1.5全稱量詞與存在量詞1.5.1全稱量詞與存在量詞引入

我們知道，一般地，命題是用語言、符號或式子表達的，可以判斷真假的陳述句，它的核心就是能判斷真假。但在數(shù)學(xué)中，我們經(jīng)常會遇到含有變量的陳述句，這些陳述句在未給定變量的值之前無法確定語句的真假（我們一般把這種陳述句叫做開語句），如x+1>0，x2+y2=4等。

由于這種語句不能判斷真假，所以它不是命題，但是如果我們用一個短語來對其中變量的取值范圍進行限定，就可以使它變成一個命題，這種短語稱為量詞。本節(jié)我們就來學(xué)習(xí)這種量詞以及如何正確地對含有一個量詞的命題進行否定。

問題1：下列語句是命題嗎?(1)與(3)之間,(2)(4)之間有什么關(guān)系?

(1)x>3;

(2)2x+1是整數(shù);

(3)對所有的x∈R，x>3

(4)對任意一個x∈Z，2x+1是整數(shù).探究新知(一)是命題，真命題是命題，假命題不是命題不是命題

(3)對(1)中的變量x增加了一個限制“對所有的x∈R”，變成了一個命題。

(4)對(2)中的變量x增加了一個限制“對任意一個x∈Z”,變成了一個命題。

在這里，我們把類似于“所有的”，“任意一個”的短語稱為全稱量詞。并把(3)(4)稱為全稱量詞命題。

全稱量詞一般用來表示全體、所有的意思，常見的全稱量詞有:

“所有的”,“任意一個”,“一切”,“每一個”,“任給”,“凡是”等.

1.短語“所有的”、“任意一個”等在邏輯中通常叫做全稱量詞。并用符號“”表示.2.含有全稱量詞的命題,叫做全稱量詞命題.全稱量詞和全稱量詞命題全稱量詞命題“對M中任意一個x，p(x)成立”,可用符號簡記為小結(jié)（1）（2）真命題。解：（3）假命題。假命題。例如素數(shù)2就不是奇數(shù)例析

如果對給定集合M中的每一個元素x，p(x)都成立（一般需要推導(dǎo)和證明），則此全稱量詞命題為真命題；

如果在給定集合M中存在一個元素x0，使命題p(x0)不成立（即舉出一個反例），則此全稱量詞命題為假命題。

例1

.判斷下列全稱量詞命題的真假.（1）所有的素數(shù)都是奇數(shù)；（2）（3）對每一個無理數(shù)x，x2也是無理數(shù).

思考：如何判定一個全稱量詞命題的真假？小結(jié)練習(xí)解：(1)真命題(2)假命題

如負(fù)數(shù)就沒有算術(shù)平方根(3)假命題

問題2：下列語句是命題嗎？(1)與(3)，(2)與(4)之間有什么關(guān)系？(1)2x+1=3；

(2)x能被2和3整除；

(3)存在一個x∈R，使2x+1=3；

(4)至少有一個x∈Z，x能被2和3整除.不是命題不是命題是命題，真命題是命題，真命題探究新知(二)

(3)對(1)中的變量x增加了一個限制“存在一個x∈R”，變成了一個命題。

(4)對(2)中的變量x增加了一個限制“至少有一個x∈Z”,變成了一個命題。

在這里，我們把類似于“存在一個”，“至少有一個”的短語稱為存在量詞。并把(3)(4)稱為存在量詞命題。

1.短語“存在一個”“至少有一個”等在邏輯中通常叫做存在量詞。一般用符號“”表示存在量詞和存在量詞命題

存在量詞通常用來表示一部分，個別的意思，常見的存在量詞有：“有些”，“有一個”，存在一個”，“對某些”，“有的”等.存在量詞命題“存在M中的一個x，p(x)成立”,可用符號簡記為小結(jié)2.含有存在量詞的命題,叫做存在量詞命題.例2.判斷下列存在量詞命題的真假:

（1）有一個實數(shù)x,使x2+2x+3=0；

（2）平面內(nèi)存在兩條相交直線垂直于同一直線；

（3）有些平行四邊形是菱形.（1）（2）∵垂直于同一直線的兩個平面是平行或重合的;∴任意兩個相交平面不可能垂直于同一條直線.∴此命題為假命題解：（3）∴此命題為假命題真命題。例析例如正方形

思考：如何判定一個存在量詞命題的真假？

如果對給定集合M中的存在一個元素x0，使p(x)成立（舉出一個例子即可），則此存在量詞命題為真命題；

如果在給定集合M中每一個元素，命題p(x0)都不成立（一般需要推導(dǎo)和證明），則此存在量詞命題為假命題。

小結(jié)解：練習(xí)解：解：(1)真命題例如菱形的對角線相互垂直(2)假命題

∵n2+n=n(n+1)∴對任意整數(shù)民，n和n+1必一奇一偶，即n(n+1)=n2+n為偶數(shù)(3)真命題例析或a+b≤0,1+a<0或(a+b)(1+a)≤0,1+a≠0等練習(xí)1、什么是全稱量詞，你能說出幾個嗎？存在量詞呢？

它們各用什么樣的符號來表示課堂小結(jié)2、什么是全稱量詞命題？全稱量詞命題“對M中任意一個x，p(x)成