一元二次方程的解法(1(1)元二次方程的概念一、考點、熱點回顧1、一元二次方程必須同時滿足的三個條件： 2、一元二次方程的一般形式：二、典型例題例1：判斷下列方程是否為一元二次方程：①x2+x=1②x2=1③x2-2x+3y=0④x2一3二(x-1)(x-4)⑤ax2+bx+c=0 ⑥mx2=0(m是不為零常數)例2：一元二次方程的二次項系數、一次項系數和常數項.(ix2-10x—900=0 (2)5x2+10x一2.2=0(3)2x2-15=0 (4)x2+3x=0(5)(x+2)2=3 (6)(x+3)(x-3)=0例3：當m時，關于x的方程(m+2)x|m|+3mx+1=0是一元二次方程。三、課堂練習1、下列方程中，關于x的一元二次方程是()A.3(x+1)2=2(x+1)B.—+1-2=0x2yC.ax2+bx+c=0 D.x2+2x=x2-12、用換元法解方程(x2+x)2+(x2+x)=6時，如果設X2+x=y，那么原方程可變形為()A、y2+y-6=0 B、y2—y—6=0C、y2—y+6=0 D、y2+y+6=03、已知兩數的積是12,這兩數的平方和是25,以這兩數為根的一元二次方程是4、已知關于x的一元二次方程x2-（k+1）x-6=0的一個根是2,求k的值.四、課后練習.將方程3x（x_1）=5（x+2）化成一元二次方程的一般形式，得；其中二次項系數是；一次項系數是；常數項是..方程（k-4）x2+5x+2k+3=0是一元二次方程，則k就滿足的條件是:.已知m是方程X2-x-2=0的一個根，則代數式m2-m=.在一幅長80cm，寬50cm的矩形風景畫的四周鑲一條金色紙邊，制成一幅矩形掛圖，如果要使整個掛圖的面積是5400cm2,設金色紙邊的寬為xcm，則x滿足的方程是（）（A）x2+130x-1400=0 （B）x2+65x-350=0（C）x2-130x-1400=0 （D）x2-65x-350=0.關于x的方程（m-3）x2+nx+m=0，在什么條件下是一元二次方程？在什么條件下是一元一次方程？（2）直接開方法一、考點、熱點回顧1、了解形如X2=a（aN0）或（x+h）2=k（k三0）的一元二次方程的解法一一直接開平方法小結：如果一個一元二次方程具有（x+m）2=n（n>0）的形式，那么就可以用直接開平方法求解。（用直接開平方法解一元二次方程就是將一元二次方程的左邊化為一個完全平方式,右邊化為常數,且要養(yǎng)成檢驗的習慣）【復習回顧】.方程(k-4)x2+5x+2k+3=0是一元二次方程，則k就滿足的條件是:.若(a+1)X2+(x-1)2=0二次項的系數為-2,則a=二、典型例題例1：解下列方程：x2=2 (2)4x2—1=0例2、解下列方程：W(x+1)2=2 ⑵(x-1)2-4=0 ⑶12(3-x)2-3=0推薦例3：用直接開平方法解下列方程1(3x+1)2-15=0(2)(x-3>=4(2x+1〉(3)x2+2ax+a2-b=04三、課堂練習1：若方程(x-4)2=m-6可用直接開平方法解，則m的取值范圍是()A.m>6 B.mNoC.mN6D.m=62：方程(1-x)2=2的根是()A.-1、3 B：1、-3C：1-x2、1+”D…2-1、Q+13：方程(3x—1)2=-5的解是。4：用直接開平方法解下列方程：(1)4x2=9； (2)(x+2)2=16(3)(2x-1)2=3; (4)3(2x+1)2=12四、課后練習1、4的平方根是，方程X2=4的解是.2、方程Q+11=1的根是，方程4(x+1>=1的根是.3、當x取時，代數式x2-5的值是2；若x2-相=0,則x=.4、關于x的方程3x2-k+1=0若能用直接開平方法來解，則k的取值范圍是( )A、k>1B、k<1 C、kW1 D、kN15、解下列方程：(1)2x2-1=0 (2)(5x)-4=63 9(3)(X+J5)(-J5)=7 (4)2(6-X>-128=0(5)0.5y2-2=0 (6)(x+1、=4(x-2)6、已知一個等腰三角形的兩邊是方程4-(x-10)2=0的兩根，求等腰三角形的面積(3)配方法一、考點、熱點回顧1、經歷探究將一元二次方程的一般式轉化為(x+h)2=k(nN0)形式的過程，進一步理解配方法的意義；2、填空：(1)X2+6x+=(x+)2;(2)x2-2x+=(x-_)2；(3)x2-5x+=(x-_)2；(4)x2+x+=(x+)2；(5)x2+px+=(x+)2;3、將方程X2+2x-3=0化為(乂+坨2=卜的形式為；小結1：用配方法解一元二次方程的一般步驟：1、把常數項移到方程右邊；2、在方程的兩邊各加上一次項系數的一半的平方，使左邊成為完全平方；3、利用直接開平方法解之。小結2：當一元二次方程二次項系數不為1時，用配方法解方程的步驟：①二次項系數化為1;②移項；③直接開平方法求解.二、典型例題例1:將下列各進行配方：⑴x2+10x+=(x+)2 ⑵x2—6x+=(x—)2⑶X2—5x+=(x-)2 ⑷x2+bx+ =(x+ )4 —2例2:解下列方程：(1)X2—4X+3=0 (2)X2+3X—1=0推薦例3：用配方法解下列關于X的方程：(1)(x+1)2-10(x+1)+9=0 (2)x2一6aX+9a2-4b2=0

例4：例1解方程：①2x2—5x+2=0 ②一3x2+4x+1=0例5、一個小球垂直向上拋的過程中，它離上拋點的距離h(m)與拋出后小球運動的時間t(s)有如下關系：h=241-5t2。經過多少秒后，小球離上拋點的高度是16m？推薦例6：求證：對任意實數X，代數式x2-4x+4.5的值恒大于零。三、課堂練習.完成下列配方過程：x2+8x+=(x+)2x2-x+=x2+8x+=(x+)2x2-x+=(x-)2x2+x2-+4=(x+)2+9=(x- )2- 4 .若x2-mx+"=(x+7)2，則m的值為().25 5A.75B.-A.75B.-75C14

.5D-14. 5.用配方法解下列方程：(1)x2-6x-16=0；(3)X(1)x2-6x-16=0；(3)X2+2%3x-4=0；4.已知直角三角形的三邊(2)x2+3x-2=0；22

(4)x2-2x-2=0.3 3a、b、c，且兩直角邊a、b滿足等式(a2+b2)2-2(a2+b2)-15=0，求斜邊c的值。5.用配方法解方程2y2-血y=1時，方程的兩邊都應加上（）A.好B.52 4A.好B.52 4C.4D.-5166.a2+b2+2a-4b+5=(a+)2+(b-)27.用配方法解下列方程：(1)2x2+1=3x；(2)3y(1)2x2+1=3x；(4)2x2=3-7x.(3)3x2(4)2x2=3-7x.8.若4x2-（4m-1）x+m2+1是一個完全平方式，求m.四、課后練習1、用配方法解下列方程：（1）x2-6x-16=0 （2）x2+3x-2=0（3）x2+7=-6x （4）x2-1x--=04 52、把方程x2-3x+p=0配方，得到（x+m%=2.（1）求常數p與m的值；（2）求此方程的解。

3、用配方法解方程x2+px+q=0(p2-4q>0)4、用配方法解下列方程：X2X2+15=10X3x2-12x+3=0(3)4x2—12、2x—1=0(5)3x2(5)3x2＋2x—3=0(6)2x2-4x+5=02、你能用配方法求：當x為何值時，代數式-3x2+6x-5有最大值?(4)公式法一、考點、熱點回顧1、把方程4-X2=3x化為ax2+bx+c=0(a=0)形式為,b2-4ac=.2、方程X2+x-1=0的根是。3、方程3x2+2=4x的判別式b2-4ac=,所以方程的根的情況是.4、一元二次方程X2-4x+4=0的根的情況是()A.有兩個不等的實數根B.有兩個相等的實數根D.不能確定C.D.不能確定總結：一元二次方程ax2+bx+c=0(a=0)的根的情況可由來判斷:當b2-4ac>0時， 當b2-4ac=0時， 當b2-4ac<0時， 二、典型例題例1：解下列方程：⑴x2+3x+2=0; (2)2X2—7x=4變式：1、解方程：(1)2x(x+1)=3; (2)x2+1=—x(—2+5+x).例2：解下列方程：(1)x2+x—1=0; (2)x2—2v3x+3=0; (3)2x2—2x+1=0.例3：不解方程，判別下列方程根的情況.(1)2x2+3x+4=0； (2)2x2-5=6x；(3)4x(x-1)-3=0； (4)x2+5=2%：5x.

題變：1、試說明關于X的方程x2+(2k+1)x+k-1=0必定有兩個不相等的實數根.推薦例4：當k為何值時，關于X的方程kx2—(2k+1)x+k+3=0有兩個不相等的實數根？題變：1、已知一元二次方程(m-2)2X2+(2m+1)x+1=0有兩個不相等的實數根，求的取值范圍.三、隨堂練習.把方程(2x-1)(x+3)=X2+1化為ax2+bx+c=0的形式，b2-4ac=，方程的根是..方程(x-1)(x-3)=2的根是()A.x1=1,x2=3 B.x=2±2.<3 C.x=2土.<3 D.x=-2±2-<3.關于x的一元二次方程X2+4x-m=0的一個根是<5-2,則m=，方程的另一個根是..若最簡二次根式、:m2-7和v：8mTi是同類二次根式，則的值為()A.9或-1 B.-1 C.1 D.9.用公式法解下列方程：(1)x2-2x-8=0； (2)x2+2x-4=0；(3)(3)2x2-3x-2=0；(4)3x(3x-2)+1=0..方程（2x+1）（9x+8）=1的根的情況是（）A.有兩個不相等的實數根 B.有兩個相等的實數根C.無實數根 D.不能確定.關于x的方程X2+2kkx+1=0有兩個不相等的實數根，則k（）A.k>-1 B.kN-1C.k>1 D.kN0.要使關于x的方程kx2-4x+3=0有實數根，則k應滿足的條件是 （）A.k<4/3 B.k>4/3 C.kW4/3 D.kN4/3.已知方程x2-mx+n=0有兩個相等的實數根，那么符合條件的一組m,n的值可以是m=,n=..不解方程，判斷下列方程根的情況：3汽2—x+1=3x(2)5(汽2+1)=7x(3)3汽2—4A3x=—4.解下列方程：x2+6x=0; (2)x2+12x+27=0(3)2y(3)2y2-y-5=0;(4)x2+6x-16=0四、課后練習.用公式法解方程、五X2+4x運x=2.J2，其中求的b2-4ac的值是（）A.16B.土4C..、瓦 D.64.用公式法解方程x2=-8x-15,其中b2-4ac=，方程的根是 ..用公式法解方程3x2+4=12x,下列代入公式正確的是（）A.x1.2=12±.<144-A.x1.2=12±.<144-12

2B.x1.2=-12±."44-12

2x1.2=12x1.2=12土<144+122x1.2_12土、：144—48.三角形兩邊長分別是3和5,第三邊的長是方程3x2-10x-8=0的根，則此三角形是三角形..如果分式x2+x—2的值為零，那么x= :x—1.用公式法解下列方程：3y2-y-2=0 (2)2x2+1=3x(3)4x2(3)4x2-3x-1=x-2(4)3x(x-3)=2(x-1)(x+1).下列方程中，沒有實數根的方程式()A.x2=9 B.4x2=3(4x-1)C.x(x+1)=1 D.2y2+6y+7=0.方程ax2+bx+c=0(a=0)有實數根，那么總成立的式子是()A.b2-4ac>0 B.b2-4ac<0C.b2-4acW0 D.b2-4acN09.如果方程9x2-(k+6)x+k+1=0有兩個相等的實數根，那么k=.因式分解法一、考點、熱點回顧應用回顧：下列哪些方法能用因式分解法解(1)x2+2x=0(2)(x-3)2-(x—3)=0(3)x+1-2(x+1)2=11(4)x2-9=0

小結：因式分解法解一元二次方程的一般步驟：.將方程的右邊化為0.將方程左邊因式分解..把原來的一元二次方程轉化為兩個一元一次方程..分別解兩個一元一次方程，它們的根就是原方程的根.二、典型例題例1：用因式分解法解方程:（1）%2=—4x （2）x+3-x（x+3）=0例2：解方程（2x-1）2-x2=0三、隨堂練習1.如果方程x2-3x+c=0有一個根為1,那么c=,該方程的另一根為該方程可化為（該方程可化為（x-1）（x）=02.2.方程X2=X的根為（）A.x=0B.x1A.x=0B.x1=0,x2=1C.x1=0,x2=-1 D.x1=0,x2=23.3.用因式分解法解下列方程：（1（1）（x+2）