MonteCarlosimulation劉深泉教授華南理工大學(xué)理學(xué)院蒙特卡羅方法引言(introduction)均勻隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生(Randomnumbergeneration)任意分布的隨機(jī)變量的抽樣MonteCarlo積分法常用MonteCarlo模擬軟件的使用隨機(jī)數(shù)的定義和特性什么是隨機(jī)數(shù)？單個(gè)的數(shù)字不是隨機(jī)數(shù)是指一個(gè)數(shù)列，其中的每一個(gè)體稱為隨機(jī)數(shù)，其值與數(shù)列中的其它數(shù)無關(guān)；在一個(gè)均勻分布的隨機(jī)數(shù)中，每一個(gè)體出現(xiàn)的概率是均等的；例如：在[0,1]區(qū)間上均勻分布的隨機(jī)數(shù)序列中，0.00001與0.5出現(xiàn)的機(jī)會(huì)均等均勻分布隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生

線性乘同余方法（LinearCongruentialMethod)線性乘同余方法

（LinearCongruentialMethod)mod:取模運(yùn)算：(aIn+c)除以m后的余數(shù)實(shí)型隨機(jī)數(shù)序列：1948年由Lehmer提出的一種產(chǎn)生偽隨機(jī)數(shù)的方法，是最常用的方法。1、遞推公式：其中：I0：初始值（種子seed)a：乘法器（multiplier)c：增值（additiveconstant)m：模數(shù)（modulus)mod：取模運(yùn)算：(aIn+c)除以m后的余數(shù)a,c和m皆為整數(shù)

產(chǎn)生整型的隨機(jī)數(shù)序列,隨機(jī)性來源于取模運(yùn)算如果c=0乘同余法：速度更快，也可產(chǎn)生長的隨機(jī)數(shù)序列2、實(shí)型隨機(jī)數(shù)序列：3、特點(diǎn)：1）最大容量為m：2）獨(dú)立性和均勻性取決于參數(shù)a和c的選擇例：a=c=I0=7,m=107,6,9,0,7,6,9,0,…4、模數(shù)m的選擇：m

應(yīng)盡可能地大，因?yàn)樾蛄械闹芷诓豢赡艽笥趍;通常將m取為計(jì)算機(jī)所能表示的最大的整型量，在32位計(jì)算機(jī)上，m=231=2x1095、乘數(shù)因子a的選擇：1961年，M.Greenberger證明：用線性乘同余方法產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)序列具有周期m的條件是：c和m為互質(zhì)數(shù)；a-1是質(zhì)數(shù)p的倍數(shù)，其中p是a-1和m的共約數(shù)；如果m是4的倍數(shù)，a-1也是4的倍數(shù)。例：a=5,c=1,m=16,I0=1周期=m=161,6,15,12,13,2,11,8,9,14,7,4,5,10,3,0,1,6,15,12,13,2,..如果取a=69069,將極大地改善結(jié)果隨機(jī)數(shù)產(chǎn)生的方法1，平方去中法A=3281得到偽隨機(jī)數(shù)序列-位數(shù)不夠必要時(shí)補(bǔ)零經(jīng)過線性變化得到區(qū)間[a，b]上的均勻隨機(jī)數(shù)2，一般分布，利用反函數(shù)法，經(jīng)過變換3，中心極限定理－均勻分布＋獨(dú)立同分布得到正態(tài)分布面積的計(jì)算體積的計(jì)算復(fù)雜積分的計(jì)算方程組的解。。。更復(fù)雜的問題－－隨機(jī)噪聲的模擬圓周率的下面一位是什么，無理數(shù)。。。面積的計(jì)算f(x)x辛普遜方法I=ΣSn蒙特-卡洛方法f(x)x在長方形中均勻投N0組(x,y)如y<f(x),則N=N+1I=(N/N0)×S0SS0（朱P.29[12],39[13]）11設(shè)f(x)是[0，1]上的連續(xù)函數(shù)，且0f(x)1。需要計(jì)算的積分為,積分I等于圖中的面積G。在圖所示單位正方形內(nèi)均勻地作投點(diǎn)試驗(yàn)，則隨機(jī)點(diǎn)落在曲線下面的概率為假設(shè)向單位正方形內(nèi)隨機(jī)地投入n個(gè)點(diǎn)(xi,yi)。如果有m個(gè)點(diǎn)落入G內(nèi)，則隨機(jī)點(diǎn)落入G內(nèi)的概率圓周率的值π=3.

14159265358979323846264338327950288419716939937510

58209749445923078164062862089986280348253421170679

82148086513282306647093844609550582231725359408128

48111745028410270193852110555964462294895493038196

44288109756659334461284756482337867831652712019091

45648566923460348610454326648213393607260249141273

72458700660631558817488152092096282925409171536436

78925903600113305305488204665213841469519415116094

33057270365759591953092186117381932611793105118548

07446237996274956735188575272489122793818301194912

98336733624406566430860213949463952247371907021798

60943702770539217176293176752384674818467669405132

00056812714526356082778577134275778960917363717872

14684409012249534301465495853710507922796892589235

420199561121290219608640344181598136297747713.....

MATLAB提供的rand和randn可分別產(chǎn)生均勻分布和正態(tài)分布的隨機(jī)數(shù)。（1）產(chǎn)生[0，1]之間均勻分布的隨機(jī)向量R(100×1)，