§2.3函數(shù)的單調(diào)性及最值

考點(diǎn)探究·挑戰(zhàn)高考考向瞭望·把脈高考2.3函數(shù)的單調(diào)性及最值雙基研習(xí)·面對(duì)高考雙基研習(xí)·面對(duì)高考1．函數(shù)的單調(diào)性(1)設(shè)f(x)的定義域?yàn)镮，如果對(duì)于定義域I內(nèi)某個(gè)給定區(qū)間D上的任意的x1，x2，當(dāng)x1<x2時(shí)，都有f(x1)<f(x2)，則稱f(x)在______上是增函數(shù)．當(dāng)x1<x2時(shí)，都有________，則稱f(x)在區(qū)間D上是______．(2)如果函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù)，則稱f(x)在這一區(qū)間上__________，區(qū)間D稱為單調(diào)區(qū)間．基礎(chǔ)梳理區(qū)間Df(x1)>f(x2)減函數(shù)具有單調(diào)性2．復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性設(shè)函數(shù)y＝f(u)，u＝g(x)都是單調(diào)函數(shù)，那么復(fù)合函數(shù)y＝f[g(x)]在其定義域上也是單調(diào)函數(shù)．對(duì)于復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，列出下表以助記憶.上述規(guī)律可概括為“____________________”，即“同增，異減”．同性則增，異性則減3．函數(shù)的最值前提設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)M滿足條件①對(duì)于任意x∈I，都有_________②存在x0∈I，使得_________①對(duì)于任意x∈I，都有________②存在x0∈I，使得________結(jié)論M為最大值M為最小值f(x)≤Mf(x0)＝Mf(x)≥Mf(x0)＝M課前熱身答案：D答案：B答案：B4．若函數(shù)f(x)＝2

在[0,1]上是單調(diào)增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是__________．答案：(－∞，0]考點(diǎn)探究·挑戰(zhàn)高考考點(diǎn)一函數(shù)單調(diào)性的判斷或證明對(duì)于給給出了了函數(shù)數(shù)的具具體解解析式式，其其單調(diào)調(diào)性的的判斷斷比較較靈活活．而而證明明其單單調(diào)性性往往往采用用定義義法．．單調(diào)調(diào)性的的定義義有等等價(jià)形形式，，對(duì)于于函數(shù)數(shù)y＝f(x)，x∈[a，b]來說，其主主要步驟：：①任設(shè)x1，x2∈[a，b]且x1<x2；②作差f(x1)－f(x2)，變形；③③判斷差的的符號(hào)；④④寫單調(diào)性性結(jié)論．參參考教材例例3.例1【領(lǐng)悟歸納】先判斷增減減性，本方方法利用了了：兩個(gè)增增函數(shù)的和和仍為增函函數(shù)，也可可用導(dǎo)數(shù)法法，之后再再用定義證證明．函數(shù)的單調(diào)調(diào)性是相對(duì)對(duì)于確定的的區(qū)間來說說的．此類類問題是針針對(duì)具體的的函數(shù)．在在討論增(減)性的同時(shí)，，把相應(yīng)的的所在區(qū)間間完整地寫寫出來，即即區(qū)間的端端點(diǎn)是函數(shù)數(shù)增減發(fā)生生改變的分分界點(diǎn)．用用定義法時(shí)時(shí)，使f(x1)－f(x2)正負(fù)改變的的x1，x2所在區(qū)間．．用導(dǎo)數(shù)法法時(shí)，使f′(x)正負(fù)改變的的x的范圍．考點(diǎn)二求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間例2∴x∈[2,4)，f(x)為增函數(shù)，，x∈(0,2]，f(x)為減函數(shù)．．∴增區(qū)間為為[2,4)，減區(qū)間為為(0,2]．【誤區(qū)警示】本題不求定定義域，認(rèn)認(rèn)為減區(qū)間間為(－∞，2)，增區(qū)間為為(2，＋∞)．或者寫[2,4]，[0,2]都是錯(cuò)的．．互動(dòng)探究若函數(shù)為y＝log2(x2－4x)，其單調(diào)區(qū)區(qū)間如何？？解：由x2－4x>0得x>4或x<0，令t＝x2－4x＝(x－2)2－4，∴t＝x2－4x在(4，＋∞)為增函數(shù)．．在(－∞，0)為減函數(shù)，，又∵y＝log2t，在t∈(0，＋∞)為增函數(shù)，，∴(4，＋∞)為增區(qū)間，，(－∞，0)為減區(qū)間．．要針對(duì)函數(shù)數(shù)的不同類類型采取相相應(yīng)的方法法，一般有有二次函數(shù)數(shù)配方法，，連續(xù)型函函數(shù)單調(diào)法法，分式型型均值不等等式法，指指數(shù)、對(duì)數(shù)數(shù)型導(dǎo)數(shù)法法．考點(diǎn)三函數(shù)的最值例3【思維總結(jié)結(jié)】對(duì)于(1)的解法可可用函數(shù)數(shù)的單調(diào)調(diào)性求最最值，也也可用均均值不等等式，(2)可轉(zhuǎn)化a>－x2－2x在[1，＋∞)恒成立，，求－x2－2x在[1，＋∞)上的最大大值．函數(shù)單調(diào)調(diào)性的定定義中實(shí)實(shí)質(zhì)是三三層含義義：一層是自自變量的的大小，，x1<x2，二層是函函數(shù)值的的大小，，y1<y2(或y1>y2)三層是函函數(shù)單調(diào)調(diào)性結(jié)論論：增函函數(shù)(減函數(shù))．知其二就就可求其其一．考點(diǎn)四函數(shù)的單調(diào)性與不等式例4【思維啟迪迪】問題(1)是抽象函函數(shù)單調(diào)調(diào)性的證證明，所所以要用用單調(diào)性性的定義義．問題(2)將函數(shù)不不等式中中抽象的的函數(shù)符符號(hào)“f”運(yùn)用單調(diào)調(diào)性“去掉”，為此需需將右邊邊常數(shù)3看成某個(gè)個(gè)變量的的函數(shù)值值．【探究提高高】f(x)在定義域域上(或某一單單調(diào)區(qū)間間上)具有單調(diào)調(diào)性，則則f(x1)<f(x2)?f(x1)－f(x2)<0，若函數(shù)數(shù)是增函函數(shù)，則則f(x1)<f(x2)?x1<x2，函數(shù)不不等式(或方程)的求解，，總是想想方設(shè)法法去掉抽抽象函數(shù)數(shù)的符號(hào)號(hào)，化為為一般不不等式(或方程)求解，但但無論如如何都必必須在定定義域內(nèi)內(nèi)或給定定的范圍圍內(nèi)進(jìn)行行．方法技巧巧1．判定函函數(shù)單調(diào)調(diào)性的常常用方法法(1)定義法(基本法)；如例1.(2)導(dǎo)數(shù)法；；如例2.(3)圖象法(4)利用已知知函數(shù)的的單調(diào)性性①兩個(gè)增增(減)函數(shù)的和和仍為增增(減)函數(shù)；一一個(gè)增(減)函數(shù)與一一個(gè)減(增)函數(shù)的差差是增(減)函數(shù)；方法感悟②奇函數(shù)數(shù)在關(guān)于于原點(diǎn)對(duì)對(duì)稱的兩兩個(gè)區(qū)間間上有相相同的單單調(diào)性，，偶函數(shù)數(shù)在對(duì)稱稱的兩個(gè)個(gè)區(qū)間上上有相反反的單調(diào)調(diào)性；③互為反反函數(shù)的的兩個(gè)函函數(shù)有相相同的單單調(diào)性；；④如果f(x)在區(qū)間D上是增(減)函數(shù)，那那么f(x)在D上的任一一子區(qū)間間上也是是增(減)函數(shù)．2．單調(diào)性性定義其等價(jià)形形式為：：失誤防范范1．函數(shù)的的單調(diào)區(qū)區(qū)間是指指函數(shù)在在定義域域內(nèi)的某某個(gè)區(qū)間間上單調(diào)調(diào)遞增或或單調(diào)遞遞減．單單調(diào)區(qū)間間要分開開寫，即即使在兩兩個(gè)區(qū)間間上的單單調(diào)性相相同，也也不能用用并集表表示．要要先求定定義域，，如例2.2．單調(diào)性性的定義義中，x1，x2是任意的的，代表表區(qū)間內(nèi)內(nèi)的所有有量，切切不可用用兩個(gè)特特殊的自自變量對(duì)對(duì)應(yīng)的函函數(shù)值大大小，得得出單調(diào)調(diào)性結(jié)論論．考向瞭望·把脈高考函數(shù)的單單調(diào)性是是函數(shù)的的一個(gè)重重要性質(zhì)質(zhì)，幾乎乎是每年年必考的的內(nèi)容，，例如判判斷或證證明函數(shù)數(shù)的單調(diào)調(diào)性，求求單調(diào)區(qū)區(qū)間、利利用單調(diào)調(diào)性求參參數(shù)的取取值范圍圍、利用用單調(diào)性性解不等等式等．．由于近近幾年高高考增加加導(dǎo)數(shù)的的內(nèi)容，，單純考考單調(diào)性性的題很很少，大大多數(shù)綜綜合性很很強(qiáng)，且且出現(xiàn)在在解答題題中，選選擇題、、填空題題都有所所考查，，如2010年課標(biāo)全國卷卷文9題，利用指數(shù)數(shù)函數(shù)單調(diào)性性解不等式，，大綱全國卷卷文22題，重慶文19題，難度較大大，江西文17題，由單調(diào)性性求字母取值值，難度較低低．考情分析預(yù)測(cè)2012年的高考中，，將以函數(shù)單單調(diào)性和基礎(chǔ)礎(chǔ)知識(shí)為核心心，結(jié)合導(dǎo)數(shù)數(shù)，命制與三三角函數(shù)、對(duì)對(duì)數(shù)函數(shù)、指指數(shù)函數(shù)、一一次或二次函函數(shù)為原型的的具體函數(shù)，，考查學(xué)生的的運(yùn)算、分析析、解決問題題的綜合能力力．規(guī)范解答例【名師點(diǎn)評(píng)】本題主要考查查函數(shù)的單調(diào)調(diào)區(qū)間最值及及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用用，同時(shí)考查查運(yùn)算求解能能力．本題考生應(yīng)該該比較容易得得分，但從高高考反饋信息息來看，滿分分率較低，主主要是解題不不規(guī)范不全面面；導(dǎo)數(shù)運(yùn)算算公式記憶不不準(zhǔn)確，求不不對(duì)導(dǎo)數(shù)；或或不會(huì)用導(dǎo)數(shù)數(shù)判斷單調(diào)性性或解不等式式出錯(cuò)．本題提醒了考考生在平時(shí)的的學(xué)習(xí)中要注注意規(guī)范解答