專題09法向量秒求技巧導(dǎo)圖技巧導(dǎo)圖技巧詳講技巧詳講叉乘法求解法向量掐頭去尾交叉法求法向量說明：兩種方法的實(shí)質(zhì)是一樣，都可以使用例題舉證例題舉證【例1】（2020·遼寧節(jié)選）已知平面上三點(diǎn)，，，則平面的一個(gè)法向量為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】解法一：常規(guī)法由已知，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由，可得，取，可得，，所以，平面的一個(gè)法向量為.故選：B.解法二：叉乘法由已知，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為解法三：掐頭去尾交叉法【例2】（2020·全國）已知，，，則下列向量是平面法向量的是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】解法一：常規(guī)法,設(shè)為平面的法向量，則，化簡得，∴，故選C.解法二：叉乘法解法三：掐頭去尾交叉法技巧強(qiáng)化技巧強(qiáng)化1．（2020·全國）在三棱錐中，、、兩兩垂直，，，如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則下列向量中是平面的法向量的是（）A． B．C． D．【解析】解法一：常規(guī)法，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由則，解得，．又，因此，平面的一個(gè)法向量為.故選：A.解法二：叉乘法，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為解法三：掐頭去尾交叉法，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為2．（多選）（2020·南京市第十四中學(xué)）已知6，，3，，則下列各向量中是平面是坐標(biāo)原點(diǎn)的一個(gè)法向量的是（）A． B． C．4， D．4，【答案】BD【解析】解法一：常規(guī)法設(shè)平面是坐標(biāo)原點(diǎn)的一個(gè)法向量是y，，則即得，令，解得令，解得故或，．故選：BD．解法二：叉乘法解法三：掐頭去尾交叉法3．（2020·天津市第五十五中學(xué)）如圖，長方體中，，，，，分別是，的中點(diǎn)，以為原點(diǎn)，分別以，，為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系，則平面的一個(gè)法向量是___________.【答案】，3，【解析】解法一：常規(guī)法長方體中，，，，，分別是，的中點(diǎn)，以為原點(diǎn)，分別以，，為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，0，，，4，，，2，，，4，，，2，，設(shè)平面的一個(gè)法向量是，，，則，取，得，3，，則平面的一個(gè)法向量是，3，.故答案為：，3，.解法二：叉乘法，4，，，2，，設(shè)平面的一個(gè)法向量是，，，解法三：掐頭去尾交叉法4．（2020·魚臺(tái)縣第一中學(xué)）如圖，四棱柱的底面是正方形，為底面中心，平面，.平面的法向量________.【答案】（答案不唯一）【解析】解法一：常規(guī)法是正方形，且，，，，，，，，，，故，故，∵向量是平面OCB1的法向量，，，故，，取，故，平面的法向量故答案為：（答案不唯一）5．（2020·全國）已知，，.求平面的一個(gè)法向量；【答案】平面的一個(gè)法向量為（答案不唯一）；【解析】解法一：常規(guī)法因?yàn)?，，，所以，，設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則有，所以，不妨令，則，所以平面ABC的一個(gè)法向量為；解法二：叉乘法所以，，設(shè)為平面的一個(gè)法向量，解法三：掐頭去尾交叉法（2）若存在實(shí)數(shù)，，使，即，則，解得，所以，即向量與平面平行.6．（2020·河南鄭州市·高三月考）如圖，為圓錐的頂點(diǎn)，為底面圓心，點(diǎn)，在底面圓周上，且，點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)．求證：；若圓錐的底面半徑為，高為，求直線與平面所成的角的正弦值．【答案】證明見解析；.【解析】由題意，得底面圓，點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)，，底面圓，在底面圓上，．，為正三角形，又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，，又因?yàn)?，且平面，平面，平面，平面，．解法一：常?guī)法如圖，以為原點(diǎn)，，，所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，故，，，設(shè)平面的法向量為，由，可得，令，得為平面的一個(gè)法向量，設(shè)直線與平面所成的角為，則，即直線與平面所成的角的正弦值為．解法二：叉乘法，，設(shè)平面的法向量為，解法三：掐頭去尾交叉法7．（2020·浙江衢州市）如圖，在三棱錐P—ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，D為PC中點(diǎn)，E為AD中點(diǎn)，PA＝AC＝2，BC＝1．（1）求證：AD⊥平面PBC：（2）求PE與平面ABD所成角的正弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）證明：∵平面ABC，∴又因?yàn)?，∴平面PAC，∴．∵，D為PC中點(diǎn)，∴，又∵，∴平面PBC；解法一：常規(guī)法以C為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖空間直角坐標(biāo)系，，，∴，，∴，，．設(shè)平面ABD的法向量為，則，令，則，得．設(shè)PE與平面ABD所成角為，則．解法二：叉乘法，．設(shè)平面ABD的法向量為，設(shè)PE與平面ABD所成角為，則．解法三：掐頭去尾交叉法設(shè)PE與平面ABD所成角為，則．8．（2020·河北邢臺(tái)市·邢臺(tái)一中高三月考=）已知四棱錐的底面是直角梯形，，，且，，為的中點(diǎn).求證：；求直線與平面所成角的正弦值.【答案】證明見解析；.【解析】因?yàn)椋?，又為的中點(diǎn)，所以，，連接，在中，為的中點(diǎn)，所以.因?yàn)?，所以，又，所以平?又平面，所以.解法一：常規(guī)法如圖，以為原點(diǎn)，分別以，所在直線為軸，軸，過點(diǎn)且與平行的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，.設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由，得令，可得.設(shè)直線與平面所成角為，則.即直線與平面所成角的正弦值為.解法二：叉乘法，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則.即直線與平面所成角的正弦值為.解法三：掐頭去尾交叉法，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則.即直線與平面所成角的正弦值為.9．（2020·四川瀘州市·瀘縣五中高三月考）如圖，四棱錐中，平面，底面是邊長為2的正方形，，為中點(diǎn).（1）求證：；（2）求二面角的正弦值.【答案】（1）見詳解；（2）【解析】（1）證明：∵底面是邊長為2的正方形，，為中點(diǎn)，∵，.∵平面，平面，∴.∵∴平面，∵平面，∴，∵.∴平面，∵平面，∴.（2）解法一：常規(guī)法以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立如圖空間直角坐標(biāo)系.則，，，，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，取，得.設(shè)平面的一個(gè)法向量為.則，取.得，，∴二面角的正弦值為解法二：叉乘法（法向量求解略）解法三：掐頭去尾交叉法（法向量求解略）10．（2020·河北省晉州市）如圖，棱錐P—ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，BD=.（1）求證：BD⊥平面PAC；（2）求二面角P—CD—B余弦值的大?。弧敬鸢浮浚?）證明見解析（2）【解析】（1）建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，則A（0，0，0）、D（0，2，0）、P（0，0，2）.在Rt△BAD中，AD=2，BD=，∴AB=2.∴B（2，0，0）、C（2，2，0），∴∵，即BD⊥AP，BD⊥AC，又AP∩AC=A，故BD⊥平面PAC.解法一：常規(guī)法由（1）得.設(shè)平面PCD的法向量為，則，即，∴，故平面PCD的法向量可取為,∵PA⊥平面ABCD，∴為平面ABCD的法向量.設(shè)二面角P—CD—B的大小為，依題意可得，故二面角P—CD—B余弦值的大小為.解法