第五講Ross的套利定價

理論(APT)和資產定價基本定理1APT和資產定價基本定理CAPM和APT

的表達形式CAPM:APT:APT開始時作為CAPM

的替代物出現(xiàn)的。2APT和資產定價基本定理StephenRoss(1944-)3APT和資產定價基本定理摘自Levy《投資學》325頁4APT和資產定價基本定理Markowitz

理論和CAPMMarkowitz

理論指出，對于固定的收益（期望收益率)，怎樣選取適當?shù)淖C券組合，使得風險(收益率方差)最小。CAPM則指出，任何證券和證券組合的收益(期望收益率)怎樣通過兩個均值－方差有效的收益率的期望值來估計。兩者通過“系統(tǒng)風險”、“非系統(tǒng)風險”之說聯(lián)系在一起。5APT和資產定價基本定理“未定權益空間”上的正交分解6APT和資產定價基本定理正交分解的含義對于Markowitz

理論來說，為求“風險”最小，應取“收益率前沿”直線上的點，使“非系統(tǒng)風險”(的長度)為零。對于CAPM來說，任何證券或證券組合的“收益”可用“收益率前沿”直線上的兩點來計算，它并不關心“非系統(tǒng)風險”(的長度)有多大。就這兩點來說，增加“風險因素”的APT不可能有任何新作為。7APT和資產定價基本定理APT能取代CAPM嗎？APT聲稱它要取代CAPM,并認為它所取的“風險因素”不需要“均值－方差有效”。但是如果要求“誤差項”可能是所有“非系統(tǒng)風險”，即所有與“收益率前沿”所在平面正交的元素，那么它將要求所有“風險因素”都“均值－方差有效”。因此，結論是“誤差項”不能是所有“非系統(tǒng)風險”。8APT和資產定價基本定理APT能否提高“收益估計質量”？如果APT的目的是為了提高“收益估計”的“質量”，即要求“誤差項”“很小”，這對于個別證券或證券組合是可能做到的，它可通過對繼續(xù)進行對“更大的風險因素空間”進行正交分解來做到。但是不可能有一個對所有證券或證券組合都是“高質量”的APT!因為對于任何確定的“風險因素空間”，總存在“誤差項很大”的證券組合。9APT和資產定價基本定理APT理論的真正意圖APT理論試圖回答的問題其實與Markowitz

理論－CAPM試圖回答的問題有很大不同。它回避“均值－方差有效”的概念，也不僅僅是要得到“收益估計”，而是對“部分”(但是有無限個！)證券希望得到“相對較好”的“收益估計”，并且認為只要互相獨立的“風險因素”越來越多，個別的“收益估計”就會越來越好（“漸近無套利假設”)。10APT和資產定價基本定理APT的出發(fā)點、終點與根據(jù)為此，APT的出發(fā)點與以前有很大不同：多“風險因素”，被估計收益的是一系列無限多種證券，“誤差項”不是“非系統(tǒng)風險”(不一定與“前沿平面”正交)，它們的方差是有界的。APT的終點是：“誤差項”的“總體”“較小”。理論根據(jù)是“漸進無套利假設”，即線性定價函數(shù)是連續(xù)的。11APT和資產定價基本定理資產定價基本定理Ross在提出他的APT理論以后，1978年又提出一條很一般的定理。這條定理后來被人們稱為“資產定價基本定理”。甚至“金融學基本定理”。它指出完整的無套利假設等價于正線性定價法則。這條資產定價基本定理對金融經(jīng)濟學框架的形成，實際上起了決定性的作用。12APT和資產定價基本定理Ross1978年的經(jīng)典論文13APT和資產定價基本定理Ross論文的引言14APT和資產定價基本定理引言的譯文“在一個沒有未被開發(fā)的套利機會的資產市場中，存在一個線性估值算子，它可以毫不含糊地以完善的市場替代來為收益流定價，或者對通過市場組合界定的現(xiàn)金流來界定其值。用不到進一步假定，只要預計的收益可以通過購買一個市場資產組合的確定的跨時規(guī)劃來復制(或界定)，這是可能的。這些結果已被證明，并且被用來簡化和統(tǒng)一許多金融經(jīng)濟學中的論述，其中包括項目估值，Modigliani-Miller

理論，遠期定價，封閉式互助基金悖論以及有效市場理論?！?5APT和資產定價基本定理資產定價基本定理所謂資產定價基本定理實際上是一條數(shù)學定理，它是指一個正線性(定價)

函數(shù)應該有什么形式。如果我們考慮的是一般的“未定權益Hilbert空間”，那么并沒有什么明確的“資產定價基本定理”。如果假定未來只有有限種狀態(tài)，那么所有“未定權益”都可以用有限維向量來表示。16APT和資產定價基本定理S維向量空間上的正線性函數(shù)對于S維向量空間來說，其上的正線性函數(shù)一定可以通過一個S維正向量來表示，其分量是這個函數(shù)在S個單位向量上所取的值。每個S維向量的正線性函數(shù)都可表示為這個正向量與自變向量的內積。17APT和資產定價基本定理S維向量空間的經(jīng)濟學對應物Arrow-Debreu

在把不確定性引進一般經(jīng)濟均衡模型時，沒有用概率論，而是用一個有限(S)維向量來對應一個“未定權益”。這樣，Arrow-Debreu

意義下的“未定權益空間”就是一個S維向量空間。在這個空間中的S個單位向量，后人把它們稱為Arrow-Debreu

證券。相應的“未定權益空間”常稱為“未定市場(ContingentMarket)。18APT和資產定價基本定理完全市場的資產定價基本定理金融經(jīng)濟學考慮的問題是：如何用基本證券的價格來為所有的未定權益定價。如果任何未定權益都是基本證券的未來價值的線性組合，這樣的“市場”就稱為“完全市場”。在“未定市場”情形下，即“未定權益空間”是有限維空間時，完全市場就是說基本證券組的未來價值構成空間的“基”。19APT和資產定價基本定理完全市場的資產定價基本定理基的數(shù)學性質翻譯成經(jīng)濟語言為：每一種資產(未定權益、衍生證券等)都可以通過基本證券的組合來“復制”，或者叫“重構”。在這種情況下，尤其是S種Arrow-Debreu

證券也能被復制。而Arrow-Debreu

證券的價值一定是正的。由此我們就得到這種情形的資產定價基本定理。20APT和資產定價基本定理問題在于不完全市場情形困難的是，基本證券集不能構成向量空間的不完全市場情形。在這種情況下，我們要證明資產定價基本定理，可以通過對證券集不斷加入證券來使其成為完全市場。被加入的證券的定價當然要求仍然滿足無套利假設。被加入的證券顯然可以是Arrow-Debreu

證券。21APT和資產定價基本定理一種最簡單的情形舉一個最簡單的例子，看這樣的過程是怎樣進行的。假設S=2。而證券只有一種無風險證券，并且它的當前價格是1，未來價格是(1,1)。即只有一種沒有時間價值的貨幣。這時我們能對其他證券定價嗎？顯然，除了與它完全成比例的證券外，別的都定不了。22APT和資產定價基本定理無套利(正線性)定價但是由于無套利假設的約束，我們仍然可以對任何證券的價格定出其可能的范圍。我們在最初的例子中實際上已經(jīng)指出，如果有一種證券的未來價格是(a,b)，那么其當前價格只可能在a

和b

之間。否則就有套利機會。因此，對于Arrow-Debreu

證券例如(1,0),其當前價格只可能是0和1之間的數(shù)。23APT和資產定價基本定理一般情形的討論這個簡單的例子說明，在不完全市場中也能利用無套利假設來定價，但是所定出的價不是唯一的。一般情況下，對一組不構成完全市場的基本證券集，我們都可通過它們對另一個與它們線性無關的證券定出其當前價格的范圍。任取該范圍中的一個價格，形成一個新的證券集。繼續(xù)這一過程。24APT和資產定價基本定理資產定價基本定理的數(shù)學困難最后形成一個能張成S

維空間的基本證券集，使問題歸結為完全市場情形。在不完全市場情形下，對一種證券確定其定價范圍是問題的關鍵。解決這一問題有本質的數(shù)學困難。它需要凸集分離定理或者其他定價命題。25APT和資產定價基本定理凸集分離定理26APT和資產定價基本定理資產定價基本定理的一般提法資產定價基本定理說到底就是正線性定價法則在數(shù)學上怎樣表達。對于“未定權益Hilbert空間”來說，問題可以這樣來提：一個連續(xù)正線性定價函數(shù)是否一定有這樣的性質：這里是“最大的未定權益空間”。27APT和資產定價基本定理資產定價基本定理的經(jīng)濟含義這條定理的經(jīng)濟含義可敘述為：一個“小市場”中的正線性定價法則是否可以擴充到“大市場”？或者說，我們能否通過“已定價商品”的價格來為“未定價商品”定價，使得正線性定價法則仍然保持？整個衍生證券定價理論，即Black-Scholes-Merton理論就是這樣的基本思想，即“相對定價”思想。28APT和資產定價基本定理資產定價基本定理的數(shù)學解答一般問題沒有一般答案，即以剛才的形式提出的問題不一定有解。但是當是有限維空間時，問題的答案是肯定的。只是要得到這樣的結果，數(shù)學上都不太簡單(涉及凸集分離定理)。一種有限維的情況是“未來只有有限種狀態(tài)”的“未定市場(ContingentMarket)”的情況。29APT和資產定價基本定理“未定市場”的資產定價基本定理這時，資產定價基本定理這樣敘述：設未來有S

種狀態(tài)，市場中有K

種已定價的“基本證券”，其“未來價格”為“當前價格”為那么“無套利假設”（正線性定價法則）成立的充要條件為存在使得30APT和資產定價基本定理Arrow-Debreu

證券和“狀態(tài)價格”

稱為狀態(tài)價格，它們是未來價值為單位向量的“證券”的價格。這種證券已經(jīng)被文獻上普遍稱為Arrow-Debreu

證券。“Arrow-Debreu

證券”這一名詞起源于Arrow-Debreu

把“不確定性”引進一般經(jīng)濟均衡理論時的做法。其主要特點是其中沒有概率的概念。31APT和資產定價基本定理引進等價概率鞅測度如果在“基本證券”中有“無風險證券”，其未來價格為當前價格為，那么有令那么可看作第i種狀態(tài)的概率，這種概率稱為“等價概率鞅測度”，即在這種概率測度下，每一種未定權益的當前價格都等于其未來價格的折現(xiàn)值的期望值。32APT和資產定價基本定理在等價概率鞅測度下的

隨機折現(xiàn)因子寫成數(shù)學表達式就是由此還可對收益率得到即所有未定權益的期望收益率都相等。這就是“鞅”這個名詞的含義。這時隨機折現(xiàn)因子是無風險證券！33APT和資產定價基本定理等價概率鞅測度下，

不再有“金融平面幾何”！當隨機折現(xiàn)因子為無風險證券時，“金融平面幾何”不再有效，即不再有（有意義的）Markowitz

理論，不再有CAPM。CAPM變?yōu)椤捌椒病钡那樾危核衅谕找媛识嫉扔跓o風險收益率。這一結果是現(xiàn)代經(jīng)典金融經(jīng)濟學最重要的結果，因而可稱為“金融學基本定理”！34APT和資產定價基本定理未定權益定價與

概率論的早期歷史BlaisePascal(1623-1662)PierredeFermat(1601-1665)未定權益定價問題聯(lián)系著概率論的起源。1654年Pascal與Fermat的五封通信，奠定概率論的基礎。他們當時考慮的就是一個“未定權益定價”(擲骰子)問題。35APT和資產定價基本定理Pascal－Fermat

問題二人擲骰子賭博，先擲滿5次雙6點者贏。有一次，A擲滿4次雙6點，B擲滿3次雙6點。由于天色已晚，兩人無意再賭下去，那么該怎樣分割賭注？答案：A得3/4,B得1/4.結論：應該用數(shù)學期望來定價。36APT和資產定價基本定理資產定價基本定理

與“P-F定價”的根本區(qū)別“P-F定價”直到現(xiàn)在還是“未定權益定價”的一種主要方法。當然，計算時要考慮“折現(xiàn)”。例如，保險定