基本不等式(建議用時：20分鐘)[提高卷]1．下列不等式一定成立的是()A．x＋eq\f(1,x)≥2 \f(x2＋2,\r(x2＋2))≥eq\r(2)\f(x2＋3,\r(x2＋4))≥2 D．2－3x－eq\f(4,x)≥22．已知a≥0，b≥0，且a＋b＝2，則()A．a(chǎn)b≤eq\f(1,2) B．a(chǎn)b≥eq\f(1,2)C．a(chǎn)2＋b2≥2 D．a(chǎn)2＋b2≤33．若x2＋y2＝4，則xy的最大值為________．4．設(shè)a，b為非零實(shí)數(shù)，給出不等式：①eq\f(a2＋b2,2)≥ab；②eq\f(a2＋b2,2)≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2；③eq\f(a＋b,2)≥eq\f(ab,a＋b)；④eq\f(a,b)＋eq\f(b,a)≥2.其中恒成立的不等式是________．5．已知a、b、c為不全相等的正實(shí)數(shù)，求證：a＋b＋c＞eq\r(ab)＋eq\r(bc)＋eq\r(ca).答案與解析一、選擇題1．下列不等式一定成立的是()A．x＋eq\f(1,x)≥2 \f(x2＋2,\r(x2＋2))≥eq\r(2)\f(x2＋3,\r(x2＋4))≥2 D．2－3x－eq\f(4,x)≥2B[A項(xiàng)中當(dāng)x<0時，x＋eq\f(1,x)<0<2，∴A錯誤．B項(xiàng)中，eq\f(x2＋2,\r(x2＋2))＝eq\r(x2＋2)≥eq\r(2)，∴B正確．而對于C，eq\f(x2＋3,\r(x2＋4))＝eq\r(x2＋4)－eq\f(1,\r(x2＋4))，當(dāng)x＝0時，eq\f(x2＋3,\r(x2＋4))＝eq\f(3,2)<2，顯然選項(xiàng)C不正確．D項(xiàng)中取x＝1,2－3x－eq\f(4,x)<2，∴D錯誤．]2．已知a≥0，b≥0，且a＋b＝2，則()A．a(chǎn)b≤eq\f(1,2) B．a(chǎn)b≥eq\f(1,2)C．a(chǎn)2＋b2≥2 D．a(chǎn)2＋b2≤3C[∵a≥0，b≥0，且a＋b＝2，∴ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2＝1，而4＝(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab≤2(a2＋b2)，∴a2＋b2≥2.]3．若x2＋y2＝4，則xy的最大值為________．2[xy≤eq\f(x2＋y2,2)＝2，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時取“＝”．]4．設(shè)a，b為非零實(shí)數(shù)，給出不等式：①eq\f(a2＋b2,2)≥ab；②eq\f(a2＋b2,2)≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2；③eq\f(a＋b,2)≥eq\f(ab,a＋b)；④eq\f(a,b)＋eq\f(b,a)≥2.其中恒成立的不等式是________．①②[由重要不等式a2＋b2≥2ab可知①正確；②eq\f(a2＋b2,2)＝eq\f(2a2＋b2,4)＝eq\f(a2＋b2＋a2＋b2,4)≥eq\f(a2＋b2＋2ab,4)＝eq\f(a＋b2,4)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2，故②正確；對于③，當(dāng)a＝b＝－1時，不等式的左邊為eq\f(a＋b,2)＝－1，右邊為eq\f(ab,a＋b)＝－eq\f(1,2)，可知③不正確；令a＝1，b＝－1可知④不正確．]5．已知a、b、c為不全相等的正實(shí)數(shù)，求證：a＋b＋c＞eq\r(ab)＋eq\r(bc)＋eq\r(ca).[證明]∵a＞0，b＞0，c＞0，∴eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)，eq\f(b＋c,2)≥eq\r(bc)，eq\f(c＋a,2)≥eq\r(ca)，∴eq\f(a＋b,2)＋eq\f(b＋c,2)＋eq\f(c＋a,2)≥eq\r(ab)＋eq\r(bc)＋eq\r(ca)，即a＋b＋