§5.5數(shù)列的綜合應用

§5.5數(shù)列的綜合應用考點探究?挑戰(zhàn)高考考向瞭望?把脈高考雙基研習?面對高考雙基研習?面對高考基礎梳理1．解答數(shù)列應用題的步驟(1)審題——仔細閱讀材料，認真理解題意．(2)建?！獙⒁阎獥l件翻譯成數(shù)學(數(shù)列)語言，將實際問題轉化成數(shù)學問題，弄清該數(shù)列的特征、要求是什么．(3)求解——求出該問題的數(shù)學解．(4)還原——將所求結果還原到原實際問題中．2．數(shù)列應用題常見模型(1)等差模型：如果____________的量是一個固定量時，該模型是等差模型，增加(或減少)的量就是公差．(2)等比模型：如果后一個量與前一個量的___是一個固定的數(shù)時，該模型是等比模型，這個固定的數(shù)就是公比．增加(或減少)比思考感悟銀行儲蓄單利公式及復利公式是什么模型？提示：單利公式——設本金為a元，每期利率為r，存期為n，則本利和an＝a(1＋rn)，屬于等差模型．復利公式——設本金為a元，每期利率為r，存期為n，則本利和an＝a(1＋r)n，屬于等比模型．課前熱身1．(2009年高考四川卷)等差數(shù)列{an}的公差不為零，首項a1＝1，a2是a1和a5的等比中項，則數(shù)列{an}的前10項之和是(

)A．90

B．100C．145 D．190答案：B2．已知等差數(shù)列{an}和等比數(shù)列{bn}的首項均為1，且公差d>0，公比q>1，則集合{n|an＝bn}(n∈N＋)的元素的個數(shù)最多為(

)A．1 B．2C．3 D．4答案：B3．(教材改編題)電子計算機中使用的二進制與十進制的換算關系如下表所示：十進制12345678…二進制110111001011101111000…觀察二進制為1位數(shù)、2位數(shù)、3位數(shù)時，對應的十進制數(shù)，當二進制為6位數(shù)時，能表示十進制中的最大數(shù)是(

)A．31 B．63C．111111 D．999999答案：B4．已知三個數(shù)a、b、c成等比數(shù)列，則函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c的圖像與x軸公共點的個數(shù)為________．答案：05．近年來，太陽能技術運用的步伐日益加快，2008年全球太陽電池的年生產(chǎn)量達到670兆瓦，年生產(chǎn)量的增長率為34%，以后四年年生產(chǎn)量的增長率逐年遞增2%(2009年的增長率為36%)，則預算2012年全球太陽電池的年生產(chǎn)量為________．答案：2499.8兆瓦考點探究?挑戰(zhàn)高考考點突破考點一等差、等比數(shù)列的綜合問題等差數(shù)列列與等比比數(shù)列結結合的綜綜合問題題是高考考考查的的重點，，特別是是等差、、等比數(shù)數(shù)列的通通項公式式，前n項和公式式以及等等差中項項、等比比中項問問題是歷歷年命題題的熱點點．例1(2010年高考陜陜西卷)已知{an}是公差不不為零的的等差數(shù)數(shù)列，a1＝1，且a1，a3，a9成等比數(shù)數(shù)列．(1)求數(shù)列{an}的通項；；(2)求數(shù)列{2an}的前n項和Sn.【思路點撥撥】由已知條條件列【名師點評評】解決等差差數(shù)列與與等比數(shù)數(shù)列的綜綜合問題題的關鍵鍵在于綜綜合運用用等差數(shù)數(shù)列和等等比數(shù)列列知識解解題，也也就是涉涉及哪個個數(shù)列問問題就靈靈活地運運用相關關知識解解決．等差數(shù)列列與等比比數(shù)列之之間是可可以相互互轉化的的．即{an}為等差數(shù)數(shù)列?{}(a>0且a變式訓練1(2010年高考重慶慶卷)已知{an}是首項為19，公差為－－2的等差數(shù)列列，Sn為{an}的前n項和．(1)求通項an及Sn；(2)設{bn－an}是首項為1，公比為3的等比數(shù)列列，求數(shù)列列{bn}的通項公式式及前n項和Tn.考點二等差、等比數(shù)列的實際應用與數(shù)列有關關的應用題題大致有三三類：一是是有關等差差數(shù)列的應應用題；二二是有關等等比數(shù)列的的應用題；；三是有關關遞推數(shù)列列中可化成成等差、等等比數(shù)列的的問題．當當然，還包包括幾類問問題的綜合合應用．其其中第一類類問題在內內容上比較較簡單，建建立等差數(shù)數(shù)列模型后，問題常常常轉化成成整式或整整式不等式式處理，很很容易計算算．對第二二類問題，，建立等比比數(shù)列的模模型后，弄弄清項數(shù)是是關鍵，運運算中往往往要運用指指數(shù)或對數(shù)數(shù)不等式，，常需要查查表或依據(jù)據(jù)題設中所所給參考數(shù)數(shù)據(jù)進行近近似計算，，對其結果果要按照要要求保留一一定的精確確度．注意意答案要符符合題設中中實際需要要．對于第第三類問題題，要掌握握將線性遞遞推數(shù)列化化成等比數(shù)數(shù)列求解的的方法．例2(2010年高考湖北北卷)已知某地今今年年初擁擁有居民住住房的總面面積為a(單位：m2)，其中有部部分舊住房房需要拆除除．當?shù)赜杏嘘P部門決決定每年以以當年年初初住房面積積的10%建設新住房房，同時也也拆除面積積為b(單位：m2)的舊住房．．(1)分別寫出第第一年末和和第二年末末的實際住住房面積的的表達式；；(2)如果第五年年末該地的的住房面積積正好比今今年年初的的住房面積積增加了30%，則每年拆拆除的舊住住房面積b是多少？(計算時取1.15＝1.6)【思路點撥】可逐年寫出出第一年末末至第五年年末的住房房面積，然然后列方程程解出b.【規(guī)律小結】用數(shù)列知識識解相關的的實際問題題，關鍵是是合理建立立數(shù)學模型型——數(shù)列模型，，弄清所構構造的數(shù)列列的首項是是什么，項項數(shù)是多少少，然后轉轉化為解數(shù)數(shù)列問題．．求解時，，要明確目目標，即搞搞清是求和和，還是求求通項，還還是解遞推推關系問題題，所求結結論對應的的是解方程程問題，還還是解不等等式問題，，還是最值值問題，然然后進行合合理推算，，得出實際際問題的結結果．變式訓練2職工小張年年初向銀行行貸款2萬元用于購購房，銀行行貸款的年年利率為10%，按復利計計算(即本年的利利息計入次次年的本金金)．若這筆貸貸款要分10年等額還清清，每年年年初還一次次，并且從從借款后次次年年初開開始還款，，那么每年年應還多少少元？(精確到1元)解：設每年年還款x元，需10年還清，那那么每年所所還款及利利息的情況況如下：第10年還款x元，此次欠欠款全部還還清；第9年還款x元，過1年欠款全部部還清時，，所還款連連同利息之之和為x(1＋10%)元；第8年還款x元，過2年欠款全部部還清時，，所還款連連同利息之之和為x(1＋10%)2元；……考點三數(shù)列與解析幾何、不等式、函數(shù)的交匯問題數(shù)列與其它它知識的綜綜合問題主主要指的是是用幾何方方法或函數(shù)數(shù)的解析式式構造數(shù)列列，用函數(shù)數(shù)或方程的的方法研究究數(shù)列問題題．函數(shù)與與數(shù)列的綜綜合問題主主要有以下下兩類：一是已知函函數(shù)的條件件，利用函函數(shù)的性質質圖像研究究數(shù)列問題題，如恒成成立，最值值問題等；；二是已知知數(shù)列條件件，利用數(shù)數(shù)列的范圍圍、公式、、求和方法法等知識對對式子化簡簡變形，從從而解決函函數(shù)問題．．例3【思路點撥】(1)充分利用切切線、半徑徑、原點與與圓心的連連線所構成成的直角三三角形可證證{rn}為等比數(shù)列列．(2)利用錯位相相減法求和和．【名師點評】數(shù)列、解析析幾何、不不等式是高高考的重點點內容，將將三者密切切綜合在一一起，強強強聯(lián)合命制制大型綜合合題是歷年年高考的熱熱點和重點點．數(shù)列是是特殊的函函數(shù)，以數(shù)數(shù)列為背景景的不等式式證明問題題及以函數(shù)數(shù)作為背景景的數(shù)列的的綜合問題題，體現(xiàn)了了在知識交交匯點上命命題的特點點，該類綜綜合題的知知識綜合性性強，能很很好地考查查邏輯推理理能力和運運算求解能能力，因而而一直是高高考命題者者的首選．．考點四數(shù)列中的探索性問題探索性問題題往往需要要由給定的的條件去探探究相應的的結論或由由問題的結結論去尋找找相應的條條件，在解解題時應透透過問題的的表象去尋尋求、發(fā)現(xiàn)現(xiàn)規(guī)律性的的東西．例4【名師點評】本題主要考考查數(shù)列、、不等式等等基礎知識識，化歸思思想、分類類整合思想想等數(shù)學思思想方法，，以及推理理論證、分分析與解決決問題的能能力．方法感悟方法技巧1．深刻理解解等差(比)數(shù)列的性質質，熟悉它它們的推導導過程是解解題的關鍵鍵．兩類數(shù)數(shù)列性質既既有相似之之處，又有有區(qū)別，要要在應用中中加強記憶憶．同時，，用好性質質也會降低低解題的運運算量，從從而減少差差錯．(如例4)2．在等差數(shù)數(shù)列與等比比數(shù)列中，，經(jīng)常要根根據(jù)條件列列方程(組)求解，在解解方程組時時，仔細體體會兩種情情形中解方方程組的方方法的不同同之處．(如例1)3．數(shù)列的滲滲透力很強強，它和函函數(shù)、方程程、三角形形、不等式式等知識相相互聯(lián)系，，優(yōu)化組合合，無形中中加大了綜綜合的力度度．解決此此類題目，，必須對蘊蘊藏在數(shù)列列概念和方方法中的數(shù)數(shù)學思想有有所了解，，深刻領悟悟它在解題題中的重大大作用，常常用的數(shù)學學思想方法法有：“函數(shù)與方程程”、“數(shù)形結合”、“分類討論”、“等價轉換”等．(如例3)4．在現(xiàn)實生生活中，人人口的增長長、產(chǎn)量的的增加、成成本的降低低、存貸款款利息的計計算、分期期付款問題題等，都可可以利用數(shù)數(shù)列來解決決，因此要要會在實際際問題中抽抽象出數(shù)學學模型，并并用它解決決實際問題題．(如例2)失誤防范1．等比數(shù)列列的前n項和公式要要分兩種情情況：公比比等于1和公比不等等于1.最容易忽視視公比等于于1的情況，要要注意這方方面的練習習．2．數(shù)列的應應用還包括括實際問題題，要學會會建模，對對應哪一類類數(shù)列，進進而求解．．3．在有些情情況下，證證明數(shù)列的的不等式要要用到放縮縮法．考情分析考向瞭望?把脈高考數(shù)列的綜合合應用是每每年高考必必考的內容容，特別是是等差數(shù)列列與等比數(shù)數(shù)列交匯，，數(shù)列與解解析幾何、、不等式、、函數(shù)交匯匯是高考的的熱點，題題型以解答答題為主，，難度偏高高，主要考考查學生分分析問題和和解決問題題的能力．．預測2012年高考，等等差數(shù)列與與等比數(shù)列列交匯、數(shù)數(shù)列與不等等式交匯是是高考的主主要考點，，重點考查查運算能力力和邏輯推推理能力．．例規(guī)范解答(本題滿分12分)已知{an}是公差為d的等差數(shù)列列，{bn}是公比為q的等比數(shù)列列．(1)若an＝3n＋1，是否存在在m、k∈N＋，有am＋am＋1＝ak？請說明理理由；(2)若bn＝aqn(a、q為常數(shù)，且且aq≠0)，對任意m存在k，有bm·bm＋1＝bk，試求a、q滿足的充要條條件；(3)若an＝2n＋1，bn＝3n，試確定所有有的p，使數(shù)列{bn}中存在某個連連續(xù)p項的和是數(shù)列列{an}中的一項，請請證明．【思路點撥】處理第(1)問時，將等差差數(shù)列{an}的通項公式代代入等式am＋am＋1＝ak，然后從整除除的角度判斷斷等式是否有有整數(shù)解；處處理第(2)問時，將等比比數(shù)列{bn}的通項公式代代入bm·bm＋1＝bk，研究等式成成立的充要條條件；處理第第(3)問時，注意到到an＝2n＋1是奇數(shù)，bn＝3n也是奇數(shù)，當當p是偶數(shù)時，偶偶數(shù)個奇數(shù)的的和不可能是是奇數(shù)，等式式不能成立，，所以只需對對p為奇數(shù)進行討討論．【名師點評】(1)本題易錯點有有：一是解題題過程中忽視視了正整數(shù)的的限制，導致致推理不嚴密密或是解題錯錯誤；二是不不會進行正整整數(shù)的奇偶性性分析，對處處理不定方程程缺少必要的的方法，導致致解答錯誤．．數(shù)列試題往往往涉及整數(shù)數(shù)，根據(jù)題目目的具體情況況，要會合理理使用整數(shù)的的有關性質解解決問題．(2)對任意的正整整數(shù)m，等式bm·bm＋1＝bk都成立，不妨妨取m＝1，求出a、q滿足的條件為為a＝qk－3，再從一般情情形去驗證這這個條件在一一般情況下是是否成立，這這是求解探索索性問題的一一種常見的思