《函數(shù)與方程》習(xí)題（3）一、選擇題1．下列圖象表示的函數(shù)中能用二分法求零點(diǎn)的是（）解析：圖A沒(méi)有零點(diǎn)，因此不能用二分法求零點(diǎn)．圖B的圖象不連續(xù)．圖D在x軸下方?jīng)]有圖象，故只有C圖可用二分法求零點(diǎn)．答案：C2．函數(shù)f（x）＝lnx－eq\f(1,x－1)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（）A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)解析：本題考查了學(xué)生的畫(huà)圖能力，構(gòu)造函數(shù)等方法．這種題型很好地體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想．構(gòu)建函數(shù)h（x）＝lnx，g（x）＝eq\f(1,x－1)，f（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即h（x）與g（x）交點(diǎn)的個(gè)數(shù)．畫(huà)出圖象可知有兩個(gè)交點(diǎn).選C.答案：C3．下列函數(shù)中在區(qū)間[1,2]上一定有零點(diǎn)的是（）A．f（x）＝3x2－4x＋5 B．f（x）＝x3－5x－5C．f（x）＝mx－3x＋6 D．f（x）＝ex＋3x－6解析：對(duì)選項(xiàng)D，∵f（1）＝e－3＜0，f（2）＝e2＞0，∴f（1）f（2）＜0.答案：D4．若函數(shù)f（x）＝x3－3x＋a有3個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A．（－2,2） B．[－2,2] C．（－∞，－1） D．（1，＋∞）解析：本題考查了函數(shù)零點(diǎn)的判斷方法及一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系．由于函數(shù)f（x）是連續(xù)的，故只需兩個(gè)極值異號(hào)即可．f′（x）＝3x2－3，令3x2－3＝0，則x＝±1，只需f（－1）f（1）＜0，即（a＋2）（a－2）＜0，故a∈（－2,2）．答案：A二、填空題5．已知方程2x－1＋2x2－a＝0有兩根，則a的范圍是________________．解析：原方程化為，在同一坐標(biāo)系內(nèi)作函數(shù)y＝2x－1和y＝－2x2＋a的圖象，如右圖．要使方程有兩根，必須兩個(gè)函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)．由于函數(shù)y＝2x－1的圖象與y軸的交點(diǎn)是（0,eq\f(1,2)），所以，當(dāng)a＝eq\f(1,2)時(shí)，拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)與指數(shù)函數(shù)在y軸的交點(diǎn)重合；當(dāng)a＞eq\f(1,2)時(shí)，它們必有兩個(gè)交點(diǎn)．答案：6．已知y＝x（x－1）（x＋1）的圖象如圖所示，今考慮f（x）＝x（x－1）（x＋1）＋，則方程f（x）＝0①有三個(gè)實(shí)根；②當(dāng)x＜－1時(shí)，恰有一實(shí)根（有一實(shí)根且僅有一實(shí)根）；③當(dāng)－1＜x＜0時(shí)，恰有一實(shí)根；④當(dāng)0＜x＜1時(shí)，恰有一實(shí)根；⑤當(dāng)x＞1時(shí)，恰有一實(shí)根．則正確的結(jié)論有.解析：∵f（－2）＝－2×（－3）×（－1）＋＝－＜0，f（－1）＝＞0，即f（－2）·f（－1）＜0，∴在（－2，－1）內(nèi)有一個(gè)實(shí)根．由圖中知：方程f（x）＝0在（－∞，－1）上，只有一個(gè)實(shí)根，所以②正確．又∵f（0）＝＞0，由圖知f（x）＝0在（－1,0）上沒(méi)有實(shí)數(shù)根，所以③不正確．又∵f（）＝×（－）×＋＝－＜0，f（1）＝＞0，即f（）f（1）＜0，所以f（x）＝0在（,1）上必有一個(gè)實(shí)根，且f（0）·f（）＜0，∴f（x）＝0在（0,）上也有一個(gè)實(shí)根．∴f（x）＝0在（0,1）上有兩個(gè)實(shí)根，④不正確．由f（1）＞0且f（x）在（1，＋∞）上是增函數(shù)，∴f（x）＞0，f（x）＝0在（1，＋∞）上沒(méi)有實(shí)根．∴⑤不正確．并且由此可知①也正確．答案：①②7.x0是方程ax＝logax（0＜a＜1）的解，則x0,1，a這三個(gè)數(shù)的大小關(guān)系是？解析：在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)y＝ax和y＝logax的圖象，可以看出：x0＜1，logax0＜1，∴x0＞a，∴a＜x0＜1.答案：a＜x0＜1三、解答題8．設(shè)f（x）在[0,1]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線(xiàn)，且0≤f（x）≤1.證明：至少有一點(diǎn)c∈[0,1]，使f（c）＝c.證明：如果f（0）＝0或f（1）＝1，就取c＝0或c＝1即可．現(xiàn)設(shè)f（0）＞0，f（1）＜1.令F（x）＝f（x）－x，則F（x）在[0,1]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線(xiàn)．∵F（0）＝f（0）－0＞0，F(xiàn)（1）＝f（1）－1＜0，∴F（0）·F（1）＜0，∴至少有一點(diǎn)c∈（0,1），使F（c）＝0，即f（c）＝c.綜上所述，在每種情形都至少有一點(diǎn)c∈[0,1]，使f（c）＝c成立．9．已知a、b是不全為0的實(shí)數(shù)，求證：方程3ax2＋2bx－（a＋b）＝0在（0,1）內(nèi)至少有一個(gè)根．證明：若a＝0時(shí)，則b≠0，此時(shí)方程的根為x＝eq\f(1,2)，滿(mǎn)足題意．當(dāng)a≠0時(shí)，令f（x）＝3ax2＋2bx－（a＋b）．（1）若a（a＋b）＜0，則f（0）·feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝－（a＋b）·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)a))＝eq\f(1,4)a（a＋b）＜0，所以f（x）＝0在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))內(nèi)有一實(shí)根．（2）若a（a＋b）≥0，則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))f（1）＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)a))（2a＋b）＝－eq\f(1,4)a2－eq\f(1,4)a（a＋b）＜0，所以f（x）＝0在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))內(nèi)有一實(shí)根．綜上f（x）＝0在區(qū)間（0,1）內(nèi)至少有一根．10．對(duì)于函數(shù)f（x），若存在x0∈R，使f（x0）＝x0成立，則稱(chēng)x0為f（x）的不動(dòng)點(diǎn)，已知函數(shù)f（x）＝ax2＋（b＋1）x＋b－1（a≠0）（1）當(dāng)a＝1，b＝－2時(shí)，求f（x）的不動(dòng)點(diǎn)；（2）若對(duì)任意實(shí)數(shù)b，函數(shù)f（x）恒有兩個(gè)相異的不動(dòng)點(diǎn)，求a的取值范圍；解答：（1）當(dāng)a＝1，b＝－2時(shí)，f（x）＝x2－x－3，由題意可知x＝x2－x－3，得x1＝－1，x2＝3故當(dāng)a＝1，b＝－2時(shí)，f（x）的不動(dòng)點(diǎn)－1,3.（2）∵f（x）＝ax2＋（b＋1）x＋b－1（a≠0）恒有兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，∴x＝ax2＋（b＋1）x＋b－1，即ax2＋bx＋b－1＝0恒有兩相異實(shí)根，∴Δ＝b2－4ab＋4a＞0（b∈R）于是Δ′＝（4a）2－16a＜0解得0＜a＜1，故當(dāng)b∈R，f（x）恒有兩個(gè)相異的不動(dòng)點(diǎn)時(shí)，0＜a選做題：1．已知函數(shù)y＝f（x）（x∈R）滿(mǎn)足f（x＋3）＝f（x＋1），且x∈[－1,1]時(shí)，f（x）＝|x|，則y＝f（x）與y＝log5x的圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（）A．3 B．4 C．5 D．6解析：由f（x＋3）＝f（x＋1）知f（x＋2）＝f（x）故f（x）是周期為2的函數(shù)，在同一坐標(biāo)系中作出y＝f（x）與y＝log5x的圖象，可以看出，交點(diǎn)個(gè)數(shù)為4.答案：B2．已知函數(shù)f（x）＝ax3＋bx2＋cx＋d的圖象如