有限元分析及應(yīng)用

FiniteElementAnalysisandApplication第七章動力學問題的有限元法在實際機械結(jié)構(gòu)中，常作用于結(jié)構(gòu)上的載荷是動載荷，即載荷隨時間t相關(guān)，這時，結(jié)構(gòu)上相應(yīng)的位移，應(yīng)力和應(yīng)變不僅隨空間位置變化，還隨時間t而變化。結(jié)構(gòu)動力學問題的有限元法的實質(zhì)就是將一個彈性連續(xù)體的振動問題，離散為一個以有限個節(jié)點位移為廣義坐標的多自由度系統(tǒng)的振動問題。其基本原理和分析方法類同靜力學的有限元法，按桿梁、薄板等不同結(jié)構(gòu)進行分析。不同的是，應(yīng)用振動理論建立動力學方程時，在單元分析中除需形成剛度矩陣外，還需形成質(zhì)量矩陣，阻力矩陣；在整體分析中，不僅求動力響應(yīng)，更多是求解特征值問題（結(jié)構(gòu)振動的固有頻率及相應(yīng)的振動型（或模態(tài)））7-1振動基本方程的建立

從靜力學有限元法可知，有限元的基本思想是將彈性體離散成有限個單元，然后據(jù)各單元節(jié)點的位移協(xié)調(diào)和節(jié)點力平衡，建立整體剛度平衡方程：上式也同樣適用于彈性體受動載荷作用的有限元分析，關(guān)于靜力問題和動力問題的區(qū)別，據(jù)達朗貝爾原理，動力學問題只要在外力在中計入慣性力后，便可按靜力平衡處理。考慮到動力問題中的載荷和位移均為時間的函數(shù)，上式可記為：由于動力載荷可為作用于彈性體上的動載荷，也可為彈性體的慣性力，也可為與速度相關(guān)的阻尼力，即：據(jù)慣性力定義表示為：如阻尼力正比與速度，則動力學基本方程：7-2單元質(zhì)量、阻尼、剛陣計算1、單元剛度陣任取一個單元，單元節(jié)點位移為，節(jié)點速度和加速度為：，則單元節(jié)點內(nèi)任一點的位移[N]為形函數(shù)，與時間t無關(guān)，為X、Y、Z的函數(shù)，它與靜力分析中一樣；由于[N]與時間無關(guān)，則單元應(yīng)變矩陣，應(yīng)力矩陣仍與靜力分析完全相同：則剛度矩陣同樣與靜力情況相同：7-2單元質(zhì)量、阻尼、剛陣計算2、單元質(zhì)量陣設(shè)單元節(jié)點加速度為，則單元內(nèi)任一點的加速度：設(shè)單元的質(zhì)量密度為，則單位體積中的慣性力為：負號表示慣性力與加速度相反。顯然，整個單元上慣性力即為上式的積分。如何將這個作用于單元上的慣性力移置到單元節(jié)點上，通常有兩種方法：1）虛功原理法——求得一致質(zhì)量矩陣2）直接分配法——即按重心不變原則分配，求得集中質(zhì)量矩7-2單元質(zhì)量、阻尼、剛陣計算1）虛功原理法設(shè)單元中發(fā)生虛位移為則單元慣性力作的虛功為：單元節(jié)點上節(jié)點慣性力所作的功為：將和代入可得這里[M]為單元的一致質(zhì)量矩陣。顯然，對于不同的單元，因形函數(shù)不同，則質(zhì)量矩陣也是不同的。如平面常應(yīng)變?nèi)切螁卧囊恢沦|(zhì)量陣為：7-2單元質(zhì)量、阻尼、剛陣計算2）直接分配法將單元內(nèi)分布質(zhì)量按重心不變原則分配至單元節(jié)點上，所產(chǎn)生的質(zhì)量矩陣是沒有耦合項的對角矩陣。如六自由度的平面三角形單元，單元總質(zhì)量為W/g，則平均分配至三個節(jié)點上的質(zhì)量所形成的質(zhì)量陣為：一般而言，一致質(zhì)量較準確地反映了單元內(nèi)質(zhì)量分布的實際情況，集中質(zhì)量精度不如前者，但不存在耦合，使計算大大簡化，是工程中常用的方法。7-2單元質(zhì)量、阻尼、剛陣計算3、單元阻尼陣單元阻尼力主要指結(jié)構(gòu)阻尼力，它是由結(jié)構(gòu)內(nèi)部材料內(nèi)摩擦引起的阻尼。設(shè)結(jié)構(gòu)阻尼系數(shù)為，則單位體積產(chǎn)生的阻尼力（即阻尼力密度）為：利用虛功原理同理可得：為了簡化計算，工程中常將阻尼矩陣記為質(zhì)量矩陣或剛度矩陣的形式，如令阻尼系數(shù)則7-2單元質(zhì)量、阻尼、剛陣計算一旦單元剛陣、質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣求得，則動力學方程中的整體剛陣、質(zhì)量陣等可類似靜力分析的剛度矩陣組裝得到：7-3固有頻率和振型計算計算結(jié)構(gòu)的固有頻率和振型是結(jié)構(gòu)動力學分析的主要內(nèi)容，也是分析結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)和其它動力特性問題的基礎(chǔ)。由于一般結(jié)構(gòu)阻尼對結(jié)構(gòu)的固有頻率和振型影響極小，所以，求結(jié)構(gòu)的固有頻率和振型時，直接用無阻尼的自由振動方程求解。即因任意彈性體的自由振動都可分解為一系列的簡諧振動的迭加：即結(jié)構(gòu)上各節(jié)點位移為為節(jié)點位移振幅向量（即振型），與時間t無關(guān)的位移幅值；為與該振型對應(yīng)的頻率。7-3固有頻率和振型計算1、特征方程將節(jié)點位移代入動力方程，化簡得廣義特征值問題：由于結(jié)構(gòu)自由振動時，各個節(jié)點的振幅不可能全為零，則稱為結(jié)構(gòu)的特征方程，即求結(jié)構(gòu)的固有頻率和振型歸結(jié)為特征值問題。設(shè)計結(jié)構(gòu)的自由度為n，則特征方程為的n次代數(shù)方程，其n個根稱為特征值，記為它們的平方根稱為系統(tǒng)的固有頻率，即將這些固有頻率從小到大依次排列為最低的頻率稱為基頻，它是所有頻率中最重要的一個。7-3固有頻率和振型計算2、特征向量對應(yīng)每個固有頻率，可有方程由此求得一組節(jié)點振幅不全為0的向量稱為特征向量，也稱為振型或模態(tài)向量。由于上述方程為齊次方程，顯然解不唯一，也就是說：振型的形狀是唯一的，但其振幅不是唯一的；或一個特征值可對應(yīng)有多個特征向量，但一個特征向量只對應(yīng)一個特征值。實際中，常選特征向量使這個過程稱之為正規(guī)化利用正規(guī)化，可得

7-3固有頻率和振型計算3、特征向量的性質(zhì)正交性：任意兩個特征值對應(yīng)的特征向量關(guān)于質(zhì)量矩陣或剛度矩陣正交。即設(shè)則有（請同學們自己證明）若將所有的特征值對應(yīng)的特征向量組裝成特征向量矩陣，即則對應(yīng)所有的特征值問題可簡記為矩陣形式：考慮到正規(guī)化，可進一步記為：7-4特征值問題的解法

結(jié)構(gòu)固有頻率和振型的計算歸結(jié)為求的特征值和特征向量由于有限元法將結(jié)構(gòu)離散為n個自由度，n一般相當大，故n次特征方程的直接求解十分困難，常求其近似解，常用的求解方法有冪迭代法、逆迭代法、子空間迭代法等1、冪迭代法特點：用于計算最大（主）特征值十分有效。設(shè)則這里[D]稱為動力矩陣，也即一個變換矩陣，它可將任一特征向量變換為一常數(shù)與其自身的乘積。7-4特征值問題的解法由于任兩個特征值對應(yīng)的特征向量是正交的，則n個特征向量可組成特征向量空間中的一個特征向量基，其特征向量空間中的任一特征向量可表示為基向量的線性組合。即存在任一向量：設(shè)這個向量被[D]變換后形成一新的特征向量為：類推，可得：7-4特征值問題的解法由于所有的特征值排列為：即存在考慮到問題為齊次方程，特征向量前的系數(shù)可以略去，則上式在p趨近無窮時，其第一項就趨近實際計算，只需迭代有限次即可得精確解7-4特征值問題的解法冪法迭代格式1、選初始特征向量，如單位向量2、構(gòu)造新特征向量，并歸一化3、計算特征值近似值4、計算相鄰兩次迭代的特征值誤差，檢查是否收斂若需計算二階、三階等特征值，則需構(gòu)造新的動力矩陣7-4特征值問題的解法2、逆迭代法逆迭代法也稱為反冪法，類似于冪法，特征值問題改寫為：其具體迭代格式為：1）選初始向量如單位向量2）計算中間向量3）求解線性方程組4）歸一化5）計算特征值近似值6）計算相鄰兩次迭代的特征值誤差，檢查是否收斂7-5動力響應(yīng)的計算動力響應(yīng)是指結(jié)構(gòu)在外加激振力作用下，所產(chǎn)生的位移、速度、加速度。對于受迫振動，由于阻尼影響很大，不能忽略，即基本方程為求解此方程通常有兩種數(shù)值方法：振型迭加法和逐次積分法1、振型迭加法振型迭加法的基本思想是利用結(jié)構(gòu)固有振型的正交性，把結(jié)構(gòu)的復(fù)雜振動分解為一組相互獨立的單自由度振動（即解耦），從而求得結(jié)構(gòu)的位移響應(yīng)。設(shè)結(jié)構(gòu)無阻尼自由振動的各階固有頻率和相應(yīng)的固有振型為：則結(jié)構(gòu)任意時刻的受迫振動產(chǎn)生的位移可認為是n個固有振型為基的線性組合，即為組合系數(shù)，是時間t的函數(shù)，也稱為振形坐標。7-5動力響應(yīng)的計算上式可記為這里代如動力學方程：左乘廣義質(zhì)量陣廣義阻尼陣廣義剛度陣廣義激振力7-5動力響應(yīng)的計算據(jù)正交性可知，這些廣義矩陣均為對角矩陣，即表示方程各個變量之間是沒有耦合項的，從而動力方程轉(zhuǎn)化為n個相互獨立的單自由度振動的動力方程，分別求解這n個方程可求得從而求得動力方程的位移解進而可求得速度、加速度7-5動力響應(yīng)的計算2、逐次積分法基本思想：將時間t離散為n個區(qū)