第四章頻域信號(hào)檢測(cè)技術(shù)第一節(jié)相關(guān)函數(shù)和相關(guān)檢測(cè)一、相關(guān)函數(shù)能量有限信號(hào)：功率有限信號(hào)：f(t)為虛函數(shù)：f(t)為實(shí)函數(shù)：f(t)為虛函數(shù)：f(t)為實(shí)函數(shù)：對(duì)于能量有限信號(hào)（單脈沖，非周期信號(hào)等）的相關(guān)函數(shù)：兩個(gè)信號(hào)x(t)，y(t)輸入同一電路，但由于某種原因兩個(gè)信號(hào)產(chǎn)生了時(shí)間延遲，它們的相關(guān)函數(shù)可定義為：相關(guān)函數(shù)是兩信號(hào)之間時(shí)延為τ的函數(shù)。若x(t)與y(t)不是同一信號(hào)，則它們的相關(guān)函數(shù)Rxy(τ)或Ryx(τ)稱為互相關(guān)函數(shù)。如果x(t)與y(t)是同一信號(hào)，即y(t)＝x(t)。此時(shí)，它們的相關(guān)函數(shù)Rxx(τ)［或簡(jiǎn)寫作R(τ)］稱謂自相關(guān)函數(shù)：對(duì)于功率有限信號(hào)（如周期信號(hào)、階躍函數(shù)及隨機(jī)信號(hào)）的相關(guān)函數(shù)定義為：虛函數(shù)的相關(guān)函數(shù)：實(shí)函數(shù)的相關(guān)函數(shù)：相關(guān)檢測(cè)技術(shù)是應(yīng)用信號(hào)周期性和噪聲隨機(jī)性的特點(diǎn)，通過自相關(guān)或互相關(guān)運(yùn)算，達(dá)到去除噪聲的一種技術(shù)。自相關(guān)函數(shù)用來度量同一個(gè)隨機(jī)過程前后的相關(guān)性。當(dāng)隨機(jī)函數(shù)不包含周期性分量時(shí)，自相關(guān)函數(shù)將從τ＝0的最大值開始，隨τ的增加單調(diào)地下降。當(dāng)τ趨近無窮大時(shí)，隨機(jī)函數(shù)x(t)的自相關(guān)函數(shù)趨近x(t)平均值的平方。相關(guān)檢測(cè)如果平均值為零，則Rxx(τ)隨τ的增大而趨于零。由此可知，Rxx(0)表示信號(hào)x(t)在—?dú)W姆電阻上的平均功率，即互相關(guān)函數(shù)是度量?jī)蓚€(gè)隨機(jī)過程間的相關(guān)性。如果兩個(gè)隨機(jī)過程的發(fā)生互相獨(dú)立（如信號(hào)與隨機(jī)噪聲），則互相相關(guān)函數(shù)將是一個(gè)常數(shù)，它等于兩個(gè)隨機(jī)函數(shù)的平均值的積。若其中有一個(gè)平均值是零，則互相關(guān)函數(shù)處處為零。相關(guān)接收機(jī)（或檢測(cè)器）就是計(jì)算相關(guān)函數(shù)的自動(dòng)化儀器。自相關(guān)檢測(cè)技術(shù)：一般信號(hào)的描述：fi(t)=Si(t)＋ni(t)fi(t)的自相關(guān)函數(shù)為：互相關(guān)檢測(cè)技術(shù)：一般信號(hào)的描述：f1(t)=S1(t)+n1(t)；f2(t)=S2(t)+n2(t)互相關(guān)函數(shù)為：第二節(jié)鎖定放大器一、鎖定放大器概述信號(hào)通道：信號(hào)通道位于相關(guān)器之前，由輸入變壓器、低噪聲前置放大器、各種功能的有源濾波器和主放大器等組成。其作用是將弱信號(hào)放大到足以推動(dòng)相關(guān)器工作的電平，并兼有抑制和濾除部分干擾及噪聲的功能，從而擴(kuò)大儀器的動(dòng)態(tài)范圍。信號(hào)通道應(yīng)是低噪聲、高增益的。參考通道：通常鎖定放大器的參考通道輸出是和信號(hào)同步的對(duì)稱方波，用以驅(qū)動(dòng)相關(guān)器的場(chǎng)效應(yīng)管開關(guān)。參考通道主要由觸發(fā)電路、倍頻電路、相移電路、方波形成電路及驅(qū)動(dòng)電路組成。參考觸發(fā)信號(hào)可在儀器內(nèi)部發(fā)生，也可從外部輸入，大部分產(chǎn)品由外部輸入。輸入波形可以是正弦波、方波、三角波、脈沖波等周期信號(hào)。相關(guān)器：相關(guān)器是一種完成被測(cè)信號(hào)與參考信號(hào)互相關(guān)函數(shù)運(yùn)算的電子線路。它必須具有動(dòng)態(tài)范圍大、漂移小、時(shí)間常數(shù)可調(diào)、線性好、增益穩(wěn)定和頻率范圍寬等性能。相關(guān)器包括乘法器和積分器兩部分。二、鎖定放大器中的相關(guān)器1、相關(guān)器的數(shù)學(xué)解若參考信號(hào)為對(duì)稱方波，可用單位幅度的對(duì)稱方波函數(shù)表示，即：被測(cè)信號(hào)為正弦波，即：乘法器輸出信號(hào)：積分器輸入電壓V1、輸出電壓V0均滿足微分方程：一階線性微分方程，其通解通過邊界條件，求出C2、相關(guān)器的性能討論1）當(dāng)輸入信號(hào)頻率與參考信號(hào)頻率的基波相等輸出信號(hào)：滿足條件：其中Tc＝R0C0為積分器的時(shí)間常數(shù)。輸出信號(hào)攜帶測(cè)試信號(hào)的全部信息：幅度、相位差、頻率（參考光基頻），信號(hào)放大：R0/R1當(dāng)測(cè)試時(shí)間t>>Tc時(shí)的穩(wěn)態(tài)解：2）當(dāng)輸入信號(hào)為參考信號(hào)的偶次諧波時(shí)輸出信號(hào)：滿足條件：當(dāng)測(cè)試信號(hào)為參考信號(hào)的偶次諧波時(shí)，鎖定放大器沒有信號(hào)輸出。當(dāng)參考信號(hào)的占空比為1：1對(duì)稱方波時(shí)，則傅里葉分析知道，此方波無偶次項(xiàng)分量，亦即相關(guān)器能抑制偶次諧波。3）當(dāng)輸入信號(hào)為參考信號(hào)頻率的奇次諧波

輸出信號(hào)：滿足條件：分別是輸入信號(hào)頻率為參才信號(hào)頻率的奇數(shù)倍時(shí)的輸入信號(hào)振幅、相位差和輸出電壓

。當(dāng)測(cè)試時(shí)間t>>Tc時(shí)的穩(wěn)態(tài)解：當(dāng)n=0時(shí)，為基波輸出當(dāng)信號(hào)頻率為參考信號(hào)頻率的奇次諧波時(shí)，相關(guān)器輸出的直流電壓幅值為基波頻率的1/(2n+1)。假設(shè)（2n+1）次諧波的輸入振幅信號(hào)的輸出：4）若輸入信號(hào)頻率偏離奇次諧波一個(gè)微小量

滿足條件：信號(hào)輸出：分別為輸入信號(hào)頻率在附近偏移時(shí)的信號(hào)幅值、相位差、輸出相位移和輸出電壓。5）輸入信號(hào)為參考信號(hào)同頻的方波

在物理量的測(cè)量中，往往需要把慢變化和直流信號(hào)進(jìn)行斬波，使之變成方波信號(hào)后再進(jìn)行測(cè)量，所以討論相關(guān)器對(duì)方波的響應(yīng)具有實(shí)際的意義。當(dāng)輸入信號(hào)為方波時(shí)，其數(shù)學(xué)表達(dá)式：式中的為輸入信號(hào)相對(duì)于參考信號(hào)的延遲時(shí)間。參考信號(hào)表達(dá)式：經(jīng)過推導(dǎo)，輸出信號(hào)為：式中滿足條件：信號(hào)輸出：根據(jù)無窮級(jí)公式（0＜y＜C）假設(shè)：信號(hào)輸出：輸出信號(hào)與相位差成線性關(guān)系3、相關(guān)器的噪聲帶寬信號(hào)頻率在參考信號(hào)頻率奇次諧波附近，相對(duì)于基波響應(yīng)響應(yīng)的規(guī)一化傳輸函數(shù)為根據(jù)等效噪聲帶寬的定義：當(dāng)n＝0，基波處等效噪聲帶寬則基波處的等效噪聲帶寬與相關(guān)器的積分常數(shù)有關(guān)，總的等效噪聲帶寬為各次諧波等效噪聲之和存在級(jí)數(shù)總的噪聲帶寬為：由于噪聲電壓與等效噪聲帶寬的平方根成正比，故當(dāng)相關(guān)器輸入為白噪聲時(shí)，總的輸出噪聲比基波處的噪聲大。這說明，如果輸入信號(hào)為方波，并伴有白噪聲，在相關(guān)器前加帶通濾波器或低通濾波器，可使噪聲限制在基波等效噪聲帶寬內(nèi)。因?yàn)?，各諧波等效噪聲被排除，使相關(guān)器的等效噪聲帶寬減小23％，即濾波器掉了11％的噪聲，但是濾波器也濾掉了輸入方波信號(hào)中的諧波分量，使信號(hào)損失了23％，這表明檢測(cè)方波信號(hào)時(shí)，在相關(guān)器前加濾波器不能改善輸出信噪比。但當(dāng)檢測(cè)正弦波信號(hào)時(shí)，濾波器對(duì)信噪比的提高卻是有利的。三、鎖定放大器時(shí)間常數(shù)的選擇相關(guān)器的等效噪聲帶寬由積分器的時(shí)間常數(shù)決定。Tc越長(zhǎng)，等效噪聲帶寬越窄，抑制噪聲的能力也就越強(qiáng)；同時(shí)，Tc越長(zhǎng)，信號(hào)的變化頻率表現(xiàn)越失真。Tc的選擇有一定的范圍，即有一個(gè)上限和下限值。1、積分時(shí)間的下限（最小值）

1）積分時(shí)間的下限受輸出電路過載電平的限制。在相同的噪聲干擾下，Tc越長(zhǎng)，抑制噪聲能力越強(qiáng)，輸出噪聲就越小。Tc越短，抑制噪聲能力越差，輸出噪聲就越大。積分時(shí)間的下限主要受以下兩個(gè)方面所限制：假設(shè)輸入端為單位帶寬白噪聲，噪聲電壓為假設(shè)系統(tǒng)增益為K=1輸出端的噪聲電為：為使鎖定放大器能正常工作，必須使輸出噪聲的峰值不超過滿刻度電平FS（FullScale）。由于Vni為均方根值，而噪聲的峰值一般認(rèn)為是均方根值的三倍。因此，噪聲峰峰值為均方根值的六倍（正負(fù)），所以必定滿足：通常鎖定放大器的輸出等效噪聲帶寬完全由積分器確定，可以近似的認(rèn)為Tc的下限值為：2）積分時(shí)間的下限受諧波衰減的限制。在討論相關(guān)器的性質(zhì)時(shí)，必須滿足條件：假設(shè)t>>Tc，則式中除第一項(xiàng)外，其余都是小項(xiàng)，且是交流諧波項(xiàng)，它們隨著Tc的減小而增加。其中二次諧波2R

是最大的交流分量，如果要滿足諧波分量可以忽略不計(jì)，假設(shè)二次諧波分量小于1/100，則滿足：TR為參考信號(hào)的周期，從此式所知在積分器為6dB/倍頻程衰減時(shí)，若要使諧波項(xiàng)低于直流項(xiàng)二個(gè)數(shù)量級(jí)，則必須使積分時(shí)間常數(shù)Tc大于信號(hào)周期的八倍以上。2、積分時(shí)間的上限（最大值）

積分時(shí)間越長(zhǎng)，抑制噪聲和干擾的能力越強(qiáng)。然而，要在不失真的前題下正確檢測(cè)信號(hào)，則積分時(shí)間就要受到限制，多數(shù)信號(hào)不可能只是單一頻譜，這是因?yàn)閱我活l譜不包含信息。所以大多數(shù)情況下，信號(hào)都具有一定頻譜寬度。假設(shè)信號(hào)為：s表示信息量，且假設(shè)信號(hào)載波頻率等于參考信號(hào)頻率。穩(wěn)態(tài)解為：n=0時(shí)，輸出信號(hào)為：滿足條件：s是慢變化的調(diào)制信號(hào)頻率，R是載波頻率，則前二項(xiàng)為零。則輸出信號(hào)為：當(dāng)n=0時(shí)則：通過相關(guān)器可恢復(fù)s信號(hào)，如果要求恢復(fù)的信號(hào)不失真，則要求在全頻譜內(nèi)，各頻率分量按原來的比例恢復(fù)。假設(shè)信號(hào)譜頻最高頻率的失真不超過50％，則要求：假設(shè)信號(hào)譜頻最高頻率的失真不超過3dB，則要求：總結(jié)積分時(shí)間的取值范圍（不考慮滿刻度限制）：或者：按頻率表示：可見：載波頻率與信號(hào)頻率的關(guān)系：即在微弱信號(hào)檢測(cè)中，采用相關(guān)檢測(cè)時(shí)要求載波頻率fR遠(yuǎn)大于緩慢變化信號(hào)的最高頻率fsmax。為了抑制噪聲和不使儀器輸出端噪聲電平過載，希望Tc越長(zhǎng)越好。但為使信號(hào)不失真，則時(shí)間常數(shù)又不能太大，故宜采用折中處理。另外，在某些物理量的測(cè)量中，可設(shè)法減慢信號(hào)的變化速度，減窄信號(hào)頻譜的帶寬，如使fsmax減到1/100周以下或更低。這樣，就能用長(zhǎng)的Tc來檢測(cè)深埋在噪聲中的信號(hào)。第三節(jié)同步積分器一、同步積分器概述同步積分器又稱相干濾波器，它是一種抗噪聲能力很強(qiáng)的電路。其工作原理是采用對(duì)信號(hào)和噪聲多次累積平均的辦法，將已知頻率的信號(hào)從強(qiáng)噪聲中提取出來。二、同步積分器原理三、同步積分器的數(shù)學(xué)解積分器的輸入電流和輸出電壓關(guān)系分別由下式?jīng)Q定：輸出信號(hào)是通過同步開關(guān)交替地接到負(fù)載RL上去的輸出電壓。假設(shè)：C1＝C2＝C，同步積分器的輸出是與參考信號(hào)（開關(guān)信號(hào)）頻率相同的方波，方波的幅度，即：四、同步積分器的性能1、設(shè)輸入信號(hào)與參考信號(hào)頻率相同

1.同步積分器的積分時(shí)間常數(shù)Ti＝2RC。如要改變積分時(shí)間并保持放大倍數(shù)不變，可改變電容C。2.同步積分器的輸出方波幅度正比于輸入信號(hào)的幅度、信號(hào)與參考信號(hào)相位差的余弦及同步積分器的放大倍數(shù)的乘積。3.含有輸入正弦信號(hào)的振幅和相位信息，只要在參考信號(hào)的通道中設(shè)一個(gè)定標(biāo)相移器，就可以通過輸出信號(hào)來測(cè)定輸入信號(hào)的振幅與相位。2、信號(hào)頻率為參考信號(hào)頻率的偶次諧波

它表明同步積分器抑制偶次諧波。顯然，當(dāng)為參考信號(hào)的偶次諧波時(shí)，對(duì)每一個(gè)積分器來說，在參考信號(hào)的正半周（或負(fù)半周）內(nèi)積分一次，正好是信號(hào)的（n+1）個(gè)整周期。因而，此時(shí)信號(hào)的正半周對(duì)電容器充的電荷正好是它在負(fù)半周釋放的電荷，互相抵消，積分為零，因而輸出為零。其物理過程和相關(guān)器中的偶次諧波分析類似。3、信號(hào)頻率為參考信號(hào)頻率的幾次諧波

由此可見，在輸入信號(hào)頻率為參考信號(hào)奇次諧波時(shí)，其輸出幅度正比于該諧波輸入信號(hào)振幅的1/（2n+1)、信號(hào)與參考信號(hào)相位差的余弦及同步積分器放大倍數(shù)的乘積。4、輸入信號(hào)頻率偏離參考信號(hào)奇次諧波頻率一個(gè)小量

由此得到同步積分器的傳輸特性。這是以參考信號(hào)頻率為參數(shù)的梳狀濾波器，濾波器的“梳狀齒”在各次諧波處，其相對(duì)幅度和方波頻譜特性一樣。因此，同步積分器是隨參考信號(hào)頻率而變化的方波匹配濾波器。當(dāng)積分時(shí)間常數(shù)Ti＝2RC越長(zhǎng)，帶寬越窄，抑制噪聲的能力也就越強(qiáng)，就越接近方波的理想匹配濾波器。5、輸入信號(hào)是參考信號(hào)的同頻方波輸出信號(hào)為：輸出方波的幅度不但正比于輸入方波的幅值，而且是信號(hào)方波和參考方波相位差（或延遲時(shí)間）的線性函數(shù)?？梢?，同步積分器不但是方波的匹配濾波器，而且在強(qiáng)噪聲條件下，還可作方波鑒相器。6、輸入信號(hào)為調(diào)幅方波，其頻率和參考信號(hào)頻率相同

或則（另外一種表達(dá)方式）：輸出信號(hào)為：式中：一個(gè)調(diào)幅方波通過同步積分器后，輸出一個(gè)調(diào)幅方波，但方波幅值被衰減，且在調(diào)幅信號(hào)中產(chǎn)生相移。

同步積分器可看作以參考信號(hào)頻率為參量的方波匹配濾波器。若有與參考信號(hào)相干的正弦信號(hào)（或方波信號(hào)）淹沒在白噪聲中，由于白噪聲具有均勻頻譜，通過同步積分后，信號(hào)全部通過，而白噪聲絕大部分給濾掉了，只有極小一部分未濾去。因而它能將淹沒在噪聲中的信號(hào)恢復(fù)出來。當(dāng)然還可能存在其它強(qiáng)干擾信號(hào)，但只要干擾頻率不落在同步積分器的傳輸通頻帶內(nèi)，同步積分器照樣可把這些強(qiáng)干擾濾掉，將信號(hào)恢復(fù)出來。物理機(jī)理可以這樣理解：同步積分器是采用同步開關(guān)控制的積分器，使同頻信號(hào)同相地分別對(duì)兩個(gè)電容充電，充電電位為信號(hào)在充電時(shí)間內(nèi)的積分值。而噪聲由于頻率和相位都是隨機(jī)的，不可能全與開關(guān)同步，因此噪聲在電容上的充、放電將互相抵消，積分后的噪聲值很小。其它干擾同樣互相抵消，從而達(dá)到能在噪聲和干擾中提取信號(hào)的目的。五、同步積分器的噪聲帶寬同步積分器的歸一化傳遞函數(shù)：等效噪聲的定義：一級(jí)同步積分器的等效噪聲帶寬：二級(jí)串聯(lián)同步積分器的等效噪聲帶寬：（1）等效噪聲帶寬只決定于積分時(shí)間常數(shù)，時(shí)間常數(shù)越大，等效噪聲帶寬越窄。（2）二級(jí)同步積分器串聯(lián)的等效噪聲帶寬是一級(jí)等效噪聲帶寬的一半。