第十一章應力狀態(tài)分析和強度理論一點處應力狀態(tài)

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過一點各方向截面上應力的集合。應力狀態(tài)分析：

分析一點處的應力隨截面方位改變而變化的規(guī)律。應力狀態(tài)分析的目的：

為多應力強度分析打基礎；了解強度破壞的力學因素?！?1-1概述1.應力狀態(tài)的概念通過桿內任意一點所作各個截面上的應力隨著截面的方位而改變。例如軸向拉壓時桿件斜截面上的應力受扭桿件

y

a

bcdenx(a)detnxc(b)受扭桿件通過桿內任意一點所作各個截面上的應力也隨著截面的方位而改變，有必要進行應力狀態(tài)分析。

+－maxmax

max梁在橫力彎曲時，在梁的橫截面上，除去離中性軸最遠的和中性軸上的點以外，各點處既有正應力又有切應力。當需要按照這些點處的應力對梁進行強度計算時，必須考慮兩種應力的綜合影響，就需要全面研究一點處的應力狀態(tài)。鑄鐵軸向拉伸：沿橫截面拉斷破壞，斷口平齊。鑄鐵軸向壓縮：沿斜截面剪斷破壞。低碳鋼軸向拉伸：沿45o斜截面滑移而產生屈服流動。斷口有頸縮現(xiàn)象?；仡櫸覀冏鲞^的材料實驗低碳鋼扭轉：沿橫截面剪斷破壞。鑄鐵扭轉：沿斜截面拉斷破壞。TT斷裂線σmin鑄鐵的所謂扭轉破壞，實質上是沿45o方向拉伸引起的斷裂。因此根據對應力狀態(tài)的分析，可以了解桿件中材料破壞的力學因素，以建立強度條件。2.應力狀態(tài)分析的方法取研究對象截開并考察平衡討論結果單元體：圍繞一點取出的邊長為無限小的正立方體。應力特點：單元體各表面上的應力視為均勻分布。平行面上的應力相等。相鄰垂直面上的切應力根據切應力互等定理確定。一般選擇單元體的面平行于構件的橫截面或表面，這樣可以用現(xiàn)有公式求出單元體上的應力。TTFF

QM§11-2

平面應力狀態(tài)分析平面應力狀態(tài)

平面應力狀態(tài)：單元體各平面上的應力，都平行于單元體的某一對平面，而在這一對平面上卻沒有應力的應力狀態(tài)，又稱為兩向應力狀態(tài)。1.求斜截面上的應力求此單元體上任意平行于z軸的斜截面上的應力。設單元體z方向厚度為1。取垂直于斜截面的n軸和平行于斜截面的t軸為參考坐標軸。設斜面面積為dA，則有因為，以上兩式可以簡化為：

正應力：拉“+”，壓“-”。切應力：順時針“+”，逆時針“-”。夾角：外法線逆時針轉為“+”，順時針轉“-”。

公式（6－1）與（6－2）稱為應力轉換公式，可由求得任意截面上的和。2.應力圓將式改寫成將上面兩式兩邊分別平方再相加得應力圓圓心：半徑：標準圓方程：A1A2O應力圓方程：對比得

對于一個單元體，已知且則按以下步驟求應力圓：（1）在坐標系內，按選定比例尺，量取得，點。（2）連接和兩點，其連線與軸交于C點。以C點為圓心，為半徑畫圓就是所求應力圓。A1A2O

單元體某一面上的應力，必對應于應力圓上某一點的坐標。單元體上任意A，B兩截面的外法線之間的夾角為，則在應力圓上代表該兩個面上應力的兩點之間圓弧段所對應的圓心角必為。因此，只要由單元體的X平面和Y平面上已知應力作出應力圓，就可以很容易地從應力圓確定任一截面上的應力。A1A2O3.主應力與主平面觀察應力圓，可見軸與應力圓交于兩點，這兩點正應力為最大、最小值，而切應力為零。

主平面：切應力等于零的平面。

主應力：主平面上的正應力。A1A2Os在通過某點的各個平面上，最大，最小正應力所在平面是主平面。最大最小正應力為主應力。由于，表明兩個主平面是相互垂直的，兩個主應力也是相互垂直的。此外，單元體上沒有應力作用的平面也是主平面，它與另外兩個主平面也互相垂直。三個主平面上的主應力通常用表示，并按代數值大小排列，即A1A2OsA1A2Os還可以注意最大最小切應力所在的平面相互垂直并與主平面成45角。從圖可見xyx1212A1A2Os還可以看到例：兩端簡支的焊接工字鋼梁及其荷載如圖a和b所示，梁的尺寸見圖c。試通過應力圓求截面C上a點處的主應力。解：首先作出梁的剪力和彎矩圖如圖d和e所示：

(a)

B5m10mA250kNC(b)fza(c)

12015270159(d)FS圖M圖(e)

M(kN·m)80x200kN50kNFSx由此可得C截面處的彎矩和截面左側的剪力為：

又因為橫截面的慣性矩和計算a點切應力所需的靜矩為：且：由此可得C截面上a點處正應力和切應力分別為：

該點的應力狀態(tài)如圖f所示，選定適當的比例，即可繪出相應的應力圓，如圖g所示。ty(f)tyytxsxxtxsxsx=122.7MPatx=64.6MPaty=-64.6MPas/MPat/MPaOA1A2CD1(122.7,64.6)D2(0,-64.6)s3smax2a0(g)由應力圓可得a點處的主應力為：且：則1主平面的方位角0為：顯然，3主平面應垂直與1主平面，如下圖所示。s3s1tytyytxsxxtxsx如圖所示的三個單元體是否處于平面應力狀態(tài)？(a)(b)(c)思考題6-1參考答案：單向應力狀態(tài)單向應力狀態(tài)平面應力狀態(tài)(a)(b)(c)思考題6-2

根據圖示應力圓是否可知，對于圖示的單元體，（1）垂直于xy平面的截面上之最大切應力其值為

，作用在自

作用截面逆時針旋轉45o的面上；（2）該截面上還有正應力，其值為。A1A2Osxyx12求圖示應力狀態(tài)下單元體的與紙面垂直的任意截面上的應力。思考題10-3平面應力狀態(tài)的應力圓123123=0132=0231=0平面應力狀態(tài)3=-1=2=0單向拉伸應力狀態(tài)1=2=03=-純剪應力狀態(tài)2=3=01=s單向壓縮應力狀態(tài)(1)一點處應力隨截面方位的改變而變化：

4.小結：(2)切應力極值：A1A2Os(3)正應力極值：(4)主平面·主應力·主方向：A1A2Os例題：求純剪切應力狀態(tài)的主應力及主方向。1=2=03=-問題：在基本變形中，桿件內哪些點為上述應力狀態(tài)？依上述結果可以確定三個主應力的順序嗎？常見的二向應力狀態(tài)§11-3三向應力狀態(tài)的應力圓123=0132=0231=0平面應力狀態(tài)如果一單元體中，主應力均不為0，則單元體處于空間應力狀態(tài)，即三向應力狀態(tài)。平面應力圓表達了與主應力為零的面相垂直的截面上應力的情況。事實上即使那個面上的主應力不為零，而按平面應力狀態(tài)繪出的應力圓，仍然表示平行于該主應力的截面上應力的情況。

132132132132

O可以證明，代表不平行于任一主應力的任意斜截面上應力的點必定落在三個以主應力作出的應力圓之間。13213三向應力狀態(tài)下的最大切應力O§11-4平面應力狀態(tài)下的胡克定律各向同性材料在平面應力狀態(tài)下，當變形微小時，正應變只與該點處的正應力相關，而與切應力無關。在線彈性且變形微小時，可將任意的平面應力狀態(tài)看作兩個單向應力狀態(tài)和一個純剪切應力狀態(tài)的疊加。000從而即得平面應力狀態(tài)下的胡克定律：xxy例已知|ea|+|eb|=40010，E=200GPa,=0.25，D=120mm,d=80mm，求T。TT13545aabb解：==純剪應力狀態(tài)===TT13545aabb==TT13545aabb§11-5強度理論及其應用1321<[]1強度極限可以通過試驗來測定。應力組合無限多種，強度極限無法通過試驗來測定。復雜應力狀態(tài)簡單應力狀態(tài)

人們根據材料破壞的現(xiàn)象，形成了如下共識：⑴材料受外力作用發(fā)生破壞時，不論破壞的表象如何復雜，其破壞形式只有幾種類型。⑵同一種類型的破壞是由某一個共同的力學因素引起的。⑶當某一共同力學因素達到材料的極限值，該材料就會發(fā)生某型破壞。⑷可以通過簡單拉伸試驗來確定這個因素的極限值，從而建立復雜應力狀態(tài)下的強度條件。(1)脆性破壞：沒有明顯的塑性變形，這時的斷裂面是最大拉應力所在面。例如鑄鐵在室溫、靜載下受單向拉伸或扭轉。1.材料的兩種基本破壞形式：強度理論——認為材料某一類型的破壞是由某種力學因素引起的假說。(2)塑性屈服：有明顯的塑性變形，這時材料是沿最大剪應力所在面發(fā)生相對錯動而破壞的。例如低碳鋼在室溫、靜載下受單向拉（壓）及鑄鐵受壓縮。2.四個基本的強度理論(1)關于脆性斷裂的強度理論(a)最大拉應力理論破壞條件：1=jx強度條件：1［］適用范圍:(Ⅰ)脆性材料在單向拉伸和純剪應力狀態(tài)下發(fā)生的破壞

(Ⅱ)鑄鐵在雙向受拉和一拉一壓的平面應力狀態(tài)下TT斷裂線σmin適用范圍：（Ⅰ）石料等脆性材料在單向壓縮狀態(tài)下發(fā)生的破壞。（Ⅱ）鑄鐵一拉一壓的平面應力狀態(tài)下偏于安全。(b)最大伸長線應變理論破壞條件：1=jx

，強度條件：強度條件：1-3［］適用范圍：塑性破壞，拉壓屈服極限相同的塑性材料。（2）關于塑性屈服的強度理論（c）最大切應力理論破壞條件：max=jx

，強度條件：適用范圍：塑性破壞，拉壓屈服極限相同的塑性材料。（d）形狀改變比能理論破壞條件：ud

=udjx即3.強度理論的應用（1）按第三強度理論：（2）按第四強度理論：對圖示平面應力狀態(tài)，試證明。由第三強度理論，有：例：利用第三或第四強度理論求純剪應力狀態(tài)下屈服應力s和拉壓屈服應力s之間的關系。t

當=s時材料發(fā)生屈服，因此有：解：圖示純剪應力狀態(tài)的主應力為：而當材料拉壓屈服時有：由此可得：利用第四強度理論，有：即，

純剪：單拉：由此可得：60例試全面校核圖a、b、c所示焊接工字梁的強度，梁的自重不計。已知：梁的橫截面對于中性軸的慣性矩為Iz=88×106mm4；半個橫截面對于中性軸的靜矩為S*z,max