一、波函數(shù)：描述具有波粒二象性粒子的運(yùn)動(dòng)函數(shù)。1）自由粒子的波函數(shù)設(shè)一自由粒子，不受外力作用，則粒子作勻速直線運(yùn)動(dòng)（設(shè)沿X軸），其動(dòng)量、能量保持恒定。恒定！恒定！從波動(dòng)觀點(diǎn)看來：這種波只能是單色平面波X從不確定關(guān)系來研究：沿整個(gè)X軸傳播波列長為長。結(jié)論：自由粒子的DeBr?glie波是單色平面波其波函數(shù)為：依德布羅意關(guān)系式其波函數(shù)為：常寫成復(fù)數(shù)：r當(dāng)粒子沿著方向傳播時(shí)：ZXY其中：注意：波函數(shù)一般要用復(fù)數(shù)表示！P—三維自由粒子的波函數(shù)二.波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋：概率波（1926年）單電子雙縫實(shí)驗(yàn)玻恩獲得1954年諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)7個(gè)電子在觀察屏上的圖像100個(gè)電子在屏上的圖像屏上出現(xiàn)的電子說明電子的粒子性。單個(gè)電子的去向是概率性的，但隨著電子數(shù)目的增多顯示出統(tǒng)計(jì)規(guī)律性。結(jié)論：干涉實(shí)驗(yàn)所揭示的電子的波動(dòng)性是一個(gè)電子在許多次相同實(shí)驗(yàn)中的統(tǒng)計(jì)結(jié)果，或者是許多電子在同一個(gè)實(shí)驗(yàn)中的統(tǒng)計(jì)結(jié)果。正比于該點(diǎn)附近感光點(diǎn)的數(shù)目

正比于該點(diǎn)附近出現(xiàn)的電子數(shù)目正比于單個(gè)電子出現(xiàn)在點(diǎn)附近的概率

點(diǎn)附近干涉圖樣的強(qiáng)度物質(zhì)波的強(qiáng)度大光強(qiáng)度大光波振幅平方大光子在該處出現(xiàn)的概率大（微粒觀點(diǎn)）波函數(shù)振幅平方大單個(gè)粒子在該處出現(xiàn)的概率大（波動(dòng)觀點(diǎn)）（微粒觀點(diǎn)）類比光的干涉實(shí)驗(yàn)（波動(dòng)觀點(diǎn)）光子在某處出現(xiàn)的概率和該處光振幅的平方成正比粒子在某處出現(xiàn)的概率和該處波函數(shù)振幅的平方成正比

概率幅模的平方2概率密度概率幅波函數(shù)是描述粒子在空間概率分布的“概率振幅”

代表t時(shí)刻在處單位體積中發(fā)現(xiàn)一個(gè)粒子的概率t

時(shí)刻在附近dV內(nèi)發(fā)現(xiàn)粒子的概率為：結(jié)論（一）波函數(shù)所描述的是處于相同條件下，大量粒子的一次行為和一個(gè)粒子多次性重復(fù)行為。

微觀粒子遵循的是統(tǒng)計(jì)規(guī)律，而不是經(jīng)典的決定性規(guī)律。牛頓說：只要給出了初始條件，下一時(shí)刻粒子的軌跡是已知的，決定性的。量子力學(xué)說：波函數(shù)不給出粒子在什么時(shí)刻一定到達(dá)某點(diǎn)，只給出到達(dá)各點(diǎn)的統(tǒng)計(jì)分布；即只知道||2大的地方粒子出現(xiàn)的可能性大，||2小的地方幾率小。一個(gè)粒子下一時(shí)刻出現(xiàn)在什么地方，走什么路徑是不知道的（非決定性的）3

在已知給定條件下，不可能精確地預(yù)知結(jié)果，只能預(yù)言某些可能的結(jié)果的概率.

只開上縫時(shí)電子通過上縫的概率

只開下縫時(shí)電子通過下縫的概率三.用電子雙縫干涉實(shí)驗(yàn)說明概率波的含義雙縫齊開時(shí)雙縫齊開時(shí)總概率幅總概率密度干涉項(xiàng)干涉是由于概率幅的線性疊加產(chǎn)生的結(jié)論？物理學(xué)家問:滑雪者究竟是從哪條路過去的呢?結(jié)論2微觀粒子的波動(dòng)性實(shí)質(zhì)上就是概率幅的相干疊加性3即使只有一個(gè)電子當(dāng)雙縫齊開時(shí)它的狀態(tài)也要用來描述4如果實(shí)驗(yàn)?zāi)艽_定通過了哪個(gè)縫，則干涉消失。少女？老婦？兩種圖象不會(huì)同時(shí)出現(xiàn)在你的視覺中。(1)波動(dòng)性“可疊加性”:有“干涉”“衍射現(xiàn)象不是經(jīng)典的波不代表實(shí)在物理量的波動(dòng)(2)粒子性

整體性

不是經(jīng)典的粒子沒有“軌道”概念微觀粒子的波粒二象性四、波函數(shù)的性質(zhì)1）波函數(shù)具有有限性在空間是有限函數(shù)2）波函數(shù)是連續(xù)的3）波函數(shù)是單值的粒子在空間出現(xiàn)的幾率只可能是一個(gè)值4）滿足歸一化條件（歸一化條件）因?yàn)榱Ｗ釉谌臻g出現(xiàn)是必然事件（Narmulisation）五、Schr?ding方程設(shè)有一作勻速直線運(yùn)動(dòng)的自由粒子沿X軸運(yùn)動(dòng)。(1)適用條件v<<c，低速微觀粒子（2）自由粒子的schroding方程1）一維自由粒子的schroding方程,其波函數(shù)為：（1）式對(duì)t求導(dǎo)：（1）式對(duì)x求二階偏導(dǎo)數(shù)：自由粒子非相對(duì)論條件下總動(dòng)能：（4）、（5）式比較：自由粒子一維含時(shí)薛定諤方程2）勢(shì)場(chǎng)中的薛定諤方程若粒子處在勢(shì)場(chǎng)中，勢(shì)能為U（x、t），總能量：將（5）式看成一般情況下的特例：由（4）式：勢(shì)場(chǎng)中的一維含時(shí)薛定諤方程勢(shì)場(chǎng)中的一維含時(shí)薛定諤方程若為三維粒子，薛定諤方程為：引入拉普拉斯算符三維含時(shí)薛定諤方程：3）定態(tài)薛定諤方程（重點(diǎn)）定態(tài)，勢(shì)函數(shù)不顯含時(shí)間，其幾率分布也不隨時(shí)間變化。等式左邊是t的函數(shù)，右邊是坐標(biāo)的函數(shù)，但兩邊又相等，故等式左右兩邊均應(yīng)與x、y、z、t無關(guān)，現(xiàn)記為E。則：其解：指數(shù)應(yīng)是無量綱的數(shù)，的單位是“焦?fàn)柮搿?，故E的單位只能是能量，實(shí)際上是粒子總能量E。定態(tài)薛定諤方程若定態(tài)薛定諤方程已解出為：則粒子的波函數(shù)：注意：1）定態(tài)波函數(shù)為一空間坐標(biāo)函數(shù)

與一時(shí)間函數(shù)的乘積。2）對(duì)于定態(tài)，除能量E有確定值外，其幾率分布也不隨時(shí)間變化。六、薛定諤方程應(yīng)用舉例1）一維勢(shì)阱對(duì)此我們提出一個(gè)理想模型，粒子限制在一個(gè)具有理想反射壁的方匣中，方匣中粒子可自由運(yùn)動(dòng)但在匣壁處受到強(qiáng)烈的反射，越出需無限大能量0aU此稱無限深勢(shì)阱若是經(jīng)典粒子，粒子如何運(yùn)動(dòng)？mE許多情況，粒子束縛在一個(gè)很小空間（束縛態(tài)）。+++mE量子力學(xué)對(duì)粒子的分析：粒子滿足一維定態(tài)薛定諤方程：粒子無法越過勢(shì)阱故只須考慮0<x<a區(qū)間的波函數(shù)：令：0aUmEmE其解的形式：由邊界條件：B=0故波函數(shù):波函數(shù):由歸一化條件:代入(10)(11)式:(定態(tài)波函數(shù))能量公式：粒子出現(xiàn)的幾率密度：2）粒子在空間不同的地方出現(xiàn)的幾率是不同的。結(jié)論：1）能量是量子化的，且無0值。能量最小值：波粒二象性的必然結(jié)果！E1