形中再利用余弦定理求出此角即可．【解答】解：如圖，將AM平移到B1E，NC平移到B1F，則∠EB1F為直線AM與CN所成角設(shè)邊長為1，則B1E=B1F=，EF=∴cos∠EB1F=，故答案為【點評】本小題主要考查異面直線所成的角，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力，屬于基礎(chǔ)題．16.已知橢圓的離心率是，過橢圓上一點作直線交橢圓于兩點，且斜率分別為，若點關(guān)于原點對稱,則的值為

。參考答案：17.某校老年教師90人、中年教師180人和青年教師160人，采用分層抽樣的方法調(diào)查教師的身體情況，在抽取的樣本中，青年教師有32人，則該樣本的老年教師人數(shù)為．參考答案：18【考點】分層抽樣方法．【分析】由題意，老年和青年教師的人數(shù)比為90：160=9：16，即可得出結(jié)論．【解答】解：由題意，老年和青年教師的人數(shù)比為90：160=9：16，設(shè)老年教師為x人則，解得x=18所以老年教師有18人，故答案為：18．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知展開式中的各項系數(shù)之和等于的展開式的常數(shù)項，而的展開式的系數(shù)最大的項等于54，求的值．參考答案：

a=19.在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，設(shè)向量=（a，），=（cosC，c﹣2b），且⊥．（Ⅰ）求角A的大??；（Ⅱ）若a=1，求△ABC的周長l的取值范圍．參考答案：【考點】解三角形；數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系；三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值．【專題】計算題．【分析】（Ⅰ）利用向量的垂直，推出數(shù)量積為0，通過三角形內(nèi)角和以及兩角和的正弦函數(shù)，確定角A的大??；（Ⅱ）若a=1，利用正弦定理求出b、c的表達(dá)式，通過三角形的內(nèi)角和以及兩角和的正弦函數(shù)化簡表達(dá)式，根據(jù)角的范圍，確定三角函數(shù)的范圍，然后求△ABC的周長l的取值范圍．【解答】解：（Ⅰ）由題意⊥．可知：，即acosC+=b，得sinAcosC+sinC=sinB．又sinB=sin（A+C）=sinAcosB+cosAsinC．∴，∵sinC≠0，∴cosA=．又0＜A＜π∴A=．（Ⅱ）由正弦定理得：b=，，l=a+b+c=1+=1+=1+2（）=1+2sin（B+）．∵A=．∴B∈，∴B+，∴sin（B+）．故△ABC的周長l的范圍為（2，3]．【點評】本題考查正弦定理，兩角和的正弦函數(shù)，向量的數(shù)量積等知識的應(yīng)用，考查計算能力．20.某個公園有個池塘，其形狀為直角△ABC，∠C=90°，AB=2百米，BC=1百米．（1）現(xiàn)在準(zhǔn)備養(yǎng)一批供游客觀賞的魚，分別在AB、BC、CA上取點D，E，F(xiàn)，如圖（1），使得EF‖AB，EF⊥ED，在△DEF喂食，求△DEF面積S△DEF的最大值；（2）現(xiàn)在準(zhǔn)備新建造一個荷塘，分別在AB，BC，CA上取點D，E，F(xiàn)，如圖（2），建造△DEF連廊（不考慮寬度）供游客休憩，且使△DEF為正三角形，設(shè)求△DEF邊長的最小值．參考答案：【考點】三角形中的幾何計算．【專題】計算題；三角函數(shù)的求值；解三角形．【分析】（1）設(shè)（0＜λ＜1），利用解直角三角形算出EF=2λ百米，再利用EF∥AB算出點D到EF的距離為h=（1﹣λ）百米，從而得到S△DEF=EF?h表示成關(guān)于λ的函數(shù)式，利用基本不等式求最值即可算出△DEF面積S△DEF的最大值；（2）設(shè)正三角形DEF的邊長為a、∠CEF=α且∠EDB=∠1，將CF和AF用a、α表示出，再用α分別分別表示出∠1和∠ADF，然后利用正弦定理表示a并結(jié)合輔角公式化簡，利用正弦函數(shù)的值域即可求得a的最小值．【解答】解：（1）Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2百米，BC=1百米．∴cosB=，可得B=60°∵EF∥AB，∴∠CEF=∠B=60°設(shè)（0＜λ＜1），則CE=λCB=λ百米，Rt△CEF中，EF=2CE=2λ百米，C到FE的距離d=CE=λ百米，∵C到AB的距離為BC=百米，∴點D到EF的距離為h=﹣λ=（1﹣λ）百米可得S△DEF=EF?h=λ（1﹣λ）百米2∵λ（1﹣λ）≤[λ+（1﹣λ）]2=，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立∴當(dāng)時，即E為AB中點時，S△DEF的最大值為百米2（2）設(shè)正△DEF的邊長為a，∠CEF=α則CF=a?sinα，AF=﹣a?sinα設(shè)∠EDB=∠1，可得∠1=180°﹣∠B﹣∠DEB=120°﹣∠DEB，α=180°﹣60°﹣∠DEB=120°﹣∠DEB∴∠ADF=180°﹣60°﹣∠1=120°﹣α在△ADF中，=即，化簡得a[2sin（120°﹣α）+sinα]=∴a===（其中φ是滿足tanφ=的銳角）∴△DEF邊長最小值為．【點評】本題在特殊直角三角形中求三角形邊長和面積的最值，著重考查了解直角三角形、平行線的性質(zhì)、正弦定理和三角恒等變換等知識，考查了在實際問題中建立三角函數(shù)模型能力，屬于中檔題．21.小王為了鍛煉身體，每天堅持“健步走”，并用計步器進(jìn)行統(tǒng)計．小王最近8天“健步走”步數(shù)的頻數(shù)分布直方圖（圖1）及相應(yīng)的消耗能量數(shù)據(jù)表（表1）如下：健步走步數(shù)（前步）16171819消耗能量（卡路里）400440480520（Ⅰ）求小王這8天“健步走”步數(shù)的平均數(shù)；（Ⅱ）從步數(shù)為17千步，18千步，19千步的幾天中任選2天，求小王這2天通過“健步走”消耗的能量和不小于1000卡路里的概率．參考答案：【考點】列舉法計算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率；頻率分布直方圖．【分析】（I）由已知條件利用平均數(shù)公式能求出小王這8天每天“健步走”步數(shù)的平均數(shù)．（II）設(shè)小王這2天通過“健步走”消耗的能量和不小于1000卡路里為事件A．“健步走”17千步的天數(shù)為2天，記為a1，a2，“健步走”18千步的天數(shù)為1天，記為b1，“健步走”19千步的天數(shù)為2天，記為c1，c2．利用列舉法能求出小王這2天通過“健步走”消耗的能量和不小于1000卡路里的概率．【解答】解：（I）小王這8天每天“健步走”步數(shù)的平均數(shù)為（千步）．…（II）設(shè)小王這2天通過“健步走”消耗的能量和不小于1000卡路里為事件A．“健步走”17千步的天數(shù)為2天，記為a1，a2，“健步走”18千步的天數(shù)為1天，記為b1，“健步走”19千步的天數(shù)為2天，記為c1，c2．5天中任選2天包含基本事件有：a1a2，a1b1，a1c1，a1c2，a2b1，a2c1，a2c2，b1c1，b1c2，c1c2，共10個．事件A包含基本事件有：b1c1，b1c2，c1c2共3個．所以．…22.如圖，在三棱錐A﹣BCD中，AD⊥平面BCD，CB=CD，AD=DB，P，Q分別在線段AB，AC上，AP=3PB，AQ=2QC，M是BD的中點．（Ⅰ）證明：DQ∥平面CPM；（Ⅱ）若二面角C﹣AB﹣D的大小為，求∠BDC的正切值．參考答案：【考點】二面角的平面角及求法；直線與平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）取AB的中點E，則EQ∥PC，從而EQ∥平面CPM，由中位線定理得DE∥PM，從而DE∥平面CPM，進(jìn)而平面DEQ∥平面CPM，由此能證明DQ∥平面CPM．（Ⅱ）法1：推導(dǎo)出AD⊥CM，BD⊥CM，從而CM⊥平面ABD，進(jìn)而得到∠CPM是二面角C﹣AB﹣D的平面角，由此能求出∠BDC的正切值．法2：以M為坐標(biāo)原點，MC，MD，ME所在的直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出∠BDC的正切值．【解答】證明：（Ⅰ）取AB的中點E，則，所以EQ∥PC．又EQ?平面CPM，所以EQ∥平面CPM．…又PM是△BDE的中位線，所以DE∥PM，從而DE∥平面CPM．…所以平面DEQ∥平面CPM，…故DQ∥平面CPM．…解：（Ⅱ）解法1：由AD⊥平面BCD知，AD⊥CM由BC=CD，BM=MD