30一月20231高等數(shù)學(xué)多媒體課件華南農(nóng)業(yè)大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系牛頓（Newton）萊布尼茲（Leibniz）30一月20232第五章定積分及其應(yīng)用（DefiniteIntegralsanditsApplication）積分學(xué)不定積分定積分30一月20233主要內(nèi)容第一節(jié)定積分的概念與性質(zhì)第二節(jié)微積分基本公式第三節(jié)定積分的計(jì)算方法第四節(jié)廣義積分

第五節(jié)定積分的應(yīng)用第六節(jié)經(jīng)濟(jì)應(yīng)用Ⅴ

30一月20234第一節(jié)定積分的概念與性質(zhì)

第五章（ConceptionsandPropertiesof

DefiniteIntegrals）一、引例二、定積分的定義四、定積分的性質(zhì)三、定積分的幾何意義30一月20235一、引例1.曲邊梯形的面積設(shè)曲邊梯形是由連續(xù)曲線以及兩直線所圍成,求其面積A.矩形面積梯形面積30一月202361)

大化小.在區(qū)間[a,b]中任意插入

n–1個(gè)分點(diǎn)用直線將曲邊梯形分成n

個(gè)小曲邊梯形;2)

常代變.在第i

個(gè)窄曲邊梯形上任取作以為底,為高的小矩形,并以此小梯形面積近似代替相應(yīng)窄曲邊梯形面積得解決步驟:30一月202374)取極限.令則曲邊梯形面積3)近似和.30一月20238設(shè)某物體作直線運(yùn)動(dòng),且求在運(yùn)動(dòng)時(shí)間內(nèi)物體所經(jīng)過(guò)的路程s.解決步驟:1)大化小.將它分成在每個(gè)小段上物體經(jīng)2)常代變.得已知速度n

個(gè)小段過(guò)的路程為2.變速直線運(yùn)動(dòng)的路程30一月202394)取極限.上述兩個(gè)問(wèn)題的共性:

解決問(wèn)題的方法步驟相同:“大化小,常代變,近似和,取極限”

所求量極限結(jié)構(gòu)式相同:特殊乘積和式的極限3)近似和.30一月202310二、定積分定義任一種分法任取總趨于確定的極限

I,則稱此極限I為函數(shù)在區(qū)間上的定積分,即此時(shí)稱

f(x)在[a,b]上可積

.記作30一月202311積分上限積分下限被積函數(shù)被積表達(dá)式積分變量積分和定積分僅與被積函數(shù)及積分區(qū)間有關(guān),而與積分變量用什么字母表示無(wú)關(guān),即30一月202312定理1定理2且只有有限個(gè)間斷點(diǎn)可積的充分條件:應(yīng)當(dāng)指出的是，30一月202313曲邊梯形面積曲邊梯形面積的負(fù)值各部分面積的代數(shù)和定積分的幾何意義:30一月20231430一月202315四、定積分的性質(zhì)（設(shè)所列定積分都存在）(k為常數(shù))證:=右端30一月202316證:

當(dāng)時(shí),因在上可積,所以在分割區(qū)間時(shí),可以永遠(yuǎn)取

c

為分點(diǎn),于是30一月202317則有當(dāng)a,b,c

的相對(duì)位置任意時(shí),例如30一月202318則證:推論1若在[a,b]上則6.若在[a,b]上30一月202319證:即7.

設(shè)則推論2積分估值定理30一月202320證:例3（補(bǔ)充題）試證:在區(qū)間[0,1]上單調(diào)遞增，利用積分估值定理，得30一月202321則至少存在一點(diǎn)使證:則由性質(zhì)7

可得根據(jù)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)介值定理,使因此定理成立.8.

積分中值定理30一月202322

可把故它是有限個(gè)數(shù)的平均值概念的推廣.

積分中值定理對(duì)因說(shuō)明:30一月202323內(nèi)容小結(jié)1.定積分定義——乘積和式的極限2.定積分的幾何意義3.定積分存在的2個(gè)充分性條件4.定積分的7條基本性質(zhì)課后練習(xí)習(xí)題5-130一月202324思考與練習(xí)1.

用定