第五節(jié)數列的綜合應用第五節(jié)數列的綜合應用考點探究·挑戰(zhàn)高考考向瞭望·把脈高考雙基研習·面對高考雙基研習·面對高考基礎梳理1．數列與其他章節(jié)的綜合題數列綜合題，包括數列知識和指數函數、對數函數、不等式的知識綜合起來．另外，數列知識在復數、三角函數、解析幾何部分也有廣泛的應用．(1)對于等差數列：____________________________，當d≠0時，an是n的一次函數．對應的點(n，an)是位于直線上的若干個點．當d>0時，函數是增函數，對應的數列是遞增數列；同理，d＝0時，函數是常數函數，對應的數列是常數列；d<0時，函數是減函數，對應的數列是遞減數列．an＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)若等差數列的前n項和為Sn，則Sn＝pn2＋qn(p，q∈R)．當p＝0時，{an}為常數列，當p≠0時，可用二次函數的方法解決等差數列問題．(2)對于等比數列：___________.可用指數函數的性質來理解．當a1>0，q>1或a1<0,0<q<1時，等比數列是遞增數列．當a1>0,0<q<1或a1<0，q>1時，等比數列是遞減數列．當q＝1時，是一個常數列．當q<0，無法判斷數列的單調性，它是一個擺動數列．an＝a1qn－12．數列的探索性問題探索性問題是高考的熱點，常在數列解答題中出現，探索性問題對分析問題、解決問題的能力有較高的要求．3．等差數列與等比數列的綜合問題4．數列的實際應用現實生活中涉及_________、_________、_________、_________、_________、__________、_________等實際問題，常?？紤]用數列的知識來加以解決．銀行利率企業(yè)股金產品利潤人口增長工作效率圖形面積曲線長度課前熱身1.數列{an}是公差不為0的等差數列且a7、a10、a15是等比數列{bn}的連續(xù)三項，若等比數列{bn}的首項b1＝3，則b2＝________.答案：5答案：33．隨著計計算機技技術的迅迅猛發(fā)展展，電腦腦的價格格不斷降降低，若若每隔4年電腦的的價格降降低三分分之一，，則現在在價格為為8100元的電腦腦12年后的價價格可降降為________．答案：2400元4．已知等等比數列列{an}，a1＝3，且4a1、2a2、a3成等差數數列，則則a3＋a4＋a5等于________．答案：84考點探究·挑戰(zhàn)高考等差、等比數列的綜合問題考點一考點突破等差數列列與等比比數列相相結合的的綜合問問題是高高考考查查的重點點，特別別是等差差、等比比數列的的通項公公式，前前n項和公式式以及等等差中項項、等比比中項問問題是歷歷年命題題的熱點點．例1(2011年蘇州高高三調研研)已知數數列{an}滿足:a1＝1，a2＝a(a>0)．數列列{bn}滿足bn＝anan＋1(n∈N*)．(1)若{an}是等差差數列列，且且b3＝12，求a的值及及{an}的通項項公式式；(2)若{an}是等比比數列列，求求{bn}的前n項和Sn；(3)當{bn}是公比比為a－1的等比比數列列時，，{an}能否為為等比比數列列？若若能，，求出出a的值；；若不不能，，請說說明理理由．．【思路分分析】(1)由基本本量運運算可可得結結果；；(2)討論a＝1和a≠1兩種情情況；；(3)利用等等比數數列的的定義義判斷斷．【名師點點評】本題中中對字字母a分類討討論，，這也也是等等比數數列不不同于于等差差數列列的情情形．．等比比數列列含參參數往往往需需要討討論．．互動探探究1本例(3)中“公比a－1”改為“a”,則第(3)問結果果如何何？數列與函數、不等式的綜合應用考點二涉及到到函數數、方方程、、不等等式知知識的的綜合合性試試題，，在解解題過過程中中通常常用遞遞推思思想、、函數數與方方程、、歸納納與猜猜想、、等價價轉化化、分分類討討論等等數學學思想想方法法，屬屬于中中、高高檔難難度的的題目目．例2【解】(1)證明：：由an＋1＝a＋6an＋6得，an＋1＋3＝(an＋3)2，∴l(xiāng)og5(an＋1＋3)＝2log5(an＋3)，即cn＋1＝2cn.又c1＝log5(a1＋3)＝1，∴{cn}是首項項為c1＝1，公比比q＝2的等比比數列列．(2)由(1)得cn＝2n－1，即log5(an＋3)＝2n－1，∴an＋3＝，∴an＝－3.【名師點評】數列與函數數、不等式式容易結合合構成綜合合性較強的的題目，函函數的類型型、性質及及結構是解解決問題的的突破口，，其次聯系系數列知識識，化簡整整理代數式式也是解題題的關鍵．．數列中的探索問題考點三本問題中，，題目的設設置多含有有參數，又又多與存在在、不存在在等問題相相關聯，綜綜合性較強強，一般可可利用特殊殊值法或者者從特殊到到一般的處處理思想分分析、歸納納、猜想等等，從此過過程中找到到解題的入入口或線索索．例3

設等差數列{an}的前n項和為Sn，且a5＋a13＝34，S3＝9.(1)求數列{an}的通項公式及前n項和公式；(2)設數列{bn}的通項公式為

，問：是否存在正整數t，使得b1，b2，bm(m≥3，m∈N)成等差數列？若存在，求出t和m的值；若不存在，請說明理由．【思路分析】(1)按基本量運運算；(2)b1，b2，bm成等差數列列，借助等等差中項列列式計算．．【名師點評】解決存在性性問題時需需尋找滿足足的條件，，算出結果果，或在某某種條件下下進行邏輯輯推理，對對于所含的的參數，多多數題目可可以算出具具體的數值值．方法感悟方法技巧1．數列的滲滲透力很強強，它和函函數、方程程、三角、、不等式等等知識相互互聯系，優(yōu)優(yōu)化組合，，無形中加加大了綜合合力度．所所以，解決決此類題目目僅靠掌握握一點單科科知識，無無異于杯水水車薪，必必須對蘊藏藏在數列概概念和方法法中的數學學思想有所所了解．深深刻領悟它它在解題中中的重大作作用，常用用的數學思思想方法主主要有：“函數與方程程”“數形結合”“分類討論”“等價轉化”等．2．數列作為為特殊的函函數，在實實際問題中中有著廣泛泛的應用，，如增長率率、減少率率、銀行信信貸、濃度度匹配、養(yǎng)養(yǎng)老保險、、圓鋼堆壘壘等問題．．3．解答數列列綜合題和和應用題既既要有堅實實的基礎知知識又要有有良好的邏邏輯思維能能力和分析析、解決問問題的能力力；解答應應用性問題題，應充分分運用觀察察、歸納、、猜想的手手段建立有有關等差(比)數列、遞推推數列模型型、再結合合其他相關關知識來解解決問題．．失誤防范1．等差、等等比數列的的綜合題，，審題易讀讀錯題,等差讀成等等比，或等等比看成了了等差，一一字之差,謬之千里．．2．綜合問題題中，數學學式子的結結構易理解解錯，造成成解題方向向出錯．考向瞭望·把脈高考考情分析從近幾年的的江蘇高考考試題來看看，等差數數列與等比比數列交匯匯、數列與與解析幾何何、不等式式交匯是考考查的熱點點，題型以以解答題為為主，難度度偏高，主主要考查學學生分析問問題和解決決問題的能能力．預測2012年的江蘇高高考，等差差數列與等等比數列的的交匯、數數列與不等等式的交匯匯是主要考考點，重點點考查運算算能力和邏邏輯推理能能力．規(guī)范解答例(本題題滿滿分分16分)(2010年高高考考四四川川卷卷)已知知數數列列{an}滿足足a1＝0，a2＝2，且且對對任任意意m、n∈N*都有有a2m－1＋a2n－1＝2am＋n－1＋2(m－n)2.(1)求a3，a5；(2)設bn＝a2n＋1－a2n－1(n∈N*)，證證明明：：數數列列{bn}是等等差差數數列列；；(3)設cn＝(an＋1－an)qn－1(q≠0，n∈N*)，求求數數列列{cn}的前前n項和和Sn.【解】(1)由題題意意，，令令m＝2，n＝1可得得a3＝2a2－a1＋2＝6，再令令m＝3，n＝1可得得a5＝2a3－a1＋8＝20.3分(2)證明明：：當當n∈N*時，，由由已已知知(以n＋2代替替m)可得得a2n＋3＋a2n－1＝2a2n＋1＋8.5分于是是(a2(n＋1)＋1－a2(n＋1)－1)－(a2n＋1－a2n－1)＝8，即bn＋1－bn＝8.所以以數數列列{bn}是公公差差為為8的等等差差數數列列.8分【名師師點點評評】數列、解析幾幾何、不等式式是新課標高高考的重點內內容，將三者者密切結合在在一起,命制大型綜合合題是歷年高高考的熱點和和重點．數列列是特殊的函函數，以數列列為背景的不不等式證明問問題及以函數數作為背景進進行數列的構構造命題體現現了在知識交交匯點上命題題的特