一、向量在坐標(biāo)軸上的分向量與向量的坐標(biāo)二、向量的模與方向余弦的坐標(biāo)表示點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的投影、向量在坐標(biāo)軸上的分向量和投影向量的分解式、向量的坐標(biāo)、向量的坐標(biāo)表示式利用坐標(biāo)進(jìn)行向量的加減和數(shù)乘、利用坐標(biāo)判斷兩個向量的平行兩個向量的夾角、投影定理向量的方向角、向量的方向余弦向量的模的坐標(biāo)表示方向余弦的坐標(biāo)表示、單位向量的表示空間向量的坐標(biāo).數(shù)軸上的有向線段的值：設(shè)在數(shù)軸u上點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為u1、u2，記作AB．則稱數(shù)值u2u1即AB=u2u1．則顯然有u2u1uO1AB一、向量在坐標(biāo)軸上的分向量與向量的坐標(biāo)為數(shù)軸u上有向線段的值，設(shè)是與數(shù)軸u同方向的單位向量，(u2u1)．.P1為終點(diǎn)的向量．的單位向量，并稱它們?yōu)檫@一坐標(biāo)系的基本單位向量．O

x

yzP1稱為點(diǎn)M1在x軸上的投影，P2稱為點(diǎn)M2在x軸上的投影．上的分向量．M1M2P2或ax

．a(chǎn)x=x2-x1．設(shè)是以M1(x1,y1,z1)為起點(diǎn)、以M2(x2,y2,z2)有向線段的值P1P2叫做向量在軸x上的投影，記為.Q1稱為點(diǎn)M1在y軸上的投影，Q2稱為點(diǎn)M2在y軸上的投影．上的分向量．

x

yzP2P1OM1M2或ay

．

ay=y2-y1．Q2

Q1為終點(diǎn)的向量．的單位向量，并稱它們?yōu)檫@一坐標(biāo)系的基本單位向量．設(shè)是以M1(x1,y1,z1)為起點(diǎn)、以M2(x2,y2,z2)向量稱為向量在y軸有向線段的值Q1Q2叫做向量在軸y的投影，記為.R1稱為點(diǎn)M1在z軸上的投影，R2稱為點(diǎn)M2在z軸上的投影．上的分向量．

x

yzM2P2P1Q2

Q1OM1或az

．a(chǎn)z=z2-z1．R2R1為終點(diǎn)的向量．的單位向量，并稱它們?yōu)檫@一坐標(biāo)系的基本單位向量．設(shè)是以M1(x1,y1,z1)為起點(diǎn)、以M2(x2,y2,z2)向量稱為向量在z軸有向線段的值R1R2叫做向量在軸z的投影，記為.O

x

yzM1M2P2P1Q2

Q1R2R1為終點(diǎn)的向量．的單位向量，并稱它們?yōu)檫@一坐標(biāo)系的基本單位向量．設(shè)是以M1(x1,y1,z1)為起點(diǎn)、以M2(x2,y2,z2)a

x(x2x1)、a

y(y2y1)、a

z(z2z1)，.O

x

yzM1M2P2P1Q2

Q1R2R1起點(diǎn)為M1(x1，y1，z1)而終點(diǎn)為M2(x2，y2，z2)的向量a

x(x2x1)、a

y(y2y1)、a

z(z2z1)，(x2x1)(y2y1)(z2z1)．a(chǎn)

xa

ya

z此式叫做向量的坐標(biāo)表示式．并記{a

x、a

y、a

z}，上式稱為向量按基本單位向量的分解式．向量在三個坐標(biāo)軸上的投影a

x、a

y、a

z叫做向量的坐標(biāo)，.注意：向量在坐標(biāo)軸上的分向量與向量在坐標(biāo)軸上的投影(即向量的坐標(biāo))有本質(zhì)的區(qū)別，向量在坐標(biāo)軸上的投影是三個數(shù)a

x，a

y，a

z，而向量在坐標(biāo)軸上的分向量是三個向量.利用向量的坐標(biāo)進(jìn)行向量的加減和數(shù)乘：則{a

x

b

x，a

y

b

y，a

z

b

z}．{a

x

-

b

x，a

y

-b

y，a

z

-b

z}．{a

x，a

y，a

z}．，.利用向量的坐標(biāo)判斷兩個向量的平行：則即于是.

例1設(shè)A(x1，y1，z1)和B(x2，y2，z2)為兩已知點(diǎn)，而在AB解設(shè)所求點(diǎn)為M(x，y，z)，則{xx1，yy1，zz1}

{x2x，y2y，z2z}，{x，y，z}{x1，y1，z1}

{x2，y2，2}{x，y，z}，BAMxyzO..二、向量的模與方向余弦的坐標(biāo)表示兩個向量的夾角：即間任意取值．規(guī)定它們的夾角可在0與之OBAj.)juA'B'ABB''ABB''j投影定理：的余弦：向量在軸u上的投影等于向量的模乘以軸與向量的夾角Prju=||cosj．.向量的方向角：、、(0<、0、0)來表示它的方向，稱、、M1M2O

x

yz對于非零向量我們可以用它與三條坐標(biāo)軸的夾角.向量的方向余弦：因?yàn)橄蛄康淖鴺?biāo)就是向量在坐標(biāo)軸上的投影，所以a

x||cos

||cos

；a

y||cosb

||cosb；a

z||cosg

||cosg

；上述cos

、cos