3.1回歸分析的基本思想及其初步應用（一）高二數(shù)學選修2-32023/2/1數(shù)學３——統(tǒng)計內(nèi)容畫散點圖了解最小二乘法的思想求回歸直線方程

y＝bx＋a用回歸直線方程解決應用問題2023/2/1問題1：正方形的面積y與正方形的邊長x之間的函數(shù)關系是y=x2確定性關系問題2：某水田水稻產(chǎn)量y與施肥量x之間是否有一個確定性的關系？復習變量之間的兩種關系自變量取值一定時，因變量的取值帶有一定隨機性的兩個變量之間的關系叫做相關關系。2023/2/1

現(xiàn)實生活中存在著大量的相關關系。

如：人的身高與年齡；產(chǎn)品的成本與生產(chǎn)數(shù)量；商品的銷售額與廣告費；家庭的支出與收入。等等探索：水稻產(chǎn)量y與施肥量x之間大致有何規(guī)律？2023/2/11020304050500450400350300·······發(fā)現(xiàn)：圖中各點，大致分布在某條直線附近。探索2：在這些點附近可畫直線不止一條，哪條直線最能代表x與y之間的關系呢？xy散點圖施化肥量水稻產(chǎn)量施化肥量x15202530354045水稻產(chǎn)量y3303453654054454504552023/2/1稱為樣本點的中心，線性回歸直線一定過樣本中心。2、對兩個變量進行的線性分析叫做線性回歸分析。1、所求直線方程叫做回歸直線方程；相應的直線叫做回歸直線。2023/2/1求回歸直線方程的步驟：（3）代入公式（4）寫出直線方程為,即為所求的回歸直線方程。2023/2/1例1、觀察兩相關量得如下數(shù)據(jù):x-1-2-3-4-553421y-9-7-5-3-115379求兩變量間的回歸方程.解：列表：i12345678910xi-1-2-3-4-553421yi-9-7-5-3-115379xiyi91415125515121492023/2/1所求回歸直線方程為2023/2/1例題

從某大學中隨機選出8名女大學生，其身高和體重數(shù)據(jù)如下表：編號12345678身高165165157170175165155170體重4857505464614359

求根據(jù)一名女大學生的身高預報她的體重的回歸方程，并預報一名身高為172ｃｍ的女大學生的體重。2023/2/1分析：由于問題中要求根據(jù)身高預報體重，因此選取身高為自變量，體重為因變量．2.回歸方程：1.散點圖；2023/2/1

探究：身高為172cm的女大學生的體重一定是60.316kg嗎？如果不是，你能解析一下原因嗎？

答：身高為172cm的女大學生的體重不一定是60.316kg，但一般可以認為她的體重接近于60.316kg。2023/2/1例1從某大學中隨機選取8名女大學生，其身高和體重數(shù)據(jù)如表1-1所示。編號12345678身高/cm165165157170175165155170體重/kg4857505464614359求根據(jù)一名女大學生的身高預報她的體重的回歸方程，并預報一名身高為172cm的女大學生的體重。案例1：女大學生的身高與體重解：1、選取身高為自變量x，體重為因變量y，作散點圖：2、由散點圖知道身高和體重有比較好的線性相關關系，因此可以用線性回歸方程刻畫它們之間的關系。3、從散點圖還看到，樣本點散布在某一條直線的附近，而不是在一條直線上，所以不能用一次函數(shù)y=bx+a描述它們關系。2023/2/1在線性回歸模型(4)中，隨機誤差e的方差越小。2s由于樣本點不在同一條直線上，只是散布在某一條直線附近，所以身高與體重的關系可用線性回歸模型:y=bx+a+e,

……

(3)來表示，其中a和b為模型的未知參數(shù)，e是y與bx+a之間的誤差.通常e為隨機變量，稱為隨機誤差(randomerror),即e稱為隨機誤差.它的均值E(e)=0,方差D(e)=σ2.這樣線性回歸模型的完整表達式為：2023/2/1思考:產(chǎn)生隨機誤差項e的原因是什么？隨機誤差e的來源(可以推廣到一般）：1、忽略了其它因素的影響：影響身高y的因素不只是體重x，可能還包括遺傳基因、飲食習慣、生長環(huán)境等因素；2、用線性回歸模型近似真實模型所引起的誤差；3、身高y的觀測誤差。

以上三項誤差越小，說明我們的回歸模型的擬合效果越好。2023/2/1探究3：在線性回歸模型中，e是用bx+a預報真實值y的隨機誤差，它是一個不可觀測的量，那么怎樣研究隨機誤差呢？是真實值與估計值的差！2023/2/1思考：如何發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)中的錯誤？如何衡量模型的擬合效果？2023/2/12023/2/12023/2/12023/2/1例2、在一段時間內(nèi)，某中商品的價格x元和需求量Y件之間的一組數(shù)據(jù)為：求出Y對的回歸直線方程，并說明擬合效果的好壞。價格x1416182022需求量Y1210753解：2023/2/1例2、在一段時間內(nèi)，某中商品的價格x元和需求量Y件之間的一組數(shù)據(jù)為：求出Y對的回歸直線方程，并說明擬合效果的好壞。價格x1416182022需求量Y1210753列出殘差表為0.994因而，擬合效果較好。00.3-0.4-0.10.24.62.6-0.4-2.4-4.42023/2/1即在實際應用中應該盡量選擇R2大的回歸模型.2023/2/1案例

一只紅鈴蟲的產(chǎn)卵數(shù)y和溫度x有關。現(xiàn)收集了7組觀測數(shù)據(jù)列于表中：（1）試建立產(chǎn)卵數(shù)y與溫度x之間的回歸方程；并預測溫度為28oC時產(chǎn)卵數(shù)目。（2）你所建立的模型中溫度在多大程度上解釋了產(chǎn)卵數(shù)的變化？溫度xoC21232527293235產(chǎn)卵數(shù)y/個711212466115325非線性回歸問題2023/2/1選模型由計算器得：線性回歸方程為y=19.87x-463.73

相關指數(shù)R2=r2≈0.8642=0.7464估計參數(shù)解：選取氣溫為解釋變量x，產(chǎn)卵數(shù)為預報變量y。選變量所以，一次函數(shù)模型中溫度解釋了74.64%的產(chǎn)卵數(shù)變化。探索新知畫散點圖050100150200250300350036912151821242730333639方案1分析和預測當x=28時，y=19.87×28-463.73≈93一元線性模型假設線性回歸方程為

：2023/2/1奇怪？93>66?模型不好？2023/2/1

y=bx2+a變換y=bt+a非線性關系線性關系方案2問題１選用y=bx2+a，還是y=bx2+cx+a？問題3

產(chǎn)卵數(shù)氣溫問題2如何求a、b？合作探究

t=x2二次函數(shù)模型2023/2/1方案2解答平方變換：令t=x2，產(chǎn)卵數(shù)y和溫度x之間二次函數(shù)模型y=bx2+a就轉(zhuǎn)化為產(chǎn)卵數(shù)y和溫度的平方t之間線性回歸模型y=bt+a溫度21232527293235溫度的平方t44152962572984110241225產(chǎn)卵數(shù)y/個711212466115325作散點圖，并由計算器得：y和t之間的線性回歸方程為y=0.367t-202.543，相關指數(shù)R2=0.802將t=x2代入線性回歸方程得：

y=0.367x2-202.543當x=28時，y=0.367×282-202.54≈85，且R2=0.802，所以，二次函數(shù)模型中溫度解釋了80.2%的產(chǎn)卵數(shù)變化。t2023/2/1問題２變換y=bx+a非線性關系線性關系問題１如何選取指數(shù)函數(shù)的底?產(chǎn)卵數(shù)氣溫指數(shù)函數(shù)模型方案3合作探究對數(shù)2023/2/1方案3解答溫度xoC21232527293235z=lny1.9462.3983.0453.1784.1904.7455.784產(chǎn)卵數(shù)y/個711212466115325xz當x=28oC時，y≈44，指數(shù)回歸模型中溫度解釋了98.5%的產(chǎn)卵數(shù)的變化由計算器得：z關于x的線性回歸方程為

對數(shù)變換：在中兩邊取常用對數(shù)得令，則就轉(zhuǎn)換為z=bx+a.相關指數(shù)R2=0.982023/2/1最好的模型是哪個?產(chǎn)卵數(shù)氣溫產(chǎn)卵數(shù)氣溫線性模型二次函數(shù)模型指數(shù)函數(shù)模型2023/2/1比一比函數(shù)模型相關指數(shù)R2線性回歸模型0.7464二次函數(shù)模型0.80指數(shù)函數(shù)模型0.98最好的模型是哪個?2023/2/1回歸分析（二）則回歸方程的殘差計算公式分別為：由計算可得：x21232527293235y7112124661153250.557-0.1011.875-8.9509.230-13.38134.67547.69619.400-5.832-41.00-40.104-58.26577.968因此模型（1）的擬合效果遠遠優(yōu)于模型（2）。2023/2/1用身高預報體重時，需要注意下列問題：1、回歸方程只適用于我們所研究的樣本的總體；2、我們所建立的回歸方程一般都有時間性；3、樣本采集的范圍會影響回歸方程的適用范圍；4、不能期望回歸方程得到的預報值就是預報變量的精確值。事實上，它是預報變量的可能取值的平均值?！@些問題也適用于其他問題。涉及到統(tǒng)計的一些思想：模型適用的總體；模型的時間性；樣本的取值范圍對模型的影響；模型預報結果的正確理解。小結2023/2/1一般地，建立回歸模型的基本步驟為：（1）確定研究對象，明確哪個變量是解析變量，哪個變量是預報變量。（2）畫出確定好的解析變量和預報變量的散點圖，觀察它們之間的關系（如是否存在線性關系等）。（3）由經(jīng)驗確定回歸方程的類型（如我們觀察到數(shù)據(jù)呈線性關系，則選用線性回歸方程y=bx+a）.（4）按一定規(guī)則估計回歸方程中的參數(shù)（如最小二乘法）。（5）得出結果后分析殘差圖是否有異常（個別數(shù)據(jù)對應殘差過大，或殘差呈現(xiàn)不隨機的規(guī)律性，等等），過存在異常，則檢查數(shù)據(jù)是否有誤，或模型是否合適等。2023/2/1什么是回歸分析？

（內(nèi)容）從一組樣本數(shù)據(jù)出發(fā)，確定變量之間的數(shù)學關系式對這些關系式的可信程度進行各種統(tǒng)計檢驗，并從影響某一特定變量的諸多變量中找出哪些變量的影響顯著，哪些不顯著利用所求的關系式，根據(jù)一個或幾個變量的取值來預測或控制另