熱流問題的數(shù)值計算

NumericalSimulationsofThermal&FluidProblems第2章計算區(qū)域與控制方程離散主講李炎鋒2008年7月北京2.1空間區(qū)域的離散化(Domaindiscretization)2.1.1區(qū)域離散化的實質和內容

實質:用一組有限個離散的點代表原來的連續(xù)空間.實施過程:把所計算的區(qū)域劃分成許多個互不重疊的子區(qū)域（sub-domain），確定每個子區(qū)域的節(jié)點位置及該節(jié)點所代表的控制容積(controlvolume)。4種幾何要素:

節(jié)點（grid):需要求解的未知物理量的幾何位置.控制容積(controlvolume):應用控制方程或守恒定律的最小幾何單位.界面(surface):與各節(jié)點相對應的控制容積的分界面位置.網(wǎng)格線(gridline):沿坐標軸方向聯(lián)結相鄰兩節(jié)點而形成的曲線簇。2.1.2兩類設置節(jié)點的方法

1.外節(jié)點法（practiceA）：先節(jié)點后界面法。2.內節(jié)點法(practiceB)：先界面后節(jié)點法(見表2-1)用P,N,E,W,S表示所研究的節(jié)點及相鄰的節(jié)點，用n,e,w,s表示相應的界面。兩節(jié)點間的距離用x表示，x表示相鄰兩界面間的距離。2、非結構化網(wǎng)格（unstructuredgrid）：生成復雜，對不規(guī)則區(qū)域適應性強；1、結構化網(wǎng)格（structuredgrid）：生成簡單，對不規(guī)則區(qū)域適應性差；兩類網(wǎng)格比較:2.1.3兩類節(jié)點設置方法的比較1、邊界節(jié)點代表的控制容積不同。外節(jié)點法中，位于非角頂上的邊界節(jié)點代表了半個控制容積；內節(jié)點法中，則應看成是厚度為零的控制容積的代表。2、當網(wǎng)格不均勻時，內節(jié)點法中節(jié)點永遠位于控制容積的中心。外節(jié)點法則不然。

3、對一維問題，當節(jié)點不均勻布置時外節(jié)點法的離散誤差比較小，但對二維流動問題用四邊形網(wǎng)格來計算時，發(fā)現(xiàn)兩種布置方法得出的結果幾乎相同。2.1.4關于網(wǎng)格生成的進一步說明2、同一坐標方向上相鄰兩個子區(qū)域（或控制容積）的寬度應保持在一個合適的范圍內。

1、對每個控制容積在不同方向的寬度應保持一個合適的比例。對橢圓型問題，應為接近1；對拋物型問題或某個方向的變化率明顯大于另一個方向的橢圓型問題，變化劇烈的方向應取較小的寬度。對不均勻網(wǎng)格應注意：守恒型:非守恒型:2.2.1一維模型方程2.2建立離散方程的Taylor展開法及多項式擬合法2.2.2用Taylor展開法導出導數(shù)的差分方程式得：由:的截斷誤差小于等于來代替其中，(x)稱為截斷誤差（truncationerror），表示隨著x趨近于零，用(x2):中心差分(centraldifference)(x):向后差分(backwarddifference)(x):向前差分（forwarddifference）用一階精度的差分表達式來代替，為:2.2.3一維模型方程的離散C-N格式:每一時層上空間導數(shù)的差分按每一層的中間時刻之值計算.隱式:每一時層上空間導數(shù)的差分按每一層的終了時刻之值計算;顯式:每一時層上空間導數(shù)的差分按每一層的初始時刻之值計算;非穩(wěn)態(tài)問題的三種格式：將一維模型方程的精確解在接點（i,n+1），（i+1,n）（i-1,n）上對節(jié)點（i,n）作Taylor展開，取時間的向前差分，空間的中心差分，可得：用近似值代替精確解(i,n)，可得Taylor展開法導出的一維模型方程的顯式離散格式為：2.2.4用多項式擬合法建立導數(shù)的差分表達式

設x0=0,x0為點(i,n)的x坐標，則有：設函數(shù)(x,t)在節(jié)點(i,n)附近對x的變化近似地成線性，則有：1.線性逼近原理：對未知函數(shù)的局部變化型線采用多項式逼近在點（i,n）的向前差分為：由上兩式得，由此得,有：2.二次曲線擬合:一、二階導數(shù)的差分逼近為：例題：設在如圖所示的情形中，已知區(qū)域內部與邊界節(jié)點的溫度，物體導熱系數(shù)為常數(shù)，試用多項式擬合法確定穿過壁面的熱流密度。如果取溫度分布為二次曲線，yTi,1Ti,5Ti,4Ti,3Ti,2xy解：設壁面附近溫度T按線性變化，則

則有:該具有二階精度.于是得:由此得:2.3建立離散方程的控制容積積分法及平衡法1.將守恒型的控制方程在任一控制容積及時間間隔內對空間和時間作積分；2.選定未知函數(shù)及其導數(shù)對時間及空間的局部分布曲線，即型線；3.對各個項按選定的型線作積分，并整理成關于節(jié)點上未知值的代數(shù)方程.2.3.1控制容積積分法的實施步驟及常用的型線主要步驟：分段線性分布（piecewiselinear）階梯式分布（stepwise）常用的型線：(2)(1)將上式對控制容積P在t時間間隔內作積分，得:一維守恒型模型方程：2.3.2用控制容積積分法離散一維模型方程對對流項：選定隨t變化的型線為階梯式，得:對非穩(wěn)態(tài)項：選定隨x變化的型線為階梯式，得:(3)(4)(8)(7)(6)若取隨x呈分段線性變化，則式（4）（5）中界面的對流項(u)及擴散項可表示為：(5)對擴散項：選取一階導數(shù)隨時間作顯式階躍式變化，得:將式（3）-（9）代入（2）得:(9)對源項：假設S對t及x均呈階梯式變化，則：把物理上的守恒定律直接用于所研究的控制容積，并把節(jié)點看成是控制容積的代表，導出節(jié)點上未知值間的代數(shù)關系式。2.3.3由控制容積平衡法導出離散方程注意：用控制容積積分法與用Taylor展開法導出的離散方程不一定相同，計算結果的精確度也不一樣。

對一維問題，則有在t時間間隔內控制容積P中變量的增量，等于在同一時間間隔內由流及擴散作用進入該控制容積的的凈值及源項所生之值的總和，有：2.3.4不同離散方法的比較Taylor展開法與多項式擬合法側重于從數(shù)學角度進行推導，把控制方程中的各階導數(shù)用相應的差分表示式代替；優(yōu)點:易于對離散方程進行數(shù)學特性分析，缺點