第五章留數(shù)§2留數(shù)的一般理論一、定義定義如果函數(shù)f(z)在z0的鄰域D內(nèi)解析,那么根據(jù)柯西積分定理

但是,如果z0為f(z)的一個(gè)孤立奇點(diǎn),則沿在z0的某個(gè)去心鄰域0<|z-z0|<R內(nèi)包含z0的任意一條正向簡(jiǎn)單閉曲線C的積分一般就不等于零.因此f(z)=...+c-n(z-z0)-n+...+c-1(z-z0)-1

+c0+c1(z-z0)+...+cn(z-z0)n+...0<|z-z0|<R兩端沿C逐項(xiàng)積分:稱C-1為f(z)在z0的留數(shù),記作Res[f(z),z0],即

如果z0是f(z)的可去奇點(diǎn),則Res[f(z),z0]=0.如果z0是本性奇點(diǎn),則只好將其按洛朗級(jí)數(shù)展開.如果z0是極點(diǎn),則有一些對(duì)求c-1有用的規(guī)則.

求函數(shù)在孤立奇點(diǎn)z0處的留數(shù)即求它在洛朗級(jí)數(shù)中

(z-z0)-1項(xiàng)的系數(shù)c-1即可.但如果知道奇點(diǎn)的類型,對(duì)求留數(shù)可能更有利.證明由于z0是f(z)的1階極點(diǎn)，所以在z0的某個(gè)去心鄰域內(nèi)的Laurent級(jí)數(shù)展開式為故所以二.留數(shù)的計(jì)算規(guī)則

規(guī)則1

如果z0為f(z)的一階極點(diǎn),則規(guī)則2

如果z0為f(z)的m階極點(diǎn),則事實(shí)上,由于

f(z)=c-m(z-z0)-m+...+c-2(z-z0)-2+c-1(z-z0)-1+c0+c1(z-z0)+...,

(z-z0)mf(z)=c-m+c-m+1(z-z0)+...+c-1(z-z0)m-1+c0(z-z0)m+...,令兩端zz0,右端的極限是(m-1)!c-1,兩端除以(m-1)!就是Res[f(z),z0],即得規(guī)則2,當(dāng)m=1時(shí)就是規(guī)則1。例求和在孤立奇點(diǎn)處的留數(shù).

z=0是g(z)的1階極點(diǎn)，于是易知z=1和z=2都是f(z)的1階極點(diǎn)，故例求在孤立奇點(diǎn)處的留數(shù).處解析，且所以是f(z)的1階極點(diǎn)，并且顯然和都在例求在z=0處的留數(shù).可知,z=0是f(z)的3階極點(diǎn),定理一(留數(shù)定理)

設(shè)函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)除有限個(gè)孤立奇點(diǎn)z1,z2,...,zn外處處解析.C是D內(nèi)包圍諸奇點(diǎn)的一條正向簡(jiǎn)單閉曲線,則Dz1z2z3znC1C2C3CnC三、留數(shù)定理[證]把在C內(nèi)的孤立奇點(diǎn)zk(k=1,2,...,n)用互不包含的正向簡(jiǎn)單閉曲線Ck圍繞起來,則根據(jù)復(fù)合閉路定理有注意定理中的條件要滿足。例如不能應(yīng)用留數(shù)定理。由規(guī)則1,得我們也可以用規(guī)則3來求留數(shù):這比用規(guī)則1要簡(jiǎn)單些.例4

解：所以原式=定義

設(shè)函數(shù)f(z)在圓環(huán)域R<|z|<(R≥0)內(nèi)解析,即無窮遠(yuǎn)點(diǎn)為f(z)的孤立奇點(diǎn)。C為圓環(huán)域內(nèi)繞原點(diǎn)的任何一條簡(jiǎn)單閉曲線,則積分四、在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的留數(shù)理解為C的負(fù)方向。的值與C無關(guān),稱其為f(z)在點(diǎn)的留數(shù),記作f(z)在圓環(huán)域R<|z|<內(nèi)解析，則洛朗展開式為：

這就是說,f(z)在點(diǎn)的留數(shù)等于它在點(diǎn)的去心鄰域R<|z|<+內(nèi)洛朗展開式中z-1的系數(shù)相反數(shù).定理二

如果f(z)在擴(kuò)充復(fù)平面內(nèi)只有有限個(gè)孤立奇點(diǎn),那么f(z)在所有各奇點(diǎn)(包括點(diǎn))的留數(shù)總和必等于零.證：除點(diǎn)外,設(shè)f(z)的有限個(gè)奇點(diǎn)為zk(k=1,2,...,n).且C為一條繞原點(diǎn)的并將zk(k=1,2,...,n