第11

章電勢§11.1靜電場的保守性§11.2電勢差和電勢§11.3電勢疊加原理§11.4等勢面§11.5

電勢梯度§11.6

電荷在外電場中的靜電勢能§11.8靜電場的能量一.靜電場是保守場

§11.1

靜電場的保守性1.點(diǎn)電荷的靜電場：

點(diǎn)電荷q固定于原點(diǎn)O，試探電荷q0在q的電場中由a點(diǎn)沿任意路徑到達(dá)b點(diǎn)，取微元dl，電場力對q0的元功為在靜止的點(diǎn)電荷電場中，移動單位正電荷時(shí)，電場力做的功只與試探電荷始末位置有關(guān)，而與運(yùn)動路徑無關(guān)。2.任意電荷系的靜電場：

任何靜電場中，電場力作功只與試探電荷的始末位置有關(guān)，而與運(yùn)動路徑無關(guān)，即靜電力是保守力，靜電場為保守場。

任意帶電體都可以看成由許多點(diǎn)電荷組成的點(diǎn)電荷系，根據(jù)疊加原理可知，點(diǎn)電荷系的場強(qiáng)為各點(diǎn)電荷場強(qiáng)的疊加任意點(diǎn)電荷系電場中，移動單位電荷時(shí)電場力所作的功為：二.靜電場的環(huán)路定理（靜電場是保守場表述二）

P1P2L1L2在靜電場中，場強(qiáng)沿任意閉合路徑的線積分為零－－靜電場的環(huán)路定理。在靜電場中，將試探電荷沿閉合路徑移到一周時(shí)，考慮場強(qiáng)沿閉合路徑的線積分：電場力作功與路徑無關(guān)§11.2

電勢差和電勢一.電勢差

（任意路徑）

靜電場中P1、P2兩點(diǎn)的電勢差，等于將單位正電荷從P1

點(diǎn)移至

P2點(diǎn)電場力所作的功。二.電勢

靜電場中P

點(diǎn)的電勢，在數(shù)值上等于單位正電荷自P點(diǎn)沿任意路徑移到電勢零點(diǎn)，電場力所做的功。當(dāng)電荷要分布在有限區(qū)域時(shí)，選擇無窮遠(yuǎn)處為電勢零點(diǎn)，則電勢是標(biāo)量，有正有負(fù)；電勢的單位：伏特1V=1J.C-1；電勢具有相對意義，它決定于電勢零點(diǎn)的選擇。在理論計(jì)算中，通常選擇無窮遠(yuǎn)處的電勢為零；在實(shí)際工作中，通常選擇地面的電勢為零。但是對于“無限大”或“無限長”的帶電體，只能在有限的范圍內(nèi)選取某點(diǎn)為電勢的零點(diǎn)。例：求與靜止的點(diǎn)電荷q的距離為r處的電勢正電荷的電勢為正，離電荷越遠(yuǎn)，電勢越低；負(fù)電荷的電勢為負(fù)，離電荷越遠(yuǎn)，電勢越高。例11.1求均勻帶電球面的電場中的電勢分布。球面半徑為R

，帶電量為q(設(shè)q>0)。解：（1）球面外某點(diǎn)的電勢Rr以無限遠(yuǎn)為電勢零點(diǎn)。Rr（2）求球面內(nèi)一點(diǎn)的電勢rR例11.2

求無限長均勻帶電直線的電場中的電勢分布。已知線電荷密度為。解：無限長均勻帶電直線周圍的場強(qiáng)以距帶電直線為r0的P0點(diǎn)為電勢零點(diǎn)。P0P’rPr0距帶電直線為r的P點(diǎn)的電勢為P0P’rPr0式中C為與電勢零點(diǎn)的位置有關(guān)的常數(shù)?！?1.3

電勢疊加原理一.電勢疊加原理

一個(gè)點(diǎn)電荷系的電場中某一點(diǎn)的電勢，等于各點(diǎn)電荷單獨(dú)存在時(shí)在該點(diǎn)所產(chǎn)生的電勢的代數(shù)和——靜電場的電勢疊加原理。（電勢疊加原理）二.電勢的計(jì)算

1、運(yùn)用點(diǎn)電荷電勢公式和電勢疊加原理計(jì)算電勢點(diǎn)電荷的電勢：qP電荷連續(xù)分布的帶電體的電勢點(diǎn)電荷系的電勢dqP例11.3

求電偶極子的電場中的電勢分布。已知電偶極子中兩點(diǎn)電荷-q，+q間的距離為l。解：以無限遠(yuǎn)為電勢零點(diǎn)。PrO-qqlr-r+r--r+當(dāng)r>>l時(shí)，例11.4

一半徑為R的均勻帶電細(xì)圓環(huán)，所帶總電量為q

，求在圓環(huán)軸線上任意點(diǎn)P

的電勢。PxxRr解：以無限遠(yuǎn)為電勢零點(diǎn)。Ox補(bǔ)例：均勻帶電圓板，半徑為R，電荷面密度為。求軸線上任一點(diǎn)P

的電勢。解：xPxdrrR當(dāng)x>>R時(shí)把圓盤當(dāng)作一個(gè)點(diǎn)電荷2、運(yùn)用高斯定理和電勢的定義計(jì)算電勢：2）通過電場強(qiáng)度的積分計(jì)算電勢：1）運(yùn)用高斯定律確定電場的分布：補(bǔ)例：半徑為

R

的均勻帶電球體，帶電量為q，求電勢分布。解：qRPrPqRPrP1、等勢面的概念靜電場中，電勢相等的點(diǎn)所組成的曲面：

常用一組等勢面描述靜電場，并規(guī)定相鄰兩等勢面之間的電勢差相等。2、等勢面與電場線的關(guān)系1)等勢面與電場線處處正交；3)電場線指向電勢降低的方向；§11.4

等勢面2)兩等勢面相距較近處場強(qiáng)數(shù)值大，相距較遠(yuǎn)處場強(qiáng)數(shù)值小?！?2.3

電勢疊加原理點(diǎn)電荷的電場線與等勢面+電偶極子的電場線與等勢面§12.3

電勢疊加原理+++++++++平行板電容器的電場線與等勢面§12.3

電勢疊加原理點(diǎn)電荷的等勢面++++++對于導(dǎo)體內(nèi)部的任何兩點(diǎn)A和B對于導(dǎo)體表面上的兩點(diǎn)A和B導(dǎo)體的電勢解:

兩個(gè)導(dǎo)體所組成的整體可看成是一個(gè)孤立導(dǎo)體系，在靜電平衡時(shí)有一定的電勢值。設(shè)這兩個(gè)球相距很遠(yuǎn)，使每個(gè)球面上的電荷分布在另一球所激發(fā)的電場可忽略不計(jì)。細(xì)線的作用是使兩球保持等電勢。因此，每個(gè)球又可近似的看作為孤立導(dǎo)體，在兩球表面上的電荷分布各自都是均勻的。設(shè)大球所帶電荷量為Q，小球所帶電荷量為q，則兩球的電勢為Q

導(dǎo)體上的電荷分布孤立導(dǎo)體是指其它導(dǎo)體或帶電體都離它足夠遠(yuǎn)，以至于其它導(dǎo)體或帶電體對它的影響可以忽略不計(jì)。例11.6兩個(gè)半徑分別為R和r

的球形導(dǎo)體（R>r），用一根很長的細(xì)導(dǎo)線連接起來（如圖），使這個(gè)導(dǎo)體組帶電，電勢為V，求兩球表面電荷面密度與曲率的關(guān)系。設(shè)導(dǎo)線足夠長而兩球相隔足夠遠(yuǎn)。Q

導(dǎo)體上的電荷分布可見大球所帶電量Q比小球所帶電量q多。兩球的電荷密度分別為

可見電荷面密度和半徑成反比，即曲率半徑愈小（或曲率愈大），電荷面密度愈大。

導(dǎo)體上的電荷分布例11.7一個(gè)金屬球A，半徑為R1。它的外面套一個(gè)同心的金屬球殼B，其內(nèi)外半徑分別為R2和R3。二者帶電后電勢分別為和。求此系統(tǒng)的電荷及電場的分布。如果用導(dǎo)線將球和殼連接起來，結(jié)果又將如何？q1q3q2解:聯(lián)立解得:q1q3q2如果用導(dǎo)線將球和殼連接起來。q1q3q2§11.5

電勢梯度一.電勢梯度

P1P2

電場中某一點(diǎn)的場強(qiáng)沿任一方向的分量等于這一點(diǎn)的電勢沿該方向的空間變化率的負(fù)值。定義電勢梯度：

電勢梯度的大小等于電勢在該點(diǎn)最大空間變化率；方向沿等勢面法向，指向電勢增加最快的方向。直角坐標(biāo)系：求的三種方法利用電場強(qiáng)度疊加原理利用高斯定理利用電勢與電場強(qiáng)度的關(guān)系電勢是標(biāo)量，容易計(jì)算?？梢韵扔?jì)算電勢，然后利用場強(qiáng)與電勢的微分關(guān)系計(jì)算電場強(qiáng)度，這樣做的好處是可以避免直接用場強(qiáng)疊加原理計(jì)算電場強(qiáng)度的矢量運(yùn)算的麻煩。例11.8均勻帶電圓環(huán)，帶電量為

q

，半徑為

R

。求軸線上任一點(diǎn)

P

的場強(qiáng)。PxrRx解：例11.9

求電偶極子電場中任意一點(diǎn)的電勢和電場強(qiáng)度.解§11.6

電荷在外電場中的靜電勢能靜電勢能（電勢能）

一個(gè)電荷在電場中某點(diǎn)的電勢能等于它的電量與電場中該點(diǎn)電勢的乘積。11.10

求電偶極子在均勻電場中的電勢能電勢能最低電勢能最高§11.8

靜電場的能量一.電荷系的靜電能

將各電荷從現(xiàn)有位置彼此分散到無限遠(yuǎn)時(shí)，它們之間的靜電力所做的功定義為電荷系在原來狀態(tài)的靜電能。對于一帶電體：二.靜電場能量

第十一章電勢1、靜電場是保守場：2、電勢差：電勢：（P0為電勢零點(diǎn)）電勢疊加原理：1.了解電勢、電勢差的定義2.懂得運(yùn)用電勢定義式求電勢，例11.1,11.2帶電球面，帶電球體的電勢3.點(diǎn)電荷的電勢：電荷連續(xù)分布的帶電體的電勢：4.電場強(qiáng)度與電勢微分關(guān)系5.等勢面：電場中其上電勢處處相等的曲面。電場線處處與等勢面垂直，并指向電勢降低的方向；電場線密下等勢