§5.2等差數(shù)列

§5.2等差數(shù)列考點探究·挑戰(zhàn)高考考向瞭望·把脈高考雙基研習·面對高考雙基研習?面對高考基礎(chǔ)梳理1．等差數(shù)列的定義如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與前一項的差等于__________，我們稱這樣的數(shù)列為等差數(shù)列，這個常數(shù)叫作等差數(shù)列的公差，通常用字母d表示，定義的表達式為___________________．同一個常數(shù)an＋1－an＝d(n∈N＋)2．等差數(shù)列的有關(guān)公式通項公式數(shù)列{an}是等差數(shù)列，公差為d，an＝a1＋_________.求和公式數(shù)列{an}是等差數(shù)列，公差為d，前n項和為Sn，則Sn＝_____________=_________等差中項公式若三個數(shù)a，A，b成等差數(shù)列，則中項A＝___________.(n－1)d思考感悟已知等差數(shù)列{an}的第m項am及公差d，則它的第n項an為多少？提示：an＝am＋(n－m)d.

3．等差數(shù)列的主要性質(zhì)(1)若m＋n＝p＋q(m、n、p、q∈N＋)，則________________.(2)已知等差數(shù)列中任意兩項am、an，則d＝______.(3)等差數(shù)列的單調(diào)性設(shè)d為等差數(shù)列{an}的公差，則當d>0時，數(shù)列{an}為____數(shù)列；當d<0時，數(shù)列{an}為____數(shù)列；當d＝0時，數(shù)列{an}為__數(shù)列．a(chǎn)m＋an＝ap＋aq遞減遞增常(4)①若數(shù)列{an}成等差數(shù)列，則{pan＋q}(p，q為常數(shù))也成等差數(shù)列；②若數(shù)列{an}成等差數(shù)列，則{apn＋q}(p，q∈N＋)也成等差數(shù)列；③若數(shù)列{an}和{bn}成等差數(shù)列，則{an±bn}也成等差數(shù)列；④等差數(shù)列中依次k項的和成等差數(shù)列，即Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…，成等差數(shù)列．課前熱身1．已知等差數(shù)列{an}中，a1＋a2＝4，a7＋a8＝28，則數(shù)列的通項公式an為(

)A．2n

B．2n＋1C．2n－1 D．2n＋2答案：C2．(2010年高考重慶卷)在等差數(shù)列{an}中，a1＋a9＝10，則a5的值為(

)A．5 B．6C．8 D．10答案：A3．(2009年高考湖南卷)設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和，已知a2＝3，a6＝11，則S7等于(

)A．13 B．35C．49 D．63答案：C4．已知{an}是等差數(shù)列，a3＋a8＝22，a7＝9，則a4＝________.答案：135．(教材習題改編)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn＝n2＋3n，則{an}的首項為________，公差為________．答案：4

2考點探究?挑戰(zhàn)高考考點突破考點一等差數(shù)列的判定1．等差數(shù)列的判定通常有兩種方法：(1)利用定義，an－an－1＝d(常數(shù))(n≥2)，(2)利用等差中項，即2an＝an＋1＋an－1(n≥2)．2．解選選擇、、填空空題時時，亦亦可用用通項項或前前n項和直直接判判斷．．(1)通項法法：若若數(shù)列列{an}的通項項公式式為n的一次次函數(shù)數(shù)，即即an＝An(2)前n項和法：若數(shù)列{an}的前n項和Sn是Sn＝An2＋Bn的形式(A，B是常數(shù))，則{an}為等差數(shù)列．例1【名師點點評】判定數(shù)數(shù)列是是等差差數(shù)列列常用用定義義，而而判斷斷數(shù)列列不是是等差差數(shù)列列，則則只需需說明明任意意連續(xù)續(xù)三項項不是是等差差數(shù)列列即可可．考點二等差數(shù)列中基本量的計算例2【名師師點點評評】第(2)問從從命命題題的的設(shè)設(shè)置置可可以以看看出出高高考考命命題題者者要要求求考考生生研研究究分分式式的的整整除除性性，，因因此此，，首首先先需需要要將將分分子子am和am＋1轉(zhuǎn)化化成成am＋2的代代數(shù)數(shù)形形式式，，再再利利用用分分離離分分子子的的方方法法研研究究分分式式的的整整除除，，得得到到滿滿足足條條件件的的正正整整數(shù)數(shù)m的解解，，我我們們應應注注意意還還要要對對求求出出的的正正整整數(shù)數(shù)m的解解進進行行檢檢驗驗．．考點三等差數(shù)列的性質(zhì)此類類問問題題重重點點是是用用好好等等差差中中項項的的性性質(zhì)質(zhì)，，單單調(diào)調(diào)性性質(zhì)質(zhì)，，首首末末兩兩項項和和例3【解析析】(1)∵{an}是等等差差數(shù)數(shù)列列且且a3＋a4＋a5＝3a4＝12，∴a4＝4，∴a1＋a2＋…＋a7＝7a4＝28.故選C.【答案】(1)C(2)10【名師點點評】靈活應應用性性質(zhì)，，可以以減少少運算算量，，大大大提高高解題題速度度．考點四等差數(shù)列的綜合應用數(shù)列與與函數(shù)數(shù)、不不等式式、解解析幾幾何等等綜合合命題題是高高考考考查的的熱點點，以以函數(shù)數(shù)為載載體，，求解解數(shù)列列問題題時要要看清清它們們之間間的關(guān)關(guān)系，，靈活活應用用它們們是關(guān)關(guān)鍵，，在證證明數(shù)數(shù)列中中不等等問題題時，，要弄弄清題題意，，靈活活采用用證明明不等等式的的常用用方法法．例4【思路點點撥】(1)利用點點在函函數(shù)圖圖像上上代入入即可可得an與an＋1的關(guān)系系，易易求得得an.【解】(1)由已知知得an＋1＝an＋1，即an＋1－an＝1，又a1＝1，所以數(shù)數(shù)列{an}是以1為首項項，公公差為為1的等差差數(shù)列列．故an＝1＋(n－1)××1＝n(n∈N＋)．【名師點點評】本例采采用了了求差差比較較法，，是高高考常常考的的方法法之一一，可可適當當變形形以解解決它它們，，運算算時要要求準準確．．方法感感悟方法技技巧1．等差差數(shù)列列的判判斷方方法(1)定義法法：an＋1－an＝d(d是常數(shù)數(shù))?{an}是等差(2)等差中項公式：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N＋)?{an}是等差數(shù)列．(3)通項公式：an＝pn＋q(p，q為常數(shù))?{an}是等差數(shù)列．(4)前n項和公式：Sn＝An2＋Bn(A、B為常數(shù))?{an}是等差數(shù)列．(如例1)失誤防防范1．如果p＋q＝r＋s，則ap＋aq＝ar＋as，一般地，，ap＋aq≠ap＋q，必須是兩兩項相加，，當然可以以是ap－t＋ap＋t＝2ap.2．等差數(shù)列列的通項公公式通常是是n的一次函數(shù)數(shù)，除非公公差d＝0.3．公差不為為0的等差數(shù)列列的前n項和公式是是n的二次函數(shù)數(shù)，且常數(shù)數(shù)項為0.若某數(shù)列的的前n項和公式是是n的常數(shù)項不不為0的二次函數(shù)數(shù)，則該數(shù)數(shù)列不是等等差數(shù)列，，它從第二二項起成等等差數(shù)列．．考情分析考向瞭望?把脈高考等差數(shù)列是是每年高考考必考的知知識點之一一，考查重重點是等差差數(shù)列的解答題，難度中等偏高．客觀題突出“小而巧”，主要考查性性質(zhì)的靈活活運用及對對概念的理理解，主觀觀題考查較較為全面，，在考查基基本運算、、基本概念念的基礎(chǔ)上上，又注重重考查函數(shù)數(shù)方程，等等價轉(zhuǎn)化等等思想方法法．預測2012年高考仍將將以等差數(shù)數(shù)列的定義義、通項公公式與前n項和公式為為主要考點點，重點考考查運算能能力和邏輯輯理解能力力．規(guī)范解答例(本題滿分12分)(2010年高考浙江江卷)設(shè)a1，d為實數(shù)，首首項為a1，公差為d的等差數(shù)列列{an}的前n項和為Sn，滿足S5S6＋15＝0.(1)若S5＝5，求S6及a1；(2)求d的取值范圍圍．【名師點評】(