電磁學(xué)通論第6章

電磁感應(yīng)

6.1法拉第電磁感應(yīng)定律6.2動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)、感生電動(dòng)勢(shì)&渦旋電場(chǎng)6.3自感&互感

磁能6.4小環(huán)流與外磁場(chǎng)的相互作用能6.5電路暫態(tài)過(guò)程6.6超導(dǎo)電性本章概述一方面，由電磁感應(yīng)定律引出動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)和感生電動(dòng)勢(shì)，由感生電動(dòng)勢(shì)引出渦旋電場(chǎng)，進(jìn)而給出渦旋電場(chǎng)的環(huán)路定理和通量定理；著眼于電路分析，引入電感線圈的自感系數(shù)和互感系數(shù)，以及自感電動(dòng)勢(shì)和互感電動(dòng)勢(shì)，以使電感線圈在電路中的電壓與電流的變化率直接聯(lián)系起來(lái)；同時(shí)，為討論磁場(chǎng)能量問(wèn)題提供一個(gè)途徑。另一方面，電磁感應(yīng)效應(yīng)為電磁學(xué)應(yīng)用開辟了一片新天地，諸如動(dòng)生式直流發(fā)電機(jī)和交流發(fā)電機(jī)、感應(yīng)爐和電磁爐、電子感應(yīng)加速器，以及含（L、R、C）的暫態(tài)過(guò)程，在本章均有詳細(xì)論述。第三方面，有源小環(huán)流與無(wú)源小環(huán)流受到特別關(guān)注，包括其在磁場(chǎng)中所受的梯度力和力矩，及其與磁場(chǎng)的相互作用能，并與電偶極子作類比。本章最后論述超導(dǎo)電性，對(duì)其零電阻性、臨界溫度和臨界磁場(chǎng)、完全抗磁性、磁通量子化、超導(dǎo)結(jié)的隧道效應(yīng)和約瑟夫森效應(yīng)，以及庫(kù)珀對(duì)，均有較為認(rèn)真的唯象描述。6.1法拉第電磁感應(yīng)定律電磁感應(yīng)現(xiàn)象法拉第的發(fā)現(xiàn)電磁感應(yīng)定律楞次定律無(wú)源或有源線圈運(yùn)動(dòng)于非均勻磁場(chǎng)中

電磁感應(yīng)現(xiàn)象電磁感應(yīng)現(xiàn)象的演示，可采用上圖所示的裝置。實(shí)驗(yàn)上發(fā)現(xiàn)，在以下幾種情形下，皆出現(xiàn)瞬時(shí)電流

i2于無(wú)源閉合回路

(L2)中：當(dāng)有源回路(L1)中電鍵

K有所動(dòng)作，或合上瞬間或斷開瞬間，將有瞬時(shí)電流i2。當(dāng)(L1)中電流

I1(t

)有所變化，將有電流

i2；若

I1恒定，則

i2為零。當(dāng)無(wú)源回路(L2)相對(duì)回路(L1)而運(yùn)動(dòng)，或移動(dòng)或轉(zhuǎn)動(dòng)或形變，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中將有電流

i2；反之，當(dāng)回路(L1)相對(duì)(L2)而運(yùn)動(dòng)，也將有電流

i2，即便電流

I1保持恒定。若以永磁棒替代回路(L1)，當(dāng)磁棒插入或拔出線圈(L2)瞬間，將出現(xiàn)瞬時(shí)電流i2；插入或拔出的速率越快，則i2值越大；若磁棒在線圈(L2)中不動(dòng)，則i2為零。

以上出現(xiàn)于無(wú)源回路(L2)中的電流，被稱為感應(yīng)電流或感生電流（inducedelectricalcurrent）。法拉第的發(fā)現(xiàn)英國(guó)物理學(xué)家M.法拉第于1831年8月29日發(fā)現(xiàn)了電磁感應(yīng)現(xiàn)象，他在這一天日記中作了記述，大意如下：用軟鐵作成一個(gè)外徑約6英寸的鐵環(huán)，在此環(huán)的一半?yún)^(qū)段繞上許多匝銅線，稱其為A邊；在環(huán)的另一邊也繞上許多匝銅線，稱其為B邊，并將其兩端引向距鐵環(huán)3英尺處而構(gòu)成一回路，這里置放一根磁針；然后，將A邊線圈兩端聯(lián)接上伽伐尼電堆，此刻磁針有明顯的搖擺，最后又停在原位置上；當(dāng)把A邊線圈與電池連線斷開時(shí)，那磁針又一次擺動(dòng)；若將A邊幾段繞組串聯(lián)為一個(gè)線圈，重做以上實(shí)驗(yàn)，則對(duì)磁針的效應(yīng)比先前更增強(qiáng)。這是最早的一個(gè)電磁感應(yīng)實(shí)驗(yàn)，也可以說(shuō)它是世界上第一個(gè)變壓器。他在長(zhǎng)8英尺、直徑3/4英寸的空心紙筒上，繞上8層銅線圈而成為一個(gè)多層螺線管，且將這8層線圈并聯(lián)起來(lái)，再接到一電流計(jì)上；手持一條形磁棒其長(zhǎng)為8.5英寸、直徑為3/4英寸，迅速插入那螺線管，出現(xiàn)電流計(jì)指針偏轉(zhuǎn)；然后將磁棒拔出，出現(xiàn)指針偏轉(zhuǎn)到相反方向；每次將磁棒插入或拔出時(shí)，上述效應(yīng)均得以重復(fù)；然而，當(dāng)磁棒停止在螺線管內(nèi)部，則指針不動(dòng)。法拉第又在同年10月17日發(fā)現(xiàn)了另一種方式的電磁感應(yīng)。制作了一直徑12英寸的銅盤，安裝在一水平黃銅軸上，再將一電流計(jì)的兩端用導(dǎo)線分別聯(lián)接到盤邊和盤軸上，還有一個(gè)強(qiáng)磁棒置放于銅盤鄰近；實(shí)驗(yàn)時(shí)讓銅盤旋轉(zhuǎn)起來(lái)，電流計(jì)指針向西急偏；當(dāng)銅盤反向旋轉(zhuǎn)，發(fā)現(xiàn)指針向東急偏；當(dāng)銅盤持續(xù)穩(wěn)定旋轉(zhuǎn)，發(fā)現(xiàn)指針穩(wěn)定地偏轉(zhuǎn)。十一天以后，法拉第又設(shè)計(jì)了一個(gè)實(shí)驗(yàn)可以說(shuō)，法拉第的這個(gè)實(shí)驗(yàn)是一個(gè)單極發(fā)電機(jī)的雛形。電磁感應(yīng)定律

無(wú)源回路(L2)中感應(yīng)電流的出現(xiàn)，表明在(L2)中存在一種新型的非靜電力Ki，是Ki推動(dòng)導(dǎo)線中的自由電荷作定向運(yùn)動(dòng)，而形成

ii。相應(yīng)地，在(L2)中存在一感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，?

在此必須指出，即使回路(L

)不閉合，這?i

依然存在，雖然ii為零，那是因?yàn)樵贙i推動(dòng)下形成電荷積累，從而自建一電場(chǎng)，E與Ki反向，直至E+Ki=0，達(dá)到平衡。

從眾多電磁感應(yīng)效應(yīng)的因果關(guān)系的研究中，提煉出一個(gè)對(duì)于電磁感應(yīng)因果關(guān)系的一個(gè)最普遍的概括，即，當(dāng)回路(L

)中的磁通有了變化，則出現(xiàn)一感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)?i于這回路中，其數(shù)值正比于磁通的時(shí)間變化率dΦ/dt，其環(huán)繞方向即其正負(fù)號(hào)決定于(-dΦ/dt)。最終給出電磁感應(yīng)定律的數(shù)學(xué)表達(dá)式為，?

[Φ]=Wb（韋伯）=T·m2（特斯拉米2），[?i]=V（伏特）.式中含有幾個(gè)量的

±號(hào)問(wèn)題，茲作以下說(shuō)明。磁通Φ有±號(hào)，由回路(L)的環(huán)繞方向按右手螺旋定則，來(lái)確定Φ=∫∫B·dS

的正負(fù)號(hào)，而回路方向的選擇系約定，是人為設(shè)定的；

dΦ/dt

有±

號(hào)，這由實(shí)際情況B(t)給定；而表達(dá)式中的負(fù)號(hào)，反映了一種規(guī)律性，永存不移。比如圖中，事先約定回路方向?yàn)槟鏁r(shí)針轉(zhuǎn)向，而磁感B大體向上，則其Φ>0；當(dāng)B(t)隨時(shí)間減弱，則dΦ/dt

<0；感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)?i>0

，這意味著，若這回路由導(dǎo)線圍成而出現(xiàn)的感應(yīng)電流ii，其環(huán)繞方向與當(dāng)初設(shè)定的回路方向一致。當(dāng)然，當(dāng)初可以設(shè)定回路方向?yàn)轫槙r(shí)針，則按以上規(guī)劃得目前情形下?i<0，這意味著感應(yīng)電流ii的繞向依然為逆時(shí)針。

總之，為了計(jì)算?i，回路方向的事先選定是必要的，而回路方向選擇的隨意性，不會(huì)改變實(shí)際物理結(jié)果。實(shí)際情況下所發(fā)生的物理事件具有唯一性，不因數(shù)學(xué)手段或符號(hào)規(guī)則而變更。

楞次定律感應(yīng)電流所產(chǎn)生的一切后果，必將反抗引起它的所有原因

俄國(guó)物理學(xué)家H.F.E.楞次1834年

這里所述的一切后果指稱，感應(yīng)電流ii所伴隨的附加磁通Φi

和

ii載體所受到的安培力Fi及其機(jī)械運(yùn)動(dòng)，或移動(dòng)、轉(zhuǎn)動(dòng)和形變；這里所述的所有原因指稱，磁場(chǎng)的變化B(t)和相對(duì)運(yùn)動(dòng)。其實(shí)，法拉第在其一系列有關(guān)電磁感應(yīng)的原創(chuàng)實(shí)驗(yàn)中，對(duì)感應(yīng)電流的方向也作過(guò)一定的記述，但多少顯得零散，未能概括出一個(gè)簡(jiǎn)明的表述。楞次仔細(xì)分析了法拉第和他人的有關(guān)實(shí)驗(yàn)結(jié)果，終于提煉出上述一個(gè)法則或判據(jù)。楞次定律有助于在較為復(fù)雜情況下快捷判定感應(yīng)電流方向，尤其是判定感應(yīng)電流載體的運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)，而無(wú)需明了感應(yīng)電流的細(xì)節(jié)。楞次定律的表述方式，體現(xiàn)了物理學(xué)一貫崇尚的思維方式和研究路線，即，探求一種盡可能簡(jiǎn)單的表述，以說(shuō)明盡可能多的物理現(xiàn)象或物理事件。又及，電磁感應(yīng)定律的數(shù)學(xué)表達(dá)式，是1845年，F(xiàn).E.諾埃曼在法拉第和楞次的研究基礎(chǔ)上，通過(guò)理論分析而給出的，該式中

dΦ/dt前的負(fù)號(hào)，正是楞次定律所要求的。無(wú)源或有源線圈運(yùn)動(dòng)于非均勻磁場(chǎng)中當(dāng)其以初速v朝右運(yùn)動(dòng)而趨向強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)時(shí)，其磁通增大，ΔΦ>0，于是便感應(yīng)出一個(gè)電流

i，其方向應(yīng)當(dāng)如圖所示，以使附加磁通Φi反抗增長(zhǎng)ΔΦ；這個(gè)載有i的線圈在磁場(chǎng)B中所受的安培力f’，按安培力判斷法得知f’方向朝左，與初速相反，阻礙線圈向右運(yùn)動(dòng)。若按楞次定律來(lái)分析，立馬得知這個(gè)線圈作為感應(yīng)電流的載體必將受到一個(gè)初速v反向的安培力f’（向左）。若無(wú)外力作用以維持線圈勻速運(yùn)動(dòng)，則該線圈在f’阻礙下，逐漸減速，動(dòng)能減少，同時(shí)線圈中產(chǎn)生了焦耳熱能，當(dāng)然還有磁場(chǎng)能量參與交換。一無(wú)源線圈處于一個(gè)非勻磁場(chǎng)中同理，若無(wú)源線圈初速向左，則載有感應(yīng)電流的該線圈，必將受到一個(gè)向右的磁場(chǎng)力

f’，如圖所示，這是楞次定律給出的結(jié)果，這與連環(huán)式順序分析

Φ、

dΦ、

-dΦ/dt、ii

所受的安培力

f’所得結(jié)論一致。設(shè)想，此時(shí)若

f’方向也朝左，則線圈的動(dòng)能不斷得以增加，且磁場(chǎng)得以加強(qiáng)以致磁場(chǎng)能量也增加，這就違背了能量守恒法則

一個(gè)有源線圈被置放于一非勻磁場(chǎng)中

原有電流

I0，在外場(chǎng)

B作用下受安培力

F，驅(qū)使該線圈朝右運(yùn)動(dòng)，而趨向強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)；同時(shí)該線圈中出現(xiàn)了感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)?i及相應(yīng)的感應(yīng)電流

i’，其環(huán)繞方向與I0相反，以削弱線圈磁通的增加；另一方面，與

i’相聯(lián)系的安培力

f’向左，一阻礙線圈朝右運(yùn)動(dòng)，但終究這有原線圈還是向右運(yùn)動(dòng)，且得以加速。

如此情勢(shì)，這有源線圈的動(dòng)能持續(xù)增加，且線圈產(chǎn)生的磁場(chǎng)與外磁場(chǎng)方向在主要區(qū)域的一致性，使磁場(chǎng)能量也得以增加。那么，這兩部分能量的增加來(lái)自何方。

須知，置于磁場(chǎng)中的有源線圈與磁場(chǎng)組成的系統(tǒng)，是一非孤立系，它聯(lián)系著一個(gè)直流電源?。由于出現(xiàn)了與

I0反向的感應(yīng)電流

i’，使線圈中的實(shí)際電流

i=(I0-i’)<I0，這導(dǎo)致直流電源?提供的功率i?，大于線圈中電阻

R

所消耗的焦耳熱功率

i2R

：

原本I0?=I0

2R，目前i<I0

，得

i?>i2R

正是這多余的功率ΔP=(i?-i2R)

，用以支持上述兩部分能量的增加。順便指出，從以上兩個(gè)例子關(guān)于能量變化的分析中，初步領(lǐng)略到伴隨感應(yīng)電流而出現(xiàn)的能量轉(zhuǎn)化事宜，是比較復(fù)雜的。感應(yīng)電流的磁效應(yīng)、熱效應(yīng)和力學(xué)效應(yīng)，分別聯(lián)系著其磁場(chǎng)能量、熱能和機(jī)械能；若是有源線圈，又多了一個(gè)電源能參與能量交換。以后，將針對(duì)電磁感應(yīng)的具體問(wèn)題，對(duì)相關(guān)能量問(wèn)題作出具體分析和定量考核。6.2動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)

感生電動(dòng)勢(shì)&渦旋電場(chǎng)引言動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)從轉(zhuǎn)桿到轉(zhuǎn)盤動(dòng)生式交流發(fā)電機(jī)原理感生電動(dòng)勢(shì)&渦旋電場(chǎng)渦旋電場(chǎng)的環(huán)路定理&通量定理感應(yīng)爐&電磁爐電子感應(yīng)加速器討論——滿足“1/2條件”的一種可取的磁場(chǎng)分布引言

眾多電磁感應(yīng)現(xiàn)象，就其產(chǎn)生感應(yīng)電流的條件而言，可以進(jìn)一步被區(qū)分為兩類。一類是磁場(chǎng)恒定，線圈或?qū)w運(yùn)動(dòng)于這恒定磁場(chǎng)中，由此產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，稱其為動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)，必要時(shí)記為?M，下角意為運(yùn)動(dòng)（motion）；另一類是磁場(chǎng)在變化，線圈或?qū)w不動(dòng)，由此產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，稱其為感生電動(dòng)勢(shì)，必要時(shí)記為?C，下角意為渦旋（curl），這是因?yàn)榕c?C相應(yīng)的非靜電力系渦旋電場(chǎng)

EC。當(dāng)然，這兩種電動(dòng)勢(shì)定量上均遵從法拉第電磁感應(yīng)定律，即?

?

動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)

由楞次定律可立馬推定，感應(yīng)電流I的環(huán)繞方向?yàn)槟鏁r(shí)針，以其向上的附加磁通

Φi，反抗回路向下磁通的增加。

對(duì)?M的演算如下。在t—t+dt

時(shí)間中，動(dòng)邊位移vdt，回路面積增量為dS=lvdt，相應(yīng)的磁通增量為dΦ=BdS=Blvdt

，要注意到以上這些量如此表示，已默認(rèn)回路方向選為順時(shí)針。于是，求得這動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)和感應(yīng)電流分別為

?

（逆時(shí)針）；

（逆時(shí)針）?其實(shí)，動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)所聯(lián)系的非靜電力KM，是由洛倫茲力FL提供的，相應(yīng)的回路動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)被普遍地表達(dá)為?目前情況而論，金屬桿l

中的自由電荷被金屬桿運(yùn)動(dòng)所挾持，也向右運(yùn)動(dòng)，從而受到一個(gè)磁場(chǎng)施予的洛倫茲力KM

，由

a端指向

b端，推動(dòng)自由電荷作定向運(yùn)動(dòng)，一旦有了閉合回路(abcd)便形成逆時(shí)針環(huán)繞的電流

i。據(jù)此計(jì)算動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)，

?這結(jié)果與采用磁通變化率計(jì)算的結(jié)果一致。動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)的本源系洛倫茲力，準(zhǔn)確地說(shuō)，它系洛倫茲力的一個(gè)分力。

必須指出，上面式中的速度

v，相聯(lián)系的

KM

與

v正交，在

KM推動(dòng)下，載流子又添加了一個(gè)沿金屬桿的漂移速度

v’，且

v’⊥v。于是，在實(shí)驗(yàn)室參考系看來(lái)，運(yùn)動(dòng)導(dǎo)體內(nèi)部載流子的運(yùn)動(dòng)速度為

V=v+v’，故單位正電荷所受的洛倫茲力含兩部分，

姑且稱KM為動(dòng)生非靜電力，K’為動(dòng)感非靜電力。注意到在圖中，K’向左，即K’∥(-v)，表現(xiàn)為楞次阻力，這正是楞次定律所預(yù)言的。換言之，當(dāng)金屬桿向右運(yùn)動(dòng)而產(chǎn)生一感應(yīng)電流，同時(shí)受到一個(gè)向左的阻力，以致其運(yùn)動(dòng)速度隨時(shí)間而減慢，其動(dòng)能漸少，轉(zhuǎn)化為回路中的焦耳熱能?；蛘?，用一外力(-F’)克服楞次阻力F’，以維持金屬桿向右作勻速運(yùn)動(dòng)，外力作正功，最終換來(lái)回路中的焦耳熱能。對(duì)此作一簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)推演如下。

楞次阻力等同于這段金屬桿在中所感受到的安培力，即（向左）

由力學(xué)可知，一個(gè)力與其作用點(diǎn)位移速度的標(biāo)積(F·v)，給出了此力之功率，故此時(shí)推動(dòng)金屬桿的外力(-F’)值功率為而動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)

?M對(duì)電流

i之功率為PM=i?M=i(vBl)從而確證了

P’=PM

只要外力持續(xù)作用，就有一個(gè)恒定電動(dòng)勢(shì)?M存在，這(ab)段相當(dāng)于一個(gè)直流電源。然而，這種讓金屬桿單向滑動(dòng)的裝置，不可能成為實(shí)用上的直流發(fā)電機(jī)，在空間尺度上就不許可如此運(yùn)行，惟有讓金屬桿轉(zhuǎn)動(dòng)起來(lái)才是可行的從轉(zhuǎn)桿到轉(zhuǎn)盤

當(dāng)該桿以角速度ω作逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，便在桿內(nèi)產(chǎn)生一個(gè)指向中心的動(dòng)生非靜電力KM，其造成的動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)

?M可算出，計(jì)算時(shí)注意到轉(zhuǎn)桿沿途各點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)線速度不同，v=ωl，這里l為軸距，于是，?M?M鑒于目前未成閉合回路，KM推動(dòng)下的載流子便集聚于桿的兩個(gè)端點(diǎn)，從而自建一電場(chǎng)E，反抗KM，直至(E+KM)=0，達(dá)到靜態(tài)平衡，即，動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)的宏觀后果是造成桿的端電壓，?M為使這直流電動(dòng)勢(shì)或端電壓對(duì)外供電，必須從a,b兩端引出導(dǎo)線并形成回路，這在手段上頗有難處，難在動(dòng)端a處如何接線。法拉第巧秒地將這轉(zhuǎn)桿擴(kuò)展為一個(gè)銅制轉(zhuǎn)盤，如圖所示：用兩根導(dǎo)線分別聯(lián)接于轉(zhuǎn)軸和盤邊，而其它兩頭聯(lián)接上電流計(jì)或負(fù)載；當(dāng)銅盤持續(xù)穩(wěn)定以角速度

ω轉(zhuǎn)動(dòng)，就形成一閉合的直流電路。可以說(shuō)，1831年法拉第銅制轉(zhuǎn)盤，是日后定型的直流發(fā)電機(jī)的雛形。順便提及，為達(dá)到與轉(zhuǎn)盤邊緣的良好接觸，此后改進(jìn)為碳刷也稱電刷且背后帶有彈簧，以利與盤邊磨合，用此面接觸代替了原先的點(diǎn)接觸，如同壓迫于自行車輪圈上的軋皮頭。動(dòng)生式交流發(fā)電機(jī)原理

設(shè)這平面線圈所圍面積為S，轉(zhuǎn)動(dòng)角速度為ω，磁場(chǎng)為B，則通過(guò)該線圈的磁通為這里，方位角θ為該線圈法向n與磁場(chǎng)B之夾角，故θ=ωt。相應(yīng)的動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)為?M可見，它是一角頻率為

ω的簡(jiǎn)諧型交流電動(dòng)勢(shì)。當(dāng)然，如何從這轉(zhuǎn)動(dòng)線圈的兩頭引出兩根導(dǎo)線，以構(gòu)成一閉合回路使?M(t)對(duì)外供電，這在手段上頗有講究，圖中顯示的引線方式是，設(shè)置兩個(gè)固定圓環(huán)，讓引線頭上的電刷與圓環(huán)內(nèi)側(cè)密接，從而保證與線圈一起旋轉(zhuǎn)而作圓周運(yùn)動(dòng)的電刷，時(shí)時(shí)同圓環(huán)磨合。注意到圖中所顯示的，提供均勻磁場(chǎng)的永磁體，兩個(gè)相對(duì)而立的磁極，其端面不是平面，而是一個(gè)有特定線型的凹槽，旨在保證兩凹槽所包括的空間系一個(gè)均勻場(chǎng)區(qū)。感生電動(dòng)勢(shì)&渦旋電場(chǎng)（curlelectricfield）當(dāng)磁場(chǎng)分布隨時(shí)間在變化即

B(r,t)，而線圈相對(duì)靜止不動(dòng)時(shí)，所出現(xiàn)的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，稱為感生電動(dòng)勢(shì)?C

，與其相聯(lián)系的非靜電力場(chǎng)，是一種新型的電場(chǎng)，稱為渦旋電場(chǎng)EC

，正是在這渦旋電場(chǎng)作用下，導(dǎo)體回路中的載流子作漂移運(yùn)動(dòng)，而形成閉合的感應(yīng)電流。

可見，這種由變化磁場(chǎng)激發(fā)的渦旋電場(chǎng)

EC，與先前由電荷產(chǎn)生的靜電場(chǎng)

Eq比較，其最顯著的特色是渦旋性或閉合性，其環(huán)路積分值不為零。必須說(shuō)明，局地磁場(chǎng)

變化所激發(fā)的

EC場(chǎng)，是彌散的，并非局限于有形的導(dǎo)線回路中，實(shí)物導(dǎo)線回路只是提供其內(nèi)部的載流子，以形成電流而已。換言之，局地磁場(chǎng)變化

，將在其周圍空間激發(fā)渦旋電場(chǎng)

EC

(r,t)。渦旋電場(chǎng)的環(huán)路定理&通量定理

正如看待一切矢量場(chǎng)那樣，茲關(guān)注這新型渦旋電場(chǎng)

EC

(r,t)的環(huán)路定理和通量定理。其環(huán)路定理可由法拉第電磁感應(yīng)定律直接導(dǎo)出：感生電動(dòng)勢(shì)?法拉第定律?得到

此為渦旋電場(chǎng)環(huán)路定理，即，渦旋電場(chǎng)的環(huán)路積分，等于以該環(huán)路(L)為邊沿的任意曲面(Σ)上，磁感變化率的面積分之負(fù)值；上式中的“-”號(hào)正是楞次定律的縮影。注意到渦旋電場(chǎng)線的閉合性，即

EC線無(wú)頭無(wú)尾，總是渦旋轉(zhuǎn)圈，宛如恒定磁場(chǎng)的磁感

B線，故有理由假定渦旋電場(chǎng)是一種無(wú)散場(chǎng)，其貢獻(xiàn)于任意閉合面(Σ)的通量恒為零，即

此為渦旋電場(chǎng)的通量定理。如果說(shuō)，

EC

場(chǎng)的環(huán)路定理有其堅(jiān)實(shí)的物理基礎(chǔ)，那么，其通量定理的建立含有明顯的假設(shè)成分。順便提及，上兩式是麥克斯韋構(gòu)建起電磁場(chǎng)方程組的基本依據(jù)之一。

值得指出，僅在

B

(r,t)具有軸對(duì)稱的條件時(shí)，可由（6.4）式求出渦旋電場(chǎng)分布

E(r,t)；一般情況下，單憑（6.4）式是不能求解

EC

場(chǎng)的；我們熟悉的磁場(chǎng)安培環(huán)路，其功能也類似于此。感應(yīng)爐&電磁爐處于交變磁場(chǎng)中的導(dǎo)體，其體內(nèi)將出現(xiàn)渦旋狀電流（渦流），這是渦旋電場(chǎng)推動(dòng)其體內(nèi)載流子運(yùn)動(dòng)所致。渦流的焦耳熱效應(yīng)使導(dǎo)體升溫，據(jù)此制成感應(yīng)加熱器，俗稱感應(yīng)爐，用以加熱乃至熔化金屬。感應(yīng)爐加熱金屬有諸多優(yōu)點(diǎn)，比如，加熱方便，加熱對(duì)象不受燃燒氣體污染，甚至可將加熱導(dǎo)體封閉在真空室中。利用高頻電流場(chǎng)的趨膚效應(yīng)，可將金屬表面熱處理到一定深度，以增強(qiáng)表面層的硬度，這有特別價(jià)值；用途極廣的鋼要有堅(jiān)硬的表皮和柔軟的芯子，堅(jiān)硬的表皮能經(jīng)受磨損，柔軟的芯子能減少破折；農(nóng)用拖拉機(jī)的犁頭，就是采用這種方式被熱處理的。感應(yīng)爐廣泛應(yīng)用于冶煉金屬，以及金屬的熱處理、熱成型和焊接，比如淬火、退火、鍛造、熱鐓和熱軋。其功率從1W直至108W，其工作頻率從50Hz直至105

Hz以上。渦旋電場(chǎng)EC

與磁感時(shí)間變化率直接聯(lián)系，故提高交變磁場(chǎng)的頻率

，將增加渦流熱功率，特別在低頻段；為了增強(qiáng)磁感強(qiáng)度，可外加一個(gè)高磁導(dǎo)率的鐵芯于線圈內(nèi)部，這也有利于增加渦流熱功率。電磁爐面板材質(zhì)為陶瓷或微晶玻璃，頗為昂貴，約占價(jià)格二分之一。與電磁爐配套的炊具或鍋，其底部必須平坦，即平底鍋或平底壺，以利于充分感受交變磁通；其材質(zhì)必須為鐵質(zhì)或合金鋼，以其高磁導(dǎo)率來(lái)加強(qiáng)磁感，從而大大增強(qiáng)渦旋電場(chǎng)及其渦流熱功率。鋁鍋不能用于電磁爐，它系弱磁性，以致其渦流熱功率甚小，比如，在電磁爐上用鋁鍋蒸冷饅頭，半個(gè)小時(shí)了饅頭紋絲不熱。渦旋電場(chǎng)造成的渦流及其熱效應(yīng)，現(xiàn)如今已被制成電磁爐，用以烹調(diào)食品。電磁爐加熱器的優(yōu)點(diǎn)是，無(wú)污染，安全無(wú)隱患，故為老人家庭和專家公寓樂而選用。常用電磁爐的耗電功率約為2000W左右；其通電線圈呈螺旋盤狀，置于面板下方，直徑約12cm然而，渦流熱效應(yīng)在電氣工程中是不受歡迎的，稱其為渦流損耗。工作于交變狀態(tài)的變壓器和電機(jī)，其繞組內(nèi)部均含有鐵芯，鐵芯的高磁導(dǎo)率使磁感得以極大加強(qiáng)和約束，但是，鐵芯作為一種磁性合金，它并非絕緣材料，多少有電導(dǎo)率，其導(dǎo)電性便產(chǎn)生了渦流及其熱效應(yīng)。鐵芯的渦流損耗不僅是一種能量的浪費(fèi)，而且?guī)?lái)諸多危害，比如，熱脹冷縮，使電氣設(shè)備結(jié)構(gòu)松動(dòng)；繞組絕緣皮層因受熱而脆化，以致破碎，成為電路安全隱患。電氣設(shè)備中的渦流損耗是不可避免的，減少渦流損耗的途徑有二。一是，研制電導(dǎo)率甚小而磁導(dǎo)率依然很高的鐵磁合金材料。二是，改變鐵芯的幾何結(jié)構(gòu)，用疊片式鐵芯替代塊狀鐵芯，片間多重邊界效應(yīng)造成的電荷積累及其電場(chǎng)，使芯片內(nèi)的總電場(chǎng)E顯著減弱，從而使渦流損耗體密度，顯著降低。這里總電場(chǎng)E

指渦流電場(chǎng)EC

和電荷電場(chǎng)Eq

之合成，即E=EC+Eq。電子感應(yīng)加速器

運(yùn)動(dòng)于交變磁場(chǎng)中的帶電粒子(q,m,v)，將受到洛侖茲力FL

作用而變向，同時(shí)受到渦旋電場(chǎng)力FC作用而變速。設(shè)法讓

FL作為一向心力，而約束粒子于一圓周軌道上運(yùn)動(dòng)，讓FC作為一個(gè)切向力不斷加速粒子運(yùn)動(dòng)速率，如此往往復(fù)復(fù)，有望獲得高能粒子。這一設(shè)想促成了一種新型粒子加速器即粒子感應(yīng)加速器的誕生。第一臺(tái)電子感應(yīng)加速器誕生于1940年，獲得電子能量

2.3MeV。電子感應(yīng)加速器的基本結(jié)構(gòu)一對(duì)電磁鐵的兩極(N,S)相對(duì)而立，且相距很近，旨在產(chǎn)生一個(gè)軸對(duì)稱的交變強(qiáng)磁場(chǎng)B(r,t)，這里r為軸距；這磁極端面并非平面，而是有特定線型，旨在產(chǎn)生一內(nèi)強(qiáng)外弱且符合特定要求的磁場(chǎng)分布B(r)；一真空環(huán)形室安置于極間，為加速電子提供一運(yùn)動(dòng)軌道，圖中一圈圈同心圓，表示極間存在的渦旋電場(chǎng)線，其半周期時(shí)段為順時(shí)針，另半周期時(shí)段為逆時(shí)針加速器工作初始，通過(guò)一電子槍向環(huán)形室注入一電子束，其電子已有一定速率和回旋方向。

為使這電子束在這交變磁場(chǎng)區(qū)中，穩(wěn)定回旋且不斷得以加速，在技術(shù)上加速器要達(dá)到以下三項(xiàng)基本要求：

在渦旋電場(chǎng)力

Fc=qEc

作用下，電子得以不斷加速，而不是減速，這對(duì)Ec方向提出要求。在磁場(chǎng)B作用下，電子所受的洛倫茲力

FL=qv×B

恰為向心力，而不是離心力，這對(duì)B

方向提出要求。應(yīng)使速率不斷增加的電子，始終被維持在確定半徑的軌道上運(yùn)動(dòng)，此乃軌道穩(wěn)定性問(wèn)題，也稱其為約束條件。

由分析得出，在交變磁場(chǎng)B(r,t)=B0cos(ωt)

情況下，一周期T

內(nèi)僅有T/4時(shí)段中的Ec和FL能滿足上述（1）、（2）要求。比如圖（c）所示僅有第一個(gè)T/4時(shí)段的B(t)，符合要求；在其余三個(gè)T/4時(shí)段里，或者FL為離心力，或者Fc為減速力。這里要注意，電子電荷為(-e)

：

為了滿足（3），磁場(chǎng)的空間分布B(r)必須遵循，這里，B(R)表示半徑為R之軌道上的磁感，

為圓面積(πR2)上按磁通考量的平均磁感值，即

由下式定義，圓面通稱上式為感應(yīng)加速器的平衡軌道穩(wěn)定條件，簡(jiǎn)稱“1/2條件”。對(duì)此列出相關(guān)方程推證如下。圓圓面這“1/2條件”的確定，為感應(yīng)加速器中電磁鐵之磁極面型的設(shè)計(jì)指明了方向。其實(shí)，1932年就有人提出利用渦旋電場(chǎng)來(lái)加速電子的想法，爾后進(jìn)行了不少實(shí)驗(yàn)研究，卻未有成功者，皆因電子軌道的穩(wěn)定問(wèn)題，直至1940年才得以解決。此后，電子感應(yīng)加速器的研制不斷進(jìn)步，其所獲電子能量持續(xù)提升。1942年，20MeV；1945年，100MeV；1980’s，高達(dá)315MeV。在磁場(chǎng)由弱變強(qiáng)的T/4時(shí)段內(nèi)，電子得到加速，在真空環(huán)形室里轉(zhuǎn)上106

周以上，獲得高能，然后令其脫離軌道而引出，射向鎢、鈉等金屬靶上，旨在發(fā)生軔致輻射而產(chǎn)生?射線，然后，再將電子束引入既定軌道給予加速，用于工業(yè)探傷或探測(cè)和醫(yī)療，比如，?

射線探測(cè)儀，?射線治癌儀俗稱?刀。它們輸出的?射線是脈沖式的，其脈沖重復(fù)頻率等于交變磁場(chǎng)的頻率。【討論】滿足“1/2”條件一種可取的磁場(chǎng)分布

探討一種磁場(chǎng)分布以滿足軌道穩(wěn)定條件

。

在半徑為R

之圓面上，與磁通量對(duì)應(yīng)的平均磁感值為試求之。借助積分中值定理，表達(dá)上式左邊積分式為

且令

，得，這是一個(gè)積分方程，如何求解其被積函數(shù)？于是有（常數(shù)），試探

最終得這表明一個(gè)與軸距

r

成反比例而減弱的磁場(chǎng)分布，可以滿足軌道穩(wěn)定條件。不妨反過(guò)來(lái)檢驗(yàn)，由上式可否導(dǎo)出

。又及，為了避免r

0時(shí)，B(r)∞

發(fā)散困難，或從實(shí)驗(yàn)裝置上考量，不宜于使磁極間中心區(qū)域磁場(chǎng)過(guò)于強(qiáng)大，為此，不妨修正B(r)函數(shù)為以下形式這里，可調(diào)參數(shù)

a具有(m-1)量綱。試看由上式可否導(dǎo)出。6.3自感&互感磁能引言自感系數(shù)&互感系數(shù)例題—估算電感系數(shù)強(qiáng)耦合時(shí)自感電動(dòng)勢(shì)&互感電動(dòng)勢(shì)自感磁能&互感磁能磁場(chǎng)能量密度例題—同軸電纜的電感系數(shù)討論—兩個(gè)電感元件的串聯(lián)引言

在電路中一電感線圈是一磁場(chǎng)集中性元件，如同電路中電容器是一電場(chǎng)集中性元件，而電阻則是一電流熱耗散集中性元件。服從于電路分析以便于建立電路方程，特將一線圈的感生電動(dòng)勢(shì)視為自感電動(dòng)勢(shì)與互感電動(dòng)勢(shì)之和，前者與線圈自身電流磁場(chǎng)所貢獻(xiàn)的磁通變化率直接聯(lián)系，后者與另一線圈電流磁場(chǎng)所貢獻(xiàn)的磁通變化率直接相聯(lián)系；為此，引入一線圈的自感系數(shù)L，及其與另一線圈之間的互感系數(shù)M，用以分別考量上述自感磁通與互感磁通自感系數(shù)&互感系數(shù)鑒于畢奧-沙伐爾定律給出的磁場(chǎng)B與電流

I之關(guān)系為一線性關(guān)系，故自感全磁通

，互感全磁通

；分別引入兩個(gè)常系數(shù)而將以上關(guān)系寫成等式如下，即

（與I1無(wú)關(guān)）；

（與I1無(wú)關(guān)）稱

L1為線圈?1

的自感系數(shù)，M12為線圈?1對(duì)?2的互感系數(shù)；有時(shí)為敘述方便，將兩者合稱為電感系數(shù)。換言之，上式是電感系數(shù)的定義式，即自感

L是單位電流強(qiáng)度所產(chǎn)生的自感全磁通，M

是單位電流強(qiáng)度所產(chǎn)生的互感全磁通。

同理，線圈?2的自感系數(shù)和互感系數(shù)分別定義為

理論和實(shí)驗(yàn)上均可證明。（簡(jiǎn)寫為M）

電感系數(shù)

(L,M)值決定于線圈截面積、線圈繞組形狀、匝鏈數(shù)，以及兩個(gè)線圈的相對(duì)距離和方位；若內(nèi)部填充鐵芯，將大大提高

(L,M)值。

電感系數(shù)的單位為，（韋伯/安培）；簡(jiǎn)寫為

H（亨利）

1H是一個(gè)很大的電感值，常用其輔助單位

mH（毫亨），或

μH（微亨）。比如，一個(gè)細(xì)長(zhǎng)螺線管，長(zhǎng)度10cm、匝鏈數(shù)2000，截面積

cm2，其自感值

L近

50μH

。若將此螺線管繞制在一軟磁棒上，磁導(dǎo)率為

μr~104

，則該線圈自感值提高

104倍，接近

500mH。

最后尚須說(shuō)明全磁通Ψ的確切含義。線圈通常由導(dǎo)線連續(xù)繞制多匝而成，其總匝數(shù)N

在電工學(xué)中稱為匝鏈數(shù)，其中每一匝線圈近乎閉合而圍出一個(gè)面積S，相應(yīng)地有一磁通量Φ，那么整個(gè)線圈從一個(gè)端面至另一端面的全磁通規(guī)定為

在電工學(xué)中稱全磁通為磁鏈數(shù)。如果通過(guò)每一匝線圈的磁通相等，即

Φn=Φ0（常數(shù)），與

n無(wú)關(guān)，則（亦稱此為無(wú)漏磁）這里似有一個(gè)疑問(wèn)，表觀上看線圈從一端面至另一端面，其間有無(wú)限多個(gè)截面，為什么僅計(jì)及那

N個(gè)截面的磁通呢，這涉及電感線圈在交變電路中的作用問(wèn)題。線圈以其感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)和相應(yīng)的電壓影響著電路的性能，而貢獻(xiàn)于感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的渦旋電場(chǎng)

Ec，正是沿導(dǎo)線環(huán)繞的，或者說(shuō)，決定感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的

Ec線積分，其積分路徑正是從線圈一端順著導(dǎo)線環(huán)行至另一端。簡(jiǎn)言之，電感系數(shù)定義式中的那個(gè)全磁通規(guī)定為

N匝線圈的磁通之和，是電路分析以建立電路方程的直接需求，這一點(diǎn)在隨后的暫態(tài)電路和交流電路中將有進(jìn)一步體現(xiàn)。例題—估算電感系數(shù)（1）單匝線圈的自感系數(shù).

一圓線圈其半徑為

R，導(dǎo)線直徑即線徑為

2r；當(dāng)通以電流為I

時(shí)，其中心處的磁感

B0與導(dǎo)線邊緣磁感

B(R-)，

現(xiàn)取兩者之平均值，用以估算其圓平面上的磁通量，即得其自感系數(shù)為設(shè)R=1.0cm，r=0.5mm，估算出該單匝線圈的自感系數(shù)為（2）長(zhǎng)直螺線管和螺繞環(huán)的自感系數(shù).

一長(zhǎng)直螺線管，其繞線密度為n=N/l；當(dāng)通以電流I時(shí)，以無(wú)限長(zhǎng)密繞螺線管內(nèi)部的磁感公式B0=μ0nI

，近似估算這螺線管的磁通量，單匝線圈磁通，螺線管全磁通

，遂得其自感系數(shù)若螺線管內(nèi)部充滿鐵芯μr，則其自感系數(shù)提高μr倍，當(dāng)然，實(shí)際上空心長(zhǎng)直螺線管的自感系數(shù)要小些，即這系數(shù)

K取決于螺線管長(zhǎng)寬比(l/d)

；當(dāng)l>>d，則K

略小于1，比如l=10d，L≈0.9L0

對(duì)于螺繞環(huán)，其自感系數(shù)Lr可精算出，即

這里，

為螺繞環(huán)的平均半徑，

為其平均繞線密度，即

，N為匝鏈數(shù)。注意到

L0或L

或Lr

均正比于

n2

這一性質(zhì)

茲外繞N2匝較大線圈?2于螺線管?1之中部，則?1的磁場(chǎng)貢獻(xiàn)于?2的磁通為遂得?1與?2之間的互感系數(shù)為

要注意該式中S依然是?1的截面積，并非外繞線圈?2的截面積，這是因?yàn)槁菥€管外部B≈0。強(qiáng)耦合時(shí)

如圖情形下通過(guò)磁棒各界面的磁通幾乎相等，即

Φ11=Φ12=Φ0

，稱其

L1與L2之間有了強(qiáng)耦合，也稱其為無(wú)漏磁。設(shè)線圈?1通以電流I1，則同理兩式相乘，且利用M12=M21=M，得考量到實(shí)際上存在些許漏磁，上式可修正為

這種借助一長(zhǎng)直軟磁棒以實(shí)現(xiàn)強(qiáng)耦合，常見于電磁訊號(hào)的接收或傳輸系統(tǒng)中。

其實(shí)，憑借H環(huán)路定理和強(qiáng)耦合無(wú)漏磁條件，可直接求得此時(shí)的L1、L2

和M，結(jié)果如下。注意，這里n1=N1/l，n2

=N2

/l

，其中l(wèi)是長(zhǎng)直磁棒的長(zhǎng)度，并非N1

匝或N2

匝繞線自身的寬度。自感電動(dòng)勢(shì)&互感電動(dòng)勢(shì)

若線圈?1電流隨時(shí)間在變化i1(t)，則相應(yīng)的磁場(chǎng)和全磁通隨之而變，即i1(t)B1(t)Ψ11(t)

，Ψ12(t)

。于是，在線圈?1、?2中分別產(chǎn)生自感電動(dòng)勢(shì)?11

和互感電動(dòng)勢(shì)?12，?

?

同理，i2(t)B2(t)Ψ22(t)

，Ψ21(t)

。則有自感電動(dòng)勢(shì)?22

和互感電動(dòng)勢(shì)?21，分別存在于?1、?2中。?

?

這里已經(jīng)注意到，一個(gè)線圈的電感系數(shù)(L，M)與其載流i的數(shù)值大小無(wú)關(guān)，故許可將其作為一個(gè)常數(shù)提出微分算符。

以上兩式進(jìn)一步顯示了電感系數(shù)的物理意義，它將線圈的感生電動(dòng)勢(shì)與回路中的電流變化率直接聯(lián)系起來(lái)；在含電感元件的暫態(tài)電路和交變電路中或在電磁訊號(hào)的傳輸系統(tǒng)中，正是憑借這種形式的自感電動(dòng)勢(shì)和互感電動(dòng)勢(shì)，而建立起電路方程。自感磁能&互感磁能一純電感元件L與一純電阻元件R串聯(lián)于一個(gè)直流電源?，這里已將實(shí)際電感元件繞線的直流電阻r算計(jì)在阻值R之中。當(dāng)合上電鍵K時(shí)，該電路之電流i不會(huì)突變到?/R

值，這是因?yàn)殡姼性写嬖谧愿须妱?dòng)勢(shì)?L，它系反電動(dòng)勢(shì)，?它將阻礙電流驟增。故可預(yù)料，該電流i(t)經(jīng)歷一漸變過(guò)程，從零開始至終值

I=?/R

，而趨于穩(wěn)定，試看這一暫態(tài)過(guò)程中的能量轉(zhuǎn)化事宜：穩(wěn)定態(tài)：電源功率I?=I2R

焦耳熱功率；充磁暫態(tài)過(guò)程，i<I，則i?>i2R.可見在此過(guò)程中，電源輸出功率大于電路中焦耳熱功率，富裕量為它對(duì)時(shí)間的積分值，轉(zhuǎn)化為電感元件中儲(chǔ)存的磁能，即

由該電路方程，可以求出這暫態(tài)過(guò)程電流函數(shù)i(t)，代入上式便可得到WL公式，這項(xiàng)工作留待下一節(jié)完成。茲采取另一種方式，即，克服電感繞線中的自感電動(dòng)勢(shì)?L而作功A，以導(dǎo)出WL公式，具體推演如下。在t—t+dt時(shí)間中，克服?L所做之元功為，據(jù)WL=A，最終得到自感磁能公式為

對(duì)于存在互感的情形，以同樣方式考量其能量轉(zhuǎn)化與存儲(chǔ)事宜，設(shè)兩線圈之電感系數(shù)為(L1,L2,M)。合上電鍵K1與K2，兩個(gè)回路均將經(jīng)歷一充磁暫態(tài)過(guò)程，其電流函數(shù)分別為相應(yīng)地自感電動(dòng)勢(shì)和互感電動(dòng)勢(shì)分別為于是，在dt時(shí)間中，克服這四項(xiàng)反電動(dòng)勢(shì)所做之元功為注意到其中

，故總功為頭兩項(xiàng)轉(zhuǎn)化為自感磁能，第三項(xiàng)為互感磁能WM，即

這互感磁能也正是兩線圈間的相互作用能ΔW。換言之，當(dāng)這兩個(gè)線圈相距無(wú)限遠(yuǎn)而無(wú)相互作用時(shí)，其總磁能為再將它倆逐漸接近至圖中狀態(tài)，其總磁能為其總磁能改變量被稱作相互作用能，即因此，互感系數(shù)M含±號(hào)。當(dāng)兩個(gè)線圈的磁場(chǎng)或磁通彼此加強(qiáng)，則M>0，ΔW>0

；當(dāng)兩個(gè)線圈的磁場(chǎng)或磁通彼此削弱，則M<0，ΔW<0；當(dāng)然，如此判定，基于心目中已經(jīng)默認(rèn)電流I1，I2

恒為正值。磁場(chǎng)能量密度

磁場(chǎng)空間蘊(yùn)含能量。以長(zhǎng)直密繞螺線管、且充滿介質(zhì)μr為例自感系數(shù):

存儲(chǔ)磁能:

這表明，磁能定域于磁場(chǎng)空間，凡是有(B,H)的地方，必存在一種能量，其能量體密度公式為必須說(shuō)明，長(zhǎng)直密繞螺線管磁場(chǎng)之特點(diǎn)，在于磁場(chǎng)高度集中于管內(nèi)，且近似為均勻場(chǎng)；以上推演是基于長(zhǎng)直螺繞管這一特例，用(B,H)場(chǎng)之眼光，審視并改寫其磁能WL表達(dá)式，而導(dǎo)出普遍成立的磁場(chǎng)能量體密度公式。該式適用于各向同性介質(zhì)或各向異性介質(zhì)，適用于恒定或交變場(chǎng)，但不適用于非線性鐵磁質(zhì)。

憑借上式，給出空間(V)

區(qū)域中磁場(chǎng)能量為，例題—同軸電纜的電感系數(shù)

一個(gè)甚長(zhǎng)的同軸電纜，其內(nèi)、外導(dǎo)體圓筒的半徑分別為R1、R2

，其間充滿介質(zhì)μr，試求同軸電纜上長(zhǎng)度為l一段的電感系數(shù)L’。先設(shè)定一電流I，流經(jīng)內(nèi)筒，又從外筒返回；據(jù)H場(chǎng)環(huán)路定理，已知悉在內(nèi)筒以內(nèi)和外筒以外空間，H=0

；磁場(chǎng)集中于r∈(R1,R2)

區(qū)間，磁場(chǎng)H線繞軸環(huán)行而形成一組同心圓；磁場(chǎng)分布為相應(yīng)的磁場(chǎng)能量密度為那么，這段長(zhǎng)度為l、半徑為r∈(R1,R2)的空心柱體中之磁場(chǎng)總能量為令其等于(L’I2/2)，便得甚長(zhǎng)同軸電纜中長(zhǎng)度為l一段的電感系數(shù)為以上采取磁能Wm

途徑求出這電感系數(shù)；其實(shí)，本題也可以采取磁通Ψ

途徑求出電感系數(shù)L’。注意到圖中那矩孔

(a,b,c,d)

，其磁通為按電感系數(shù)的初始定義，得同軸電纜中這

l一段的電感系數(shù)為對(duì)本題的進(jìn)一步討論：（1）上述謹(jǐn)慎地將L’稱為電感系數(shù)，而非自感系數(shù)，這是因?yàn)閷?dǎo)出

L’

所依據(jù)的磁場(chǎng)

B(r)和H(r)系總磁場(chǎng)，它們并非僅是l

一段電流所產(chǎn)生的，還有其他區(qū)段電流的貢獻(xiàn)。從這個(gè)意義上看，這L’事實(shí)上是l段的自感與其它區(qū)段提供的互感系數(shù)之和。

（2）若據(jù)上式計(jì)算同軸電纜全長(zhǎng)的電感系數(shù)L’，那自然這

L’

就是單純的自感系數(shù)了，令人不爽的是這時(shí)出現(xiàn)了發(fā)散疑難，即L’∞

，當(dāng)l∞

。為避開這發(fā)散疑難，便將此題擬為，試求一段有限長(zhǎng)度l的電感系數(shù)或單位長(zhǎng)度的電感系數(shù)。實(shí)際上的同軸電纜總是有限長(zhǎng)的，故其全長(zhǎng)自感系數(shù)也是有限值，并非無(wú)窮大；不過(guò)，這時(shí)不易求得磁場(chǎng)B、H

準(zhǔn)確的解析表達(dá)式；注意到同軸電纜其實(shí)際長(zhǎng)度l遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于其線徑(R1,R2)，比如，一般l在

m至102m量級(jí)，(R1,R2)在mm

至10mm量級(jí)，故以上式估算其全長(zhǎng)電感系數(shù)，是一相當(dāng)好的近似處理。用于電磁訊號(hào)傳輸?shù)耐S電纜，具有布線簡(jiǎn)便、抗干擾能力強(qiáng)的優(yōu)點(diǎn)。

（3）在考量磁通Ψ

時(shí)，為什么僅計(jì)算一個(gè)截面的磁通，在

l區(qū)段形式上不是有很多個(gè)截面嗎？是的，不過(guò)與這些截面磁通相聯(lián)系的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，彼此是并聯(lián)的，并不增加總的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，故選取一個(gè)截面計(jì)算

Ψ、L’、和(-L’di/dt)就足夠了。說(shuō)到底，關(guān)注電感最終是為了給出感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)或感應(yīng)電壓?！居懻摗?jī)蓚€(gè)電感元件的串聯(lián)兩個(gè)線圈串聯(lián)于一回路中，可將其視作一個(gè)電感元件，設(shè)其自感系數(shù)為L(zhǎng)，而兩個(gè)線圈的自感系數(shù)及其互感系數(shù)為

(L1,L2,M)

。試給出串聯(lián)自感L與

(L1,L2,M)

之關(guān)系式?？刹捎么磐ù鷶?shù)和之方式予以討論。一電感元件的自感L易于被測(cè)量，而兩個(gè)電感元件間的互感不易被直接測(cè)量；由(L,L1,L2

)數(shù)據(jù)可求得M值。提示

結(jié)果

注意

互感

M可正可負(fù)。應(yīng)用

6.4小環(huán)流與外磁場(chǎng)的相互作用能有源小環(huán)流與外磁場(chǎng)的相互作用能證明A2=A1

梯度力無(wú)源小環(huán)流與外磁場(chǎng)的相互作用能小環(huán)流與電偶極子性質(zhì)的類比有源小環(huán)流與外磁場(chǎng)的相互作用能已知悉，小環(huán)流之磁性由其磁矩m=iS予以表征，它在外場(chǎng)B中將受到一安培力矩M=m×B作用發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)，從而獲得轉(zhuǎn)動(dòng)能WA

。然而，這里不能簡(jiǎn)單地像對(duì)待電偶極子那樣，認(rèn)為轉(zhuǎn)動(dòng)能的增加必以其相互作用能ΔW的減少為代價(jià)，即認(rèn)定ΔW=-WA；這是因?yàn)樵诤暧^電磁學(xué)中，小環(huán)流均系有源小環(huán)流，其電流是通過(guò)一電路由一電源?提供的，在小環(huán)流轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中必有一感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)出現(xiàn)于小環(huán)流之中，從而改變了電流，也改變了外接電源的輸出能量及其分配。簡(jiǎn)言之，小環(huán)流牽連著一個(gè)外接電源，小環(huán)流與外磁場(chǎng)組成的系統(tǒng)為一非孤立系。在考量小環(huán)流與外磁場(chǎng)之相互作用能時(shí)，理應(yīng)在轉(zhuǎn)動(dòng)能、相互作用能和外接電源等三者之間，討論能量事宜，對(duì)此數(shù)學(xué)描寫和推演如下。

基于能量乃狀態(tài)函數(shù)，與過(guò)程無(wú)關(guān)，特設(shè)計(jì)這樣一個(gè)過(guò)程，讓小環(huán)流在轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中，保持兩個(gè)線圈中的電流i和I

恒定，為此外接電壓應(yīng)隨時(shí)遞增ΔU1和ΔU2

，以補(bǔ)償線圈中出現(xiàn)的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)?1i

和?2i

。設(shè)A0為磁矩m從取向π/2θ過(guò)程中安培力矩的功，A1和A2分別為補(bǔ)償電壓U2

，以補(bǔ)償線圈中出現(xiàn)的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)?1i

和?2i

。設(shè)A0為磁矩m從取向π/2θ

過(guò)程中安培力矩的功，A1和A2分別為補(bǔ)償電壓ΔU1和ΔU2為克服反電動(dòng)勢(shì)所提供的功，則小環(huán)流與外磁場(chǎng)之相互作用能等于，其中第一項(xiàng)與電偶極子情形類同,

在電流I產(chǎn)生的外磁場(chǎng)B為恒定情形下，電壓增量ΔU1和A1應(yīng)當(dāng)為利用小環(huán)流與大線圈之間的互感系數(shù)彼此相等，M21=M12

，可以證明A2=A1，即大線圈中克服互感電動(dòng)勢(shì)?2i

所做之功，等于小環(huán)路中克服互感電動(dòng)勢(shì)?1i所做之功，于是最終得到有源小環(huán)流與外磁場(chǎng)之相互作用能公式為該式表明，在安培力矩作用下，原本小環(huán)流磁矩就將順向外場(chǎng)，故其轉(zhuǎn)動(dòng)能和相互作用能均將增加，這兩部分能量的增加一并來(lái)源于外接的電源能；這電源能除支付各自回路中的焦耳熱能以外，還有富裕能量轉(zhuǎn)化為相互作用能和轉(zhuǎn)動(dòng)能。又及，如果設(shè)計(jì)其它過(guò)程，比如，保持電壓U1和U2不變，而讓

i和I

在小環(huán)流轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中應(yīng)勢(shì)而變，則上式依然成立；在任何過(guò)程中，外接電源參與能量交換是不可避免的，A2

+

A1總等于2m·B，盡管它在A1與A2

之間的分配有所不同，因過(guò)程而異。總之，在無(wú)外部機(jī)械力的情形下，僅受磁力作用的有源載流體，其動(dòng)能及其與磁場(chǎng)相互作用能可以同時(shí)獲得增加，或者說(shuō)磁場(chǎng)總能量亦得以增加，這一點(diǎn)是磁現(xiàn)象與電現(xiàn)象的一個(gè)重要區(qū)別。證明

A2

=A1

在小環(huán)流轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中，如前所述令i

和I得以恒定，故出現(xiàn)于小環(huán)流和大線圈中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，惟有互感電動(dòng)勢(shì)?1i

和?2i

，而無(wú)自感電動(dòng)勢(shì)；同時(shí)注意到，小環(huán)流轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中，互感系數(shù)M21和M12并非恒定，隨時(shí)變動(dòng)M21(t)和M12(t)。兩個(gè)互感電動(dòng)勢(shì)分別表示為，??相應(yīng)地在兩個(gè)回路中為克服這互感電動(dòng)勢(shì)所做之功分別為先前已確認(rèn)兩線圈間之互感系數(shù)彼此相等，即

，遂得，梯度力先將符號(hào)ΔW改寫為Wi

。設(shè)處于外場(chǎng)某一處的小環(huán)流磁矩m，所受安培力為

F(Fx,Fy,Fz)，令其沿x方向有一虛位移

，則相聯(lián)系的功和能的改變量為又據(jù)

，有遂得

同理借用劈形算符，三個(gè)分力表達(dá)式濃縮為一個(gè)公式無(wú)源小環(huán)流與外磁場(chǎng)的相互作用能這類無(wú)源小環(huán)流或無(wú)源磁矩，廣泛地存在于微觀世界。比如，一個(gè)原子中，其核外電子的軌道磁矩me、電子自旋磁矩ms

，還有原子核內(nèi)的質(zhì)子磁矩mp和中子磁矩mn

。這類微觀粒子的經(jīng)典圖象是，帶電粒子的旋轉(zhuǎn)而形成一個(gè)小環(huán)流。然而，這類微觀小環(huán)流與宏觀有源小環(huán)流有著原則意義上的區(qū)別。它是無(wú)源的，其旋轉(zhuǎn)與生俱來(lái)，無(wú)需外接電源供電；它旋轉(zhuǎn)不遭受電阻力，故無(wú)焦耳熱效應(yīng)；當(dāng)其磁矩在外場(chǎng)中轉(zhuǎn)向時(shí)，無(wú)電磁感應(yīng)效應(yīng)，即無(wú)感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)出現(xiàn)于此類小環(huán)流中。簡(jiǎn)言之，這類微觀小環(huán)流為三無(wú)小環(huán)流，即無(wú)源、無(wú)熱效應(yīng)和無(wú)感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)。

因此，在考量這類無(wú)源小環(huán)流

m與外磁場(chǎng)

B

的相互作用能ΔW時(shí)，(m,B)系統(tǒng)就是一個(gè)孤立系，無(wú)需算計(jì)電源能和焦耳熱能參與能量交換，這雷同于電偶極子p與外電場(chǎng)E組成的孤立系。于是，A2

+

A1=0，遂得無(wú)源小環(huán)流與外磁場(chǎng)的相互作用能公式為，

此式恰好與有源小環(huán)流ΔW公式反號(hào)。無(wú)怪乎，在量子力學(xué)中，考量外磁場(chǎng)中電子運(yùn)動(dòng)行為時(shí)，其能量項(xiàng)要添加這樣一項(xiàng)ΔW，稱其為磁矩在外磁場(chǎng)中的勢(shì)能，并以符號(hào)

μ

表達(dá)磁矩，寫成ΔW=-μ·B。小環(huán)流與電偶極子性質(zhì)的類比6.5電路暫態(tài)過(guò)程引言LR暫態(tài)過(guò)程—充磁&放磁RC暫態(tài)過(guò)程—充電&放電暫態(tài)過(guò)程三要素LRC串聯(lián)暫態(tài)過(guò)程及其三種表現(xiàn)二階線性常系數(shù)齊次方程通解的三種形式討論—LRC并聯(lián)暫態(tài)過(guò)程引言

在直流電源工作的電路中，若含有電感元件或電容元件，則當(dāng)電建動(dòng)作或合上或斷開之后，便有一變化的電流或電壓出現(xiàn)于電路中，通常這變化的時(shí)間十分短暫，故稱其為暫態(tài)過(guò)程（transientstateprocess），它是相對(duì)于定態(tài)而言的。某些場(chǎng)合，利用電路暫態(tài)性能，可獲得脈沖高電壓或脈沖大電流，這是暫態(tài)過(guò)程的重要應(yīng)用之一。LR暫態(tài)過(guò)程—充磁&放磁

（1）電鍵

K1

，充磁過(guò)程。此回路電壓方程為?

其中電感元件的電壓

?

電阻元件的電壓于是，該電路方程顯示為?

這是一階、線性、常系數(shù)、非齊次方程，其通解i(t)等于其齊次方程的通解i1(t)與其非齊次方程的特解i2(t)之和，即不難求得?

?

其中，待定常數(shù)K，由

i(t)初條件i(0)=0

，確定為

K=-?/R

.最終得充磁暫態(tài)過(guò)程中的電流為?

?

稱τ為暫態(tài)過(guò)程的時(shí)間常數(shù)，它直接表征了暫態(tài)過(guò)程的時(shí)間尺度，τ越小，其過(guò)程越短暫，達(dá)到穩(wěn)定值越快。對(duì)于LR充磁過(guò)程，其時(shí)間常數(shù)為τ=L/R例如，

，

，則

這里尚需說(shuō)明，如何正確理解電感元件電壓概念。電感元件L是磁場(chǎng)集中性元件，與變化電流i(t)相聯(lián)系的變化磁場(chǎng)

B(t)，使L內(nèi)部和周圍充滿渦旋電場(chǎng)Ec(t)，它是有旋場(chǎng)，不存在標(biāo)量勢(shì)函數(shù)；那么，電勢(shì)差UL

或Uab是何含義，而且，這UL

或Uab是否就是跨接(a,b)兩端的外部電壓表所測(cè)出的值。原來(lái)，電感元件其導(dǎo)線中的電流j與電場(chǎng)

Ec和電荷電場(chǎng)

Eq

之關(guān)系，依然遵從導(dǎo)電介質(zhì)動(dòng)力學(xué)方程，

對(duì)于純電感元件其直流電阻已倂合在R之中，這等效于其電導(dǎo)率

σ∞，而電流密度

j值有限，故得于是，線圈兩端(a,b)之電勢(shì)差Ua,b，還是原來(lái)靜電學(xué)意義上的電勢(shì)差，?

它與路徑無(wú)關(guān)，即

這也正是外部電壓表的測(cè)量值。

茲考量這充磁過(guò)程中的能量轉(zhuǎn)化事宜。在此過(guò)程中

i(t)<I

，從而i2R<i?，這表明充磁過(guò)程中每一時(shí)刻，電源輸出功率大于焦耳熱功率，其富裕部分對(duì)時(shí)間積分的能量值，轉(zhuǎn)化為電感元件所儲(chǔ)存的磁場(chǎng)能量WL；定量上，憑借i(t)函數(shù)，確可導(dǎo)出?

或者說(shuō)，雖然i(0)=0，但i(t)曲線在初始點(diǎn)的斜率并非為零，而是L(di/dt)=?。這個(gè)事實(shí)的普遍意義在于，電感元件系一電流惰性元件，凡含電感元件的支路其電流不會(huì)突變，其電流初始值等于電路接通之前的電流值，即

i(0)=i(0-)

；而電感電壓UL可能突變，即注意到其初始電壓UL(0)=?

，并非為零；這不難理解，在初始時(shí)刻既然電流i(0)=0，電阻上電壓降便為零，那端電壓?就全部降落在電感L兩端；正確把握電流電壓初條件，對(duì)暫態(tài)過(guò)程之電路微分方程的正確定解，至關(guān)重要。其初條件不應(yīng)該被簡(jiǎn)單地理解為電路接通之前時(shí)刻(0-)的狀態(tài)。

（2）電鍵

K2，放磁過(guò)程。其定解為電壓方程，電路微分方程和初條件分別為?

相應(yīng)的電感電壓為?

特別關(guān)注電感電壓的初始值，?

?

當(dāng)

R0

為高阻，R為低阻，R0>>R時(shí)，

?

>>

?

比如，R0=1KΩ，R=10Ω，?=12V

，則電感電壓或高阻R0電壓在初始瞬間可達(dá)，其結(jié)論是，通過(guò)高阻放磁，可以獲得脈沖高壓。這源于電感元件系電流惰性元件，既然這一路初始電流為，它通過(guò)高阻自然要產(chǎn)生瞬間高壓。這一事理受到電氣工程師的格外重視，電氣設(shè)備均有電感繞組，故在斷電時(shí)，在開關(guān)處極易出現(xiàn)強(qiáng)大的火光（弧光），這是一種危險(xiǎn)現(xiàn)象；此處的高阻并非人為安置的電阻元件，而是電閘刀脫接處的空氣隙，它等效于一段高阻，其兩端的瞬間高壓可擊穿空氣而致發(fā)光。在電工技術(shù)操作手冊(cè)中，提示人們拉開電閘的動(dòng)作要果斷迅速；對(duì)于大電流設(shè)備，特將其閘刀浸泡在油質(zhì)中，稱其為油浸開關(guān)，因?yàn)橛偷膿舸﹫?chǎng)強(qiáng)數(shù)倍于空氣。其實(shí)，這類斷電火光也時(shí)常出現(xiàn)在家用接線板里，特別在與電飯煲、微波爐聯(lián)接的接線板處，當(dāng)其電鍵斷開瞬間，閃現(xiàn)火光，這類家用電器的工作電流約為10A。RC暫態(tài)過(guò)程—充電&放電

（1）電鍵

K1，充電過(guò)程。此回路電壓方程為?

于是，以

q0(t)

為函數(shù)，該電路微分方程及其初條件分別為?

其定解為?

相應(yīng)的電容電壓

Uc和回路電流

i分別為?

?

特別關(guān)注該充電暫態(tài)過(guò)程的初始值，

電壓

電流?

由此可見，電容元件是一電壓惰性元件，其電壓與其電量成比例，而電量的積累或釋放總是漸變的，不會(huì)發(fā)生突變；與此相聯(lián)系，含電容元件的電路電流可能有突變，這不難理解，既然初始瞬間電容器無(wú)電壓，那端電壓?就全部降落在電阻R上，其電流值必為?/R

；當(dāng)這R值甚小，比如R為電容器之漏電電阻，則初始電流甚大，出現(xiàn)一個(gè)脈沖大電流，比如，?=12V

，R=0.1Ω

，則此電流脈沖峰值為120A。注意到RC暫態(tài)過(guò)程的時(shí)間常數(shù)

τ=RC

，比如，R=0.1Ω，C=500μF，則τ≈50μs（微秒），相當(dāng)短暫。更有意思的是，電阻值R對(duì)

τ

的影響，當(dāng)R與電容C搭配時(shí)，τ∝R

；當(dāng)

R

與電感L搭配時(shí)，τ∝1/R。試問(wèn)，若要增加暫態(tài)過(guò)程之時(shí)間常數(shù)，究竟是該加大電阻值，還是減少電阻值，這要先區(qū)分是電容性電路，還是電感性電路。

（2）電鍵

K2，放電過(guò)程。

當(dāng)電鍵撥向2，就構(gòu)成了一個(gè)RC無(wú)源回路，原已充電的電容器就成為一個(gè)暫態(tài)電源，向電阻R放電，造成一個(gè)脈沖電流，最終將電容器儲(chǔ)存的電能，完全轉(zhuǎn)化為電阻的焦耳熱能而耗散，電流i(t)趨于零，電壓UC(t)，UR(t)

趨于零。據(jù)此，可以推斷出，?

?

?,

?

暫態(tài)過(guò)程三要素其一，準(zhǔn)確判定初條件，它獨(dú)立于電路微分方程，須知含電感電路的電流不會(huì)突變，

；電容兩端電壓不會(huì)突變，

。其二，準(zhǔn)確判定電路終態(tài)電流

I，或I=?/R

，或I=0。其三，從初態(tài)到終態(tài)電路歷經(jīng)的暫態(tài)過(guò)程，必含因子

或因子

，須知

，

。

姑且稱這三個(gè)特征為暫態(tài)過(guò)程三要素，實(shí)乃抓兩頭帶中間，憑借對(duì)這三要素的準(zhǔn)確把握，就能快捷地寫出暫態(tài)過(guò)程的電流函數(shù)和電壓函數(shù)，而無(wú)須依賴電路微分方程；對(duì)LR電路或RC電路便是如此簡(jiǎn)明，但對(duì)LRC電路，其暫態(tài)過(guò)程顯得較為復(fù)雜，隨后給出分析。暫態(tài)過(guò)程及其三種表現(xiàn)

（1）電鍵

K1，充磁又充電。

經(jīng)歷一個(gè)暫態(tài)過(guò)程，而趨向一穩(wěn)定的終態(tài)，i(∞)=0，Uc(∞)=?。

此時(shí)電路的電壓方程為?

?

注意到電流i(t)=dq0/dt，便得以電容器電量q0(t)為對(duì)象的該電路微分方程為?

初條件?

這是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的二階、線性、常系數(shù)、非齊次方程，在數(shù)學(xué)上有現(xiàn)成的解法，其結(jié)果：存在三種可能的函數(shù)形式，取決于系數(shù)a，b

和c，對(duì)此類方程的一般形式而言，集中于一特征量λ，稱λ為阻尼度，目前

這三種過(guò)程是，若λ>1，過(guò)阻尼；若

λ=1

，臨界阻尼；若

λ<1

，阻尼振蕩.

對(duì)于阻尼振蕩曲線，電容器的電量q0(t)大體上以(C?)為平均值，時(shí)漲時(shí)落，發(fā)生著電容器電能Wc與電感器磁能WL

之間的可逆轉(zhuǎn)化，而每漲落一回，均在電阻R上發(fā)生著不可逆的熱耗散，故電量峰值有所下降，或其振蕩幅度有所下降，呈現(xiàn)阻尼振蕩。

感興趣于R=0，即無(wú)阻尼時(shí)的等幅振蕩。電路的微分方程為?

?

這是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的含常數(shù)項(xiàng)的諧振動(dòng)方程，其解為一簡(jiǎn)諧函數(shù)，再加一常數(shù)，為明瞭此事，茲將以上方程改寫為，?)

?

其解為

，即

?

再由初條件

q0(0)=0，確定了Q0=-C?，最終得到LRC串聯(lián)無(wú)阻尼時(shí)，充電過(guò)程的等幅振蕩解為?

振蕩角頻率

（2）電鍵

K2，放電過(guò)程。構(gòu)成了一個(gè)LRC無(wú)源回路，原已充電的電容器成為一暫態(tài)電源，它放電而電感器充磁；因?yàn)榇嬖谀芰亢纳⒃

，使電路電流i(t)或電壓Uc(t)最終衰減為零，即，i(∞)=0，Uc(∞)=0。

其歷程q0(t)也有三種可能，過(guò)阻尼、臨界阻尼和阻尼振蕩，分別對(duì)應(yīng)阻尼度λ>1、λ=1、λ<1

，這也相當(dāng)于，

，過(guò)阻尼；

，臨界阻尼；

，阻尼振蕩。試看R=0，無(wú)阻尼理想條件下的等幅振蕩，此時(shí)電路方程為，?

其解為一單純的簡(jiǎn)諧函數(shù)，?

振蕩角頻率相應(yīng)的回路電流亦即通過(guò)電感L的電流為?

這等幅電磁振蕩得以維持表明，電容器電能WC

與電感器磁能WL之間進(jìn)行著可逆轉(zhuǎn)換而守恒，可以預(yù)測(cè)兩者之和為一常數(shù)，與t無(wú)關(guān)，即，這一事理類似于力學(xué)中無(wú)阻尼諧振子的運(yùn)動(dòng)，其慣性動(dòng)能WV與彈性勢(shì)能WK之間的可逆轉(zhuǎn)換而守恒，即從類比中得到力學(xué)量與電磁量的對(duì)應(yīng)如下，位置坐標(biāo)x

—q0

電量，速度v

—i

電流；慣性質(zhì)量m

—L

電感，倔強(qiáng)系數(shù)

k

—(1/C)

電容倒數(shù).

最后必須說(shuō)明，無(wú)阻尼畢竟是一理想情形，電感器的繞線電阻和電容器的漏電電阻多少有之，故欲獲得穩(wěn)定等幅電磁振蕩，必定要求有外加交變電源不斷提供能量，以補(bǔ)償電阻上的能量耗散，這一問(wèn)題將在交流電路一章和電磁波輻射部分繼續(xù)討論。二階線性常系數(shù)齊次方程通解的三種形式

其方程的一般形式為其規(guī)范形式為比對(duì)LRC串聯(lián)暫態(tài)過(guò)程，有（1）當(dāng)λ>1，即

β>ω0

，其通解為此為過(guò)阻尼衰減過(guò)程。

（2）當(dāng)λ=1，即

β=ω0

，其通解為

此為臨界阻尼衰減過(guò)程，它比過(guò)阻尼更快衰減。（3）當(dāng)λ<1，即

β<ω0，弱阻尼情形，其通解為

此為弱阻尼衰減振蕩過(guò)程。理想情形，β=0

，無(wú)阻尼，則此為無(wú)阻尼等幅振蕩過(guò)程。注意到以上三個(gè)通解中均含有兩個(gè)待定常數(shù)(c1,c2)或(A,?0)，它們由初條件(x0

,v0=(dx/dt)0

)決定。比如，對(duì)于LRC串聯(lián)放電過(guò)程，其初條件為q0(0)=C?，i(0)=0。還要注意到這三種過(guò)程的共同特點(diǎn)是衰減，其函數(shù)值經(jīng)一定時(shí)間之后趨于零，物理上稱其為非定態(tài)或暫態(tài)。簡(jiǎn)言之，二階線性常系數(shù)齊次方程的通解系非定態(tài)的暫態(tài)解，不可能長(zhǎng)時(shí)間存在之。這一結(jié)論將應(yīng)用于交流電路一章LRC諧振電路的分析中。

二階線性常系數(shù)齊次或非齊次方程，是物理學(xué)中也算常見的一類微分方程，比如，力學(xué)中有阻尼彈簧振子的運(yùn)動(dòng)方程。電磁學(xué)中就有三種場(chǎng)合出現(xiàn)此類方程，其一，眼前的LRC串聯(lián)充電或放電的暫態(tài)過(guò)程；其二，在交變電源作用下，LRC諧振電路方程；其三，靈敏電流計(jì)線圈的運(yùn)動(dòng)方程，對(duì)此將稍加詳細(xì)介紹如下。

通電載流線圈，在轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中將同時(shí)受到三個(gè)力矩M1、M2和

M3的作用，其中，安培力矩

，（恒定，與轉(zhuǎn)角無(wú)關(guān)）；楞次阻尼力矩懸絲恢復(fù)力矩

（

D為懸絲扭轉(zhuǎn)系數(shù)）.應(yīng)用剛體力學(xué)的轉(zhuǎn)動(dòng)定理，（J為線圈轉(zhuǎn)動(dòng)慣量）得該線圈運(yùn)動(dòng)θ(t)的微分方程為通電時(shí)

，阻尼度斷電時(shí)值得指出，使用靈敏電流計(jì)進(jìn)行實(shí)際測(cè)量操作時(shí)，要先調(diào)節(jié)電路外電阻R外，以滿足λ=1，使電流計(jì)處于臨界阻尼的工作狀態(tài)，這樣通電時(shí)就能更快地達(dá)到穩(wěn)定值θ，斷電時(shí)也能盡快地回到零點(diǎn)，這對(duì)多次連續(xù)測(cè)量十分需要。否則，若讓靈敏電流計(jì)處于過(guò)阻尼或弱阻尼工作狀態(tài)，均要耗費(fèi)不少測(cè)量時(shí)間?！居懻摗縇RC并聯(lián)暫態(tài)過(guò)程

一電感器(L,r)

與電容C并聯(lián)，再同一電阻串聯(lián)于一直流電源?，當(dāng)合上電鍵K，試求解暫態(tài)電流i(t)、i1(t)和

i2(t)。（1）擬先從物理上判定三者的初值和終值，即，（2）建立電路方程，討論

?

?

?

并聯(lián)電路其兩端電壓相等。得

注意到總電流經(jīng)整理列出電路方程為（3）這是一個(gè)二元聯(lián)立微分方程組，如何解出

i1(t)和

i2(t)，還得求助于高等數(shù)學(xué)。試?yán)^續(xù)討論之。6.6超導(dǎo)電性引言零電阻性—臨界溫度&臨界磁場(chǎng)完全抗磁性—邁斯納效應(yīng)磁通量子化超導(dǎo)結(jié)及其隧道效應(yīng)約瑟夫森效應(yīng)庫(kù)珀對(duì)百年追求高

Tc

引言

在人類低溫技術(shù)與物理的發(fā)展史上，1911年是值得紀(jì)念的一年。荷蘭實(shí)驗(yàn)物理學(xué)家開默林?昂內(nèi)斯（H.Kamerling

Onnes），首先于1908年7月10日成功地將氦氣液化，其液化溫度為

4.2K，得到了60cm3液氦。接著，昂內(nèi)斯利用這低溫條件，研究金屬電阻對(duì)溫度的依賴關(guān)系，終于在1911年4月發(fā)現(xiàn)了汞在液氦溫度附近時(shí)，其電阻突然消失，他肯定這是一個(gè)全新的物理現(xiàn)象，并將其命名為超導(dǎo)電性（superconductivity）?，F(xiàn)今人們將具有超導(dǎo)電性的物質(zhì)或物態(tài)，簡(jiǎn)稱為超導(dǎo)體或超導(dǎo)態(tài)，以區(qū)別為正常態(tài)。1913年昂內(nèi)斯獲得諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)，其獲獎(jiǎng)原因是研究物質(zhì)在低溫下的性質(zhì)，并制得液氦。

1933年，荷蘭科學(xué)家邁斯納和奧森菲爾德發(fā)現(xiàn)超導(dǎo)體內(nèi)部的磁感強(qiáng)度總為零，即超導(dǎo)體具有完全抗磁性，也稱其為邁斯納效應(yīng)（Meissnereffect）后來(lái)的數(shù)十年里，人們發(fā)現(xiàn)了諸多金屬和合金在低溫條件下呈現(xiàn)超導(dǎo)電性，且從多方面研究處于超導(dǎo)態(tài)物質(zhì)的各種獨(dú)特物性，比如其電學(xué)性質(zhì)、磁學(xué)性質(zhì)、熱學(xué)性質(zhì)和同位素性質(zhì)等。零電阻性—臨界溫度&臨界磁場(chǎng)對(duì)于汞，準(zhǔn)確地說(shuō)它在溫度為4.153K、磁場(chǎng)為41.2mT（毫特斯拉）時(shí)，其電阻突然消失，即呈現(xiàn)零電阻性。超導(dǎo)體由正常態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)槌瑢?dǎo)態(tài)的溫度，稱為臨界溫度TC

；當(dāng)該物質(zhì)所處實(shí)際溫度