11.關(guān)于物質(zhì)波的波函數(shù)

回顧前面關(guān)于德布羅意物質(zhì)波的概念,任何物質(zhì)粒子都具有波粒二象性。把描述微觀粒子概率波的數(shù)學(xué)函數(shù)式稱作波函數(shù)物質(zhì)波不同于經(jīng)典概念的波,不代表實(shí)在的物理量的波動(dòng)，它反映的是物質(zhì)粒子運(yùn)動(dòng)的一種統(tǒng)計(jì)規(guī)律，故也稱為概率波。一、波函數(shù)是時(shí)空函數(shù)2三維情形為：波函數(shù)形式為：由歐拉公式電場(chǎng)強(qiáng)度用E表示，光的經(jīng)典平面簡(jiǎn)諧波動(dòng)方程為在經(jīng)典物理學(xué)中我們只用了其中的實(shí)數(shù)部分。（1）光的經(jīng)典(電磁波)波函數(shù)

2.光子的波函數(shù)3Pr波面（2）光子的平面波波函數(shù)于是光子的平面波波函數(shù)為將上述各量代入：43.物質(zhì)波的波函數(shù)

對(duì)于一個(gè)不受外力作用的沿X方向運(yùn)動(dòng)的單能自由粒子

假如是在三維空間沿矢徑r方向傳播，那么這時(shí)的波函數(shù)為:波函數(shù)Ψ是復(fù)數(shù)，模的平方可表示為5

某一時(shí)刻出現(xiàn)在某點(diǎn)附近在體積元中的粒子的概率為歸一化條件(束縛態(tài))

某一時(shí)刻在整個(gè)空間內(nèi)發(fā)現(xiàn)粒子的概率為4.波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋概率密度表示在某處單位體積內(nèi)粒子出現(xiàn)的概率.正實(shí)數(shù)問:微觀粒子的波函數(shù)遵循什么樣的波動(dòng)方程呢?6

量子力學(xué)建立于1923~1927

年間，兩個(gè)等價(jià)的理論——矩陣力學(xué)和波動(dòng)力學(xué).

相對(duì)論量子力學(xué)（1928

年，狄拉克）描述高速運(yùn)動(dòng)的粒子的波動(dòng)方程.

薛定諤（ErwinSchrodinger，1887~1961）奧地利物理學(xué)家.1926年建立了以薛定諤方程為基礎(chǔ)的波動(dòng)力學(xué),并建立了量子力學(xué)的近似方法.他還對(duì)生命科學(xué)作出重大貢獻(xiàn)，他的指導(dǎo)思想是“科學(xué)一定是統(tǒng)一的、相通的.”..二、薛定諤方程71.一般的薛定諤方程

微觀粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)用波函數(shù)Ψ(x,y,z,t)描述，薛定諤認(rèn)為，這個(gè)波函數(shù)應(yīng)該是適用于微觀粒子的波動(dòng)方程的一個(gè)解。

必須是線性微分方程,即其方程的解必須能滿足疊加原理(因?yàn)槲镔|(zhì)波能夠干涉)。

必須能滿足德布羅意波公式的要求8薛定諤提出了波函數(shù)Ψ(x,y,z,t)所適用的（在非相對(duì)論）動(dòng)力學(xué)方程：（1）稱之為拉普拉斯算符（2）表示微觀粒子受到的作用勢(shì)能，它一般的是r和t的函數(shù)9（3）m

是微觀粒子的質(zhì)量引入哈密頓算符哈密頓量代表粒子的總能量(注意t

)用哈密頓表示的薛定諤方程為102.定態(tài)的薛定諤方程

如果微觀粒子受到的作用勢(shì)能不隨時(shí)間變化，亦即V=V(x,y,z)，此時(shí)系統(tǒng)的能量不隨時(shí)間變化，系統(tǒng)的這種狀態(tài)稱之為定態(tài)。定態(tài)波函數(shù)所滿足的薛定諤方程稱為定態(tài)薛定諤方程，即為式中Ｅ是粒子的總能量，又稱為能量本征值。11一維定態(tài)薛定諤方程設(shè)微觀粒子在外勢(shì)場(chǎng)中作一維運(yùn)動(dòng)，這時(shí)該方程為對(duì)于自由粒子，V＝0，在一維情況，并注意

(非相對(duì)論)123.薛定諤方程的意義薛定諤方程在量子力學(xué)中的地位與牛頓方程在經(jīng)典物理中的地位相當(dāng)。

薛定諤方程本身并不是實(shí)驗(yàn)規(guī)律的總結(jié)，也沒有什么更基本的原理可以證明它的正確性。從薛定諤方程得到的結(jié)論正確與否，需要用實(shí)驗(yàn)事實(shí)去驗(yàn)證。薛定諤方程是量子力學(xué)的一條基本假設(shè)。13

對(duì)于宏觀粒子來(lái)說(shuō),我們可以用某個(gè)時(shí)刻粒子確定的坐標(biāo)、速度、能量等來(lái)描述它在這個(gè)時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)（自然也就導(dǎo)致了軌道的出現(xiàn)）。

由于德布羅意波的存在，使我們不得不接受一個(gè)經(jīng)典概念無(wú)法理解的原理，即海森堡的測(cè)不準(zhǔn)原理，這是一個(gè)普遍原理。14

用光（或電子）單縫衍射說(shuō)明測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系考慮一級(jí)以上的條紋電子的單縫衍射實(shí)驗(yàn)一級(jí)最小衍射角

電子經(jīng)過(guò)縫后x方向動(dòng)量不確定15

海森伯于1927年提出不確定原理普朗克常數(shù)坐標(biāo)越準(zhǔn)確，動(dòng)量就越不準(zhǔn)確；動(dòng)量越準(zhǔn)確，坐標(biāo)就越不準(zhǔn)確.時(shí)間與能量的測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系16

（1）微觀粒子同一方向上的坐標(biāo)與動(dòng)量不可同時(shí)準(zhǔn)確測(cè)量,它們的精度存在一個(gè)終極的不可逾越的限制.

（2）不確定的根源是“波粒二象性”這是自然界的根本屬性.

（3）對(duì)宏觀粒子，因很小，所以可視為位置和動(dòng)量能同時(shí)準(zhǔn)確測(cè)量.物理意義17例16.12

原子的線度為，求原子中電子速度的不確定量