第三章資金的時間價值與等值計算本章主要內(nèi)容資金時間價值的概念及等值的概念利息、利率及計算資金等值計算變額現(xiàn)金流量的計算本章重點（1）資金時間價值的概念、等值的概念和六個基本的復(fù)利計算公式；（2）名義利率和實際利率。本章難點（1）名義利率和實際利率（2）等差序列和等比序列現(xiàn)金流量的等值計算第一節(jié)資金的時間價值（一）資金的時間價值1、概念——資金（貨幣）在生產(chǎn)和流通過程中，隨著時間的推移而產(chǎn)生的增值。即不同時間發(fā)生的等額資金在價值上的差別。

資金的時間價值是商品經(jīng)濟(jì)中的普遍現(xiàn)象，體現(xiàn)在：

（1）貨幣增值：社會在生產(chǎn)過程中，投入的資金變?yōu)樯a(chǎn)要素進(jìn)入有效的流通領(lǐng)域后，使原有的貨幣增值。（2）承擔(dān)風(fēng)險：資金擁有者將資金存入銀行或進(jìn)行投資后，就失去了貨幣的使用權(quán)，也面臨著投資風(fēng)險，而利息、紅利等相當(dāng)于一種風(fēng)險補(bǔ)償。（3）貨幣貶值：正常經(jīng)濟(jì)社會存在通貨膨脹因素，會導(dǎo)致貨幣的貶值，只有自己今年進(jìn)入流通領(lǐng)域或再生產(chǎn)才會增值。2、資金時間價值的意義

第一，它是衡量項目經(jīng)濟(jì)效益、考核項目經(jīng)營成果的重要依據(jù)。第二，它是進(jìn)行項目籌資和投資必不可少的依據(jù)。資金時間價值的大小取決于本金的數(shù)量多少，占用時間的長短及利息率（或收益率）的高低等因素。3、資金等值計算的概念資金的時間價值表明，在不同的時間付出或得到相同的數(shù)額的資金，其經(jīng)濟(jì)價值是不相等的。按照一定利率將不同時點的資金折算至某一相同時點，就是資金的等值計算。第二節(jié)利息、利率及其計算（一）利息、利率與計息周期（1）利息（I）意義：是衡量資金時間價值的絕對尺度，是一種機(jī)會成本定義式：利息=還本付息總額-本金（I=F-P）（2）利率（i）意義：是衡量資金時間價值的相對尺度。定義式：單位時間內(nèi)利息與期初本金之比

i=（I/P）×100%（3）計息周期表示計算利息的時間單位，通常為年、季、月、周或日。第二節(jié)利息、利率及其計算（二）單利與復(fù)利

1、單利法（利不再生利）

設(shè)本金為P，存期為n年，年利率為i，求第n年末的本利和F

F=P+P·n·i=P(1+n·i)

注:在計算本利和F時，注意式中的n和i反映的周期要匹配。如i為年利率，則n應(yīng)為計息的年數(shù)；若i為月利率，則n即應(yīng)為計息的月數(shù)。

由于單利法只部分的考慮了資金的時間價值，但不徹底，所以是一種不完善的計息方法，通常只用于短期投資及投資期不超過一年的投資。第二節(jié)利息、利率及其計算（二）單利與復(fù)利

2、復(fù)利法（利滾利）

設(shè)本金為P，存期為n年，年利率為i，求第n年末的本利和F

注:復(fù)利法能夠比較充分的反映資金的時間價值，也更符合客觀實際，因此，實際中得到廣泛的應(yīng)用，在工程經(jīng)濟(jì)分析中一般都采用復(fù)利計息。例1.現(xiàn)借入1000元，年利率為8%，分別用單利法和復(fù)利法計算第四年償還的本利和為多少？一、單利法使用期/年年初款額年末利息年末本利和年末償還110001000×8%=801080210801000×8%=801160311601000×8%=801240412401000×8%=8013201320例1.現(xiàn)借入1000元，年利率為8%，分別用單利法和復(fù)利法計算第四年償還的本利和為多少？二、復(fù)利法使用期/年年初款額年末利息年末本利和年末償還110001000×8%=801080210801080×8%=86.41166.431166.41166.4×8%=93.311259.7141259.711259.71×8%=100.781360.491360.49三、名義年利率與實際利率

a.名義利率（r）

如本金1000元，年利率為12％，每年計息12次——12％為名義利率，實際相當(dāng)于月利率為1％。

年名義利率也是周期利率與每年（設(shè)定付息周期為一年）計息周期數(shù)的乘積，即：

年名義利率=計息周期利率×年計息周期數(shù)

r=i×m

例如，半年計算一次利息，半年利率為4%，1年的計息周期數(shù)為2，則年名義利率為4%×2=8%。通常稱為“年利率為8%，按半年計息”。這里的8%是年名義利率。

在技術(shù)經(jīng)濟(jì)學(xué)分析中，復(fù)利計算通常以年為計息周期，官方公布的利率一般是按一年計息一次所對應(yīng)的利率（利息與本金的比值），稱名義利率。但在實際經(jīng)濟(jì)活動中，計息周期有年、季度、月等就會出現(xiàn)不同計息周期的利率換算問題,因而就產(chǎn)生了名義利率與實際利率。三、名義利率與實際利率b、實際利率ieff

若用計息周期利率來計算利率周期利率，并將利率周期內(nèi)的利息再生因素考慮進(jìn)去，這時所得的利率周期利率稱為利率周期實際利率（又稱有效利率）。

三、名義利率與實際利率c、名義利率r與實際利率ieff

的關(guān)系若按單利計息，名義利率和實際利率是一致的；若按復(fù)利計息，則兩者不相等。

已知名義利率為r，一個利率周期內(nèi)計息m次，則單位計息周期的利率為r/m，年末本利和為在一年內(nèi)產(chǎn)生的利息為利用利率的定義，該利率周期內(nèi)的實際利率ieff為：由實際利率公式可看出，當(dāng)m=1，則，即若一年中只計息一次，付息周期與計息周期相同，這時名義利率與實際利率相等。思考：當(dāng)m＞1時？例：現(xiàn)設(shè)年名義利率r=10%，則年、半年、季、月、日的年實際利率如表：年名義利率(r)計息期年計息次數(shù)(m)計息期利率(i=r/m)年實際利率(ieff)10%年110%10%半年25%10.25%季42.5%10.38%月120.833%10.47%日3650.0274%10.52%從上表可以看出，按復(fù)利計息法，當(dāng)m=1,r=ieff

；當(dāng)m>1,r<ieff

。每年計息期m越多，ieff與r相差越大。所以，在進(jìn)行分析計算時，對名義利率一般有兩種處理方法將其換算為實際利率后，再進(jìn)行計算；直接按單位計息周期利率來計算，但計息期數(shù)要作相應(yīng)調(diào)整3、間斷計息與連續(xù)計息復(fù)利計息有間斷復(fù)利和連續(xù)復(fù)利之分。如果計息周期為一定的時間（如年、季、月）并按復(fù)利計息，稱為間斷計息。如果計息周期縮短，短到任意長的時間均可，也就是無限縮短，則稱為連續(xù)復(fù)利計息。連續(xù)復(fù)利的計算公式推導(dǎo)由上面的討論可知，對同一個年利率，計息次數(shù)越多，也就是計息周期越小，實際利率就越高。對于名義利率r，若在一年中使計息次數(shù)無限多，也就是使計息周期無限小，就可以得出連續(xù)復(fù)利的一次性支付計算公式如下：自然對數(shù)的底，其值為2.7182818例題：某地向世界銀行貸款100萬美元，年利率為10％，試用間斷計息法和連續(xù)計息法分別計算5年后的本利和。解：用間斷復(fù)利計算：

F=P(1+i)n

=100×（1+10％）5＝161.05（萬）或：F=P(F/P,i,n)=100(F/P,10%,5)=100×1.6105＝161.05（萬）用連續(xù)復(fù)利計息計算：利率：i=er-1

F=P(1+i)n=P(1+er-1)n=Pern=100×e0.1×5＝164.887（萬）

例題：假如按季計算利息，季利率5%，則年名義利率是多少？年實際利率是多少？解：名義利率=5%×4=20%；實際利率=（1+5%）4-1=21.55%第三節(jié)資金等值的計算（1）資金等值的概念指在考慮時間因素的情況下，不同時點上絕對值不等的資金可能具有相等的價值。利用等值的概念，可把一個時點的資金額換算成另一時點的等值金額，這一過程就叫資金等值計算。把將來某一時點的資金金額換算成現(xiàn)在時點的等值金額稱為“貼現(xiàn)”或“折現(xiàn)”。將來時點上的資金折現(xiàn)后的資金金額稱為“現(xiàn)值”。與現(xiàn)值等價的將來某時點的資金金額稱為“終值”。

3、資金等值的計算（復(fù)利計算）（2）幾個基本參數(shù)現(xiàn)值（P）；終值（F）；等額年金或年值（A）；利率、折現(xiàn)或貼現(xiàn)率、收益率（i）；計息期數(shù)（n）。

決定資金等值的因素：資金數(shù)額、資金發(fā)生的時刻、利率（關(guān)鍵因素）。3、資金等值的計算（復(fù)利計算）（3）資金等值計算的基本公式一次支付（整付）公式①一次性支付終值公式（已知P求F）

②一次性支付現(xiàn)值公式（已知F求P）等額分付類型③（等額）年金終值公式（已知A求F）④償債基金（等額存儲）公式（已知F求A）⑤（等額）年金現(xiàn)值公式（已知A求P）⑥資金回收（等額支付）公式（已知P求A）①一次性支付終值公式（已知P，求F）：公式：F=P(1+i)n式中(1+i)n稱為一次收付終值(期值)系數(shù)或一次收付復(fù)本利和因子，記為(F/P,i,n)。則F=P（F/P,i,n)n0

PF=?i

例題：某人借款10000元，年利率10%，復(fù)利計息。試問借款人5年末連本帶利一次償還需支付的金額是多少？解：分析：由于此題是求在5年末需支付錢數(shù)，相當(dāng)于知道了現(xiàn)值求終值，所以由公式：F=P(F/P,i,n)F=10000（F/P，10%，5），從附錄中查出系數(shù)（F/P，10%，5）=1.6105，代入式中得：F=10000×1.6105=16105②一次性支付現(xiàn)值公式（已知F，求P）：公式：P=F(1+i)-n式中(1+i)-n稱為一次收付現(xiàn)值系數(shù)，可用符號(P/F,i,n)表示。則P=F(P/F,i,n)n0

P=?Fi

例題：某人希望5年末得到10000元的資金，年利率是i=10%，復(fù)利計息，試問現(xiàn)在他必須一次性存款多少元？解：分析：由于此題是求在5年前存的錢數(shù)，相當(dāng)于知道了本利和F=10000.求本金P的值，根據(jù)公式：

P=F(P/F,i,n)=F(1+i)-n

=10000(1+10%)-5=6209元。練習(xí)1：某公司決定進(jìn)入新領(lǐng)域進(jìn)行項目開發(fā)，需向銀行貸款100萬元，年利率為12%，借期4年，4年后向銀行償付的本利和應(yīng)為多少？（157.4萬元）練習(xí)2：某用戶為孩子8年后可以得到30000元的教育基金，現(xiàn)應(yīng)存入銀行多少資金？銀行年利率為6%。（18822.3元）

3、資金等值的計算（復(fù)利計算）等額分付類型

等額系列現(xiàn)金流量是指現(xiàn)金流量序列是連續(xù)的，且數(shù)額相等。即At=A=常數(shù)（t=1,2,3…n）At表示第t期末發(fā)生的現(xiàn)金流量大小，可正可負(fù)。

在應(yīng)用等額分付公式時注意前提條件：a.等額支付現(xiàn)金流量A（年金）連續(xù)地發(fā)生在每期期末；

b.現(xiàn)值P發(fā)生在第一個A的期初，即與第一個A相差一期；

c.未來值F與最后一個A同時發(fā)生。

3、資金等值的計算（復(fù)利計算）等額分付類型基本公式

③等額年金終值公式（已知A求F）④償債基金（等額存儲）公式（已知F求A）⑤等額年金現(xiàn)值公式（已知A求P）⑥資金回收（等額支付）公式（已知P求A）③等額年金終值公式（已知A求F）由基本公式F==A[(1+i)n-1+(1+i)n-2+……(1+i)+1]=A式中被稱為年金終值系數(shù),表達(dá)式為(F/A,i,n)則F=A(F/A,i,n)

1023…………nAiF=?例題：若某人10年內(nèi)，每年年末存入銀1000元，年利率8%，復(fù)利計息，問10年末他可從銀行連本帶利取出多少錢？解：分析：由于每年存入1000元，相當(dāng)于每年支付相同數(shù)額資金，求10年末的本利和，應(yīng)用等額系列終值公式進(jìn)行計算。首先繪出現(xiàn)金流量圖：由公式F=A(F/A,i,n)可得出:F=1000(F/A,8%,10)=14486.6(元)0……123101000F=？i=8%④償債基金（等額存儲）公式（已知F求A）由于償債基金計算是等額系列終值計算的逆運(yùn)算,即是已知本利和F,求A的大小?，F(xiàn)在我們已知求本利和的公式，因此A=F，式中稱為償債基金系數(shù)，用符號（A/F，i,n)表示，即A=F(A/F，i,n)。

1023…………nA=？iF例題：某人欲在第5年年末獲得10000元，若每年存款金額相等，年利率為10%，復(fù)利計息，則每年年末需存款多少錢？解：分析，由于想在第5年末得到10000，相當(dāng)于知道本利和F=10000,求每年存款數(shù)A的大小。首先畫出現(xiàn)金流量圖：由公式A=F(A/F,i,n)=10000(A/F,10%,5)=10000*0.1638=1638(元）012345F=10000A=？i=10%⑤等額年金現(xiàn)值公式（已知A求P）由公式P=F(1+i)-n=A式中稱為等額年金現(xiàn)值系數(shù)，其表達(dá)式為（P/A,i,n)，則P=A(P/A,i,n)01234niP=？…………A例題:某人希望在以后每年年末可從銀行取回1000元，年利率為10%，復(fù)利計息，問他必須現(xiàn)在存入多少錢？解：分析：由于他每年末都要取回1000元，就相當(dāng)于等額現(xiàn)金流量，即A=1000，求現(xiàn)值P的大小，應(yīng)用等額系列現(xiàn)值公式。首先畫出現(xiàn)金流量圖：由公式P=A(P/A,i,n)=1000（P/A,10%,5)=1000*3.7908=3790.8(元）P=？A=1000012345i=10%⑥資金回收（等額支付）公式（已知P求A）

由于等額系列資金回收計算是等額系列現(xiàn)值計算的逆運(yùn)算,相當(dāng)于已知現(xiàn)值P,求出A的大小.

現(xiàn)在我們已知現(xiàn)值的公式,那么A=P,

式中稱為等額系列資金回收系數(shù),用符號(A/P,i,n)來表示,即A=P(A/P,i,n).01234niP…………A=？例題：若某人現(xiàn)在投資10000元，年回報率為8%，每年年末等額獲得收益，10年內(nèi)收回全部本利，則每年應(yīng)收回多少元？解：分析：由于是現(xiàn)在投資10000元，就是已知資金現(xiàn)值P=10000元，求每年等額回收的資金A。首先畫出現(xiàn)金流量圖：由公式：A=P(A/P,i,n)=10000(A/P,8%,10)=10000*0.1490=1490(元）P=10000……012A=？310i=8%復(fù)利公式總結(jié)一次支付類型：等額支付類型：小結(jié)：復(fù)利系數(shù)之間的關(guān)系

與互為倒數(shù)與互為倒數(shù)與互為倒數(shù)

（F/A，i，n）=（P/A，i，n）（F/P，i，n）（F/P，i，n）=（A/P，i，n）（F/A，i，n）小結(jié)※復(fù)利計算公式使用注意事項：本期末即等于下期初。0點就是第一期初，也叫零期；第一期末即等于第二期初；余類推。P是在第一計息期開始時（0期）發(fā)生；F發(fā)生在考察期期末，即n期末；各期的等額支付A，發(fā)生在各期期末；當(dāng)問題包括P和A時，系列的第一個A與P隔一期，即P發(fā)生在系列A的前一期；當(dāng)問題包括A與F時，系列的最后一個A時與F同時發(fā)生；

資金時間價值（等值）的具體應(yīng)用

[例題1]先付年金

某工程基建五年，每年年初投資100萬元，該工程投產(chǎn)后年利潤率為10%，試計算投資于期初的現(xiàn)值和第五年末的終值。

解：設(shè)投資在期初前一年初的現(xiàn)值為P-1，投資在期初的現(xiàn)值為P0，投資在第四年末的終值為F4，投資在第五年末的終值為F5。例題、

1.某人決定分別在2002年、2003年、2004年和2005年各年的1月1日分別存入5000元，按10%利率，每年復(fù)利一次，要求計算2005年12月31日的余額是多少？

[練習(xí)2]某公司計劃將一批技術(shù)改造資金存入銀行，年利率為5%，供第六、七、八共三年技術(shù)改造使用，這三年每年年初要保證提供技術(shù)改造費用2000萬元，問現(xiàn)在應(yīng)存入多少資金？`01234567200020002000P0P4圖2現(xiàn)金流量圖遞延年金—即第一次首付款不是發(fā)生在第一期期末，而是隔若干期后才發(fā)生生的等額收付系列圖2現(xiàn)金流量圖解：設(shè)現(xiàn)金存入的資金為P0，第六、七、八年初（即第五、六、七年末）的技術(shù)改造費在第四年末的現(xiàn)值為P4。

答：現(xiàn)應(yīng)存入的資金為4480.8萬元。永續(xù)年金[練習(xí)3]某地方政府一次性投入5000萬元建一條地方公路，年維護(hù)費為150萬元，折現(xiàn)率為10%，求現(xiàn)值。解析：該公路可按無限期考慮，年維護(hù)費為等額年金可利用年金現(xiàn)值公式求當(dāng)n→∞時的極限來解決。所以，現(xiàn)值P=5000+150/10%=6500（萬元）[練習(xí)1]

某公司計劃將一批技術(shù)改造資金存入銀行，年利率為5%，供第六、七、八共三年技術(shù)改造使用，這三年每年年初要保證提供技術(shù)改造費用2000萬元，問現(xiàn)在應(yīng)存入多少資金？[練習(xí)2]

貸款上大學(xué)，年利率6％，每學(xué)年初貸款10000元，4年畢業(yè)，畢業(yè)1年后開始還款，5年內(nèi)按年等額付清，每年應(yīng)付多少？[練習(xí)3]

某機(jī)構(gòu)準(zhǔn)備在某大學(xué)設(shè)立一項獎學(xué)金，假設(shè)年利率為10%，如果每年末發(fā)放一次，每次10萬元，那么發(fā)10年此機(jī)構(gòu)需要出資多少？如果每兩年發(fā)放一次，每次20萬元，那么情況又是如何？[練習(xí)4]

某公司擬租賃一間廠房，期限是10年，假設(shè)年利率是10%，出租方提出以下幾種付款方案：

（1）立即付全部款項共計20萬元；

（2）從第4年開始每年年初付款4萬元，至第10年年初結(jié)束；

（3）第1到8年每年年末支付3萬元，第9年年末支付4萬元，第10年年末支付5萬元。

要求：通過計算回答該公司應(yīng)選擇哪一種付款方案比較合算？

[不等額系列現(xiàn)金流量]

現(xiàn)有一項目，其現(xiàn)金流量為：第一年末支付1000萬元，第二年末支付1500萬元，第三年收益200萬元，第四年收益300萬元，第五年收益400萬元，第六年到第十年每年收益500萬元，第十一年收益450萬元，第十二年收益400萬元，第十三年收益350萬元，第十四年收益450萬元，設(shè)年利率為12%，求（1）現(xiàn)值；（2）終值；（3）第二年末項目的等值解：分析，第一和第二年現(xiàn)金流量為負(fù)，后面各年現(xiàn)金流量為正；第六年到第十年是等額系列現(xiàn)金流量，可先將其轉(zhuǎn)化為第十年末的終值；然后利用等值公式換算為現(xiàn)值，求出（1）；（2）和（3）可以利用（1）的結(jié)果求出先畫出現(xiàn)金流量圖：（1）首先將第六年到第十年的年值轉(zhuǎn)換為第十年末的終值，則有：

F=A(F/A,12%,5)=500*6.3528=3176.4萬元再將各年的現(xiàn)金流量轉(zhuǎn)換為現(xiàn)值，則有：

P=200(P/F,12%,3)+300(P/F,12%,4)+400(P/F,12%,5)+3176.4(P/F,12%,10)+450(P/F,12%,11)+400200(P/F,12%,12)+350(P/F,12%,13)+450(P/F,12%,14)-1000(P/F,12%,1)-1500(P/F,12%,2)=-101.584萬元（2）F=P(F/P,12%,14)=-101.584*4.8871=-496.452萬元（3）F=P(F/P,12%,2)=-101.584*1.2544=-127.427萬元43213005004002001000150045040035045005678910111213i=12%（一）計息周期等于支付周期的計算解：半年計息利率是i=12%/2=6%,n=3×2=6P=A(P/A,i,n)=100×（P/A，6%，6）

=100×4.9173=491.73

特別應(yīng)注意，對于等額系列流量，只有計息周期與收付周期一致時才能按計息期利率計算，否則只能用收付期實際利率來進(jìn)行計算。

名義利率與實際利率的計算【例題】年利率為12%，每半年計息一次，從現(xiàn)在起，連續(xù)3年，每半年作100萬元的等額支付，問與其等值的現(xiàn)值為多少？有人目前借入2000元，在今后2年中分24次償還。每次償還99.80元，復(fù)利按月計算，試求月實際利率、年名義利率和年實際利率。例：即

解：年實際利率

查表可得～月實際利率年名義利率（二）計息周期小于支付周期的計算

【例題1】

年利率為10%，每半年計息一次，從現(xiàn)在起連續(xù)3年的等額年末支付為500萬，與其等值的第0年的現(xiàn)值是多少？（二）計息期小于支付期例題2：年利率為12%，每季度計息一次計算利息，從現(xiàn)在起連續(xù)3年的等額年末借款為1000元，問與其等值的第3年年末的借款金額為多少？分析：計息期為一個月，支付期為一個季度，即3個月，計息期短于支付期。這樣，計息期末不一定有支付，所以不能直接采用利息公式計算，需要進(jìn)行修改，使之符合計息公式，修改方法有如下三種：F=?0123456789101112季度1000元1000元1000元ⅠⅡⅢ年度支付期為1年，名義利率為12％，計息4次年有效利率：

ieff=(1+r/m)m–1=(1+12％/4)4–1＝12.55％由此可得：

F=A(F/A,i,n)=A(F/A,12.55%,3)=1000×3.3923＝3392元方法一：先求出支付期的有效利率，然后在此基礎(chǔ)上進(jìn)行計算。F=1000(F/P，3%，8)+1000(F/P，3%，4)+1000=3392元方法二：把等額支付的每一個支付看作為一次支付，求出每個支付的將來值，然后把將來值加起來，這個和就是等額支付的實際結(jié)果。0123456789101112季度1000元1000元1000元ⅠⅡⅢ年度F=?方法三：取一個循環(huán)周期，使這個周期的年末支付轉(zhuǎn)變成等值的計息期末的等額支付系列。012341000元01234239239239239將年度支付轉(zhuǎn)換為計息期末支付A=F(A/F,i,n)=1000(0.2390)=239（元）r=12%,n=4,則I=12%÷4＝3％經(jīng)過轉(zhuǎn)變后，計息期和支付期完全重合，可直接利用利息公式進(jìn)行計算，并適用于后兩年。F=A(F/A,i,n)=A(F/A,3%,12)=239×14.192＝3392元F=?0123456789101112季度1000元1000元1000元ⅠⅡⅢ年度F=?ⅠⅡⅢ年度0123456789101112季度239239239239239239239239239239239（三）計息期大于支付期由于計息期內(nèi)有不同時刻的支付，通常規(guī)定存款必須存滿一個計息周期時才計利息，即在計息周期間存入的款項在該期不計算利息時，要在下一期才計算利息。因此，原財務(wù)活動的現(xiàn)金流量圖應(yīng)按以下原則進(jìn)行整理：計息期間的存款放在期末，計息期間的提款放在期初，計息期