1通信原理第8章數(shù)字信號(hào)的最佳接收2023/2/18.1引言2

最佳接收理論主要研究假設(shè)檢驗(yàn)和參數(shù)估計(jì)兩方面的問(wèn)題，假設(shè)檢驗(yàn)是研究如何從噪聲中判決有用信號(hào)是否出現(xiàn)，參數(shù)估計(jì)是研究從噪聲中測(cè)量有用信號(hào)的參數(shù)。

在數(shù)字通信系統(tǒng)中，發(fā)射機(jī)的信號(hào)到達(dá)接收機(jī)時(shí)會(huì)不可避免受到噪聲和干擾的影響，接收機(jī)內(nèi)部的噪聲又進(jìn)一步加劇了信號(hào)的畸變。因此，接收機(jī)必須根據(jù)畸變了的信號(hào)，用統(tǒng)計(jì)的方法判決出接收到的是哪一個(gè)波形，盡量減少判決錯(cuò)誤。在接收端，根據(jù)信號(hào)和噪聲的統(tǒng)計(jì)特性，選擇某種判決準(zhǔn)則，使接收機(jī)獲得正確判決的概率最大。2023/2/138.2數(shù)字信號(hào)的統(tǒng)計(jì)特性

假設(shè)通信系統(tǒng)中的噪聲是均值為0的高斯白噪聲，其單邊功率譜密度為n0，發(fā)送的二進(jìn)制碼元為“0”和“1”，其發(fā)送概率分別為P(0)和P(1)，顯然，P(0)+P(1)=1。

設(shè)在一個(gè)碼元持續(xù)時(shí)間Ts內(nèi)以2fH的速率抽樣，共得到k個(gè)抽樣值，即k＝2fHTs。

由于每個(gè)噪聲電壓n(t)的抽樣值ni都是正態(tài)分布的隨機(jī)變量，故其一維概率密度可以寫為其中，σn是噪聲的標(biāo)準(zhǔn)偏差；i=1,2,3,…,k。2023/2/148.2數(shù)字信號(hào)的統(tǒng)計(jì)特性(續(xù))k維聯(lián)合概率密度函數(shù)可以表示為2023/2/1

當(dāng)k很大時(shí)，在一個(gè)碼元持續(xù)時(shí)間Ts內(nèi)接收的噪聲平均功率可以表示為58.2數(shù)字信號(hào)的統(tǒng)計(jì)特性(續(xù))k維聯(lián)合概率密度函數(shù)可以表示又為2023/2/1其中，n

=(n1,n2,…,nk)為k維矢量，表示一個(gè)碼元內(nèi)噪聲的k個(gè)抽樣值。

設(shè)接收電壓r(t)為信號(hào)電壓s(t)和噪聲電壓n(t)之和，即r(t)=s(t)+n(t)。在發(fā)送碼元確定之后，接收電壓r(t)的隨機(jī)性將完全由噪聲決定，故它仍服從高斯分布，其方差仍為n2，但是均值變?yōu)閟(t)。所以，當(dāng)發(fā)送碼元“0”的信號(hào)波形為s0(t)時(shí)，接收電壓r(t)的k維聯(lián)合概率密度函數(shù)為68.2數(shù)字信號(hào)的統(tǒng)計(jì)特性(續(xù))2023/2/1其中，r=s+n為k維矢量，表示一個(gè)碼元內(nèi)接收電壓的k個(gè)抽樣值；s為k維矢量，表示一個(gè)碼元內(nèi)信號(hào)電壓的k個(gè)抽樣值。

當(dāng)發(fā)送碼元“1”的信號(hào)波形為s1(t)時(shí)，接收電壓r(t)的k維聯(lián)合概率密度函數(shù)為78.3數(shù)字信號(hào)的最佳接收2023/2/1

設(shè)在一個(gè)二進(jìn)制通信系統(tǒng)中發(fā)送碼元“1”的概率為P(1)，發(fā)送碼元“0”的概率為P(0)，則總誤碼率Pe等于其中，P(0|1)和P(1|0)分別是發(fā)送符號(hào)“1”時(shí)錯(cuò)判為“0”、發(fā)送符號(hào)“0”時(shí)錯(cuò)判為“1”的條件概率或轉(zhuǎn)移概率。88.3數(shù)字信號(hào)的最佳接收(續(xù))2023/2/1

兩個(gè)錯(cuò)誤轉(zhuǎn)移概率分別為總的誤碼率為

為了求出Pe最小值時(shí)的判決分界點(diǎn)r0，將上式對(duì)r0求導(dǎo)可得98.3數(shù)字信號(hào)的最佳接收(續(xù))2023/2/1

令上式等于0，可以求出最佳分界點(diǎn)r0，即

當(dāng)先驗(yàn)概率相等，即P(1)=P(0)時(shí)，f0(r0)=f1(r0)，所以最佳分界點(diǎn)r0位于圖8-1中兩條曲線交點(diǎn)處對(duì)應(yīng)的r0。

判決準(zhǔn)則還可以表示為：若

，則判為“0”；反之，若

，則判為“1”。108.3數(shù)字信號(hào)的最佳接收(續(xù))2023/2/1

如果發(fā)送“0”和發(fā)送“1”的先驗(yàn)概率相等時(shí)，上述判決準(zhǔn)則還可以簡(jiǎn)化為：若f0(r)>f1(r)，則判為符號(hào)“0”；反之，若f0(r)<f1(r)，則判為符號(hào)“1”。這個(gè)判決準(zhǔn)則常稱為最大似然準(zhǔn)則。

在一個(gè)M進(jìn)制數(shù)字通信系統(tǒng)中，可能的發(fā)送符號(hào)是X1，X2，…，Xi，…，XM之一。當(dāng)發(fā)送符號(hào)Xi時(shí)，接收電壓的k

維聯(lián)合概率密度函數(shù)為

如果符號(hào)的先驗(yàn)概率相等，能量相等，則當(dāng)fi(r)>fj(r)，其中，j=1,2,3,M，且j≠i，則判為符號(hào)Xi。118.4確知數(shù)字信號(hào)的最佳接收機(jī)2023/2/1

接收到的兩種波形s1(t)和s0(t)是確知的，設(shè)它們的持續(xù)時(shí)間為Ts，且功率相同，高斯白噪聲的平均功率和單邊功率譜密度分別為σ2和n0。當(dāng)發(fā)送碼元為“0”時(shí)，波形為s0(t)，接收電壓r(t)的k維概率密度為

當(dāng)發(fā)送碼元為“1”時(shí)，波形為s1(t)，接收電壓r(t)的k維概率密度為128.4確知數(shù)字信號(hào)的最佳接收機(jī)(續(xù))2023/2/1

如果則判決接收到的波形為s0(t)，發(fā)送符號(hào)為“0”；如果則判決接收到的波形為s1(t)，發(fā)送符號(hào)為“1”。

將上兩式的兩端分別取對(duì)數(shù)，判決準(zhǔn)則可以表示為：如果則判決接收到的波形為s0(t)，發(fā)送符號(hào)為“0”；如果138.4確知數(shù)字信號(hào)的最佳接收機(jī)(續(xù))2023/2/1

由于事先假設(shè)了兩種符號(hào)的功率相等，即則判決接收到的波形為s1(t)，發(fā)送符號(hào)為“1”。判決準(zhǔn)則可以進(jìn)一步簡(jiǎn)化為：如果則判決接收到的波形為s0(t)，發(fā)送符號(hào)為“0”；如果則判決接收到的波形為s1(t)，發(fā)送符號(hào)為“1”。148.4確知數(shù)字信號(hào)的最佳接收機(jī)(續(xù))2023/2/1158.5確知數(shù)字信號(hào)的最佳接收機(jī)的誤碼率2023/2/1

直接計(jì)算它們是非常不易的，現(xiàn)在用間接的方法計(jì)算錯(cuò)誤轉(zhuǎn)移概率P(0|1)和P(1|0)。

概率P(1|0)就是使不等式(8-14)成立的概率，即

把r(t)=s0(t)+n(t)帶入上式，可得168.5確知數(shù)字信號(hào)的最佳接收機(jī)的誤碼率（續(xù)）2023/2/1

如果用一個(gè)隨機(jī)過(guò)程ξ代表上不等式的左邊，用參數(shù)a代表上不等式的右邊，則上不等式可以表示為

ξ<a

隨機(jī)過(guò)程ξ的數(shù)學(xué)期望和方差分別為178.5確知數(shù)字信號(hào)的最佳接收機(jī)的誤碼率（續(xù)）2023/2/1

高斯隨機(jī)過(guò)程ξ在任一時(shí)刻上的取值是一個(gè)正態(tài)分布的隨機(jī)變量，其一維概率密度為188.5確知數(shù)字信號(hào)的最佳接收機(jī)的誤碼率（續(xù)）2023/2/1

不等式ξ<a成立的概率為概率P(1|0)可以表示為198.5確知數(shù)字信號(hào)的最佳接收機(jī)的誤碼率（續(xù)）2023/2/1

概率P(0|1)可以表示為總的誤碼率為208.5確知數(shù)字信號(hào)的最佳接收機(jī)的誤碼率（續(xù)）2023/2/1

當(dāng)P(0)=0.5，P(1)=0.5時(shí)，總誤碼率為

就先驗(yàn)概率相等的情況，討論兩種接收波形s0(t)和s1(t)對(duì)誤碼率的影響。它們的相關(guān)系數(shù)可以表示為218.5確知數(shù)字信號(hào)的最佳接收機(jī)的誤碼率（續(xù)）2023/2/1其中，接收信號(hào)的碼元能量

，

。當(dāng)s0(t)=s1(t)時(shí)，＝1，為最大值；當(dāng)s0(t)=-s1(t)時(shí)，

＝－1，為最小值。所以，

的取值范圍在-1

+1。

當(dāng)接收信號(hào)的兩碼元能量相等時(shí)，令E0=E1=Eb，則相關(guān)系數(shù)可以表示為228.5確知數(shù)字信號(hào)的最佳接收機(jī)的誤碼率（續(xù)）2023/2/1

誤碼率可以表示為

令

，則

誤碼率又可以表示為238.5確知數(shù)字信號(hào)的最佳接收機(jī)的誤碼率（續(xù)）2023/2/1

誤碼率又可以表示為

對(duì)于2PSK信號(hào)，相關(guān)系數(shù)

＝-1；對(duì)于2FSK信號(hào)，等于或近似等于0；對(duì)于2ASK信號(hào)，s0(t)=0，計(jì)算誤碼率時(shí)，需要首先計(jì)算參數(shù)α248.5確知數(shù)字信號(hào)的最佳接收機(jī)的誤碼率（續(xù)）2023/2/1

再計(jì)算誤碼率:258.6

數(shù)字通信系統(tǒng)的匹配濾波接收法2023/2/1

用線性濾波器對(duì)接收信號(hào)濾波，使抽樣時(shí)刻上輸出信號(hào)的信噪比最大，此線性濾波器被稱為匹配濾波器。

線性接收濾波器的輸出y(t)為

輸出噪聲no(t)的平均功率No為

在抽樣時(shí)刻t0，輸出信號(hào)瞬時(shí)功率與噪聲平均功率之比r0為268.6

數(shù)字通信系統(tǒng)的匹配濾波接收法（續(xù)）2023/2/1

利用施瓦茲不等式，可以求出r0的最大值，即最大輸出信噪比為

上式等號(hào)成立的條件是

上式表明，最佳接收濾波器傳輸函數(shù)H(f)與接收信號(hào)的頻譜函數(shù)S(f)有關(guān)，它正比于S(f)的復(fù)共軛乘以一個(gè)移相因子，此濾波器被稱為匹配濾波器。278.6

數(shù)字通信系統(tǒng)的匹配濾波接收法（續(xù)）2023/2/1

匹配濾波器的沖激響應(yīng)函數(shù)h(t)為

由上式可見，匹配濾波器的沖激響應(yīng)h(t)就是信號(hào)s(t)的鏡像s(-t)在時(shí)間軸上向右平移t0，如圖8-3所示。288.6

數(shù)字通信系統(tǒng)的匹配濾波接收法（續(xù)）2023/2/1298.6

數(shù)字通信系統(tǒng)的匹配濾波接收法（續(xù)）2023/2/1

物理可實(shí)現(xiàn)的匹配濾波器的單位沖激響應(yīng)h(t)必須符合因果關(guān)系，在輸入沖激脈沖加入前不應(yīng)該有沖激響應(yīng)出現(xiàn)，即當(dāng)t<0時(shí)，h(t)=0。因此，濾波器輸入信號(hào)為s(t)必須滿足條件

接收濾波器輸入端的信號(hào)s(t)在抽樣時(shí)刻t0之后必須為零。一般不希望在碼元結(jié)束之后很久才抽樣，故通常選擇在