函數(shù)值域的求法

1）什么叫函數(shù)的值域？函數(shù)的值域應(yīng)該怎樣表示？

復(fù)習(xí)

答：由自變量對(duì)應(yīng)的所有函數(shù)值構(gòu)成的集合叫函數(shù)的值域。函數(shù)的值域應(yīng)該用集合的描述法或區(qū)間表示。2）正比例函數(shù)y=kx、一次函數(shù)y=ax+b的值域分別是什么？

答：都是R。

1.問(wèn)題：初中學(xué)過(guò)哪些函數(shù)？它們的定義域、值域、對(duì)應(yīng)法則分別是什么？三.一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)的定義域和值域：函數(shù)一次函數(shù)二次函數(shù)反比例函數(shù)a＞0a＜0對(duì)應(yīng)關(guān)系定義域值域y＝ax＋b(a≠0)

y＝ax2＋bx＋c(a≠0)

x→ax＋b

x→ax2＋bx＋c

R

R

R

{x|x≠0}

x→R

{y|y≥

}

{y|y≤

}

{y|y≠0}

對(duì)于一元二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)

，當(dāng)a>0時(shí)，那么x=時(shí)取得最小值，當(dāng)a<0時(shí)，那么x=時(shí)取得最大值數(shù)學(xué)小博士特別提示2：

求函數(shù)值域沒(méi)有通用的方法和固定的模式。只能依據(jù)函數(shù)解析式的結(jié)構(gòu)特征來(lái)確定相應(yīng)的解法。

無(wú)論采用什么方法求函數(shù)的值域，均應(yīng)優(yōu)先考慮定義域。數(shù)學(xué)小博士特別提示1：

根據(jù)基本函數(shù)的值域及不等式性質(zhì)、非負(fù)數(shù)性質(zhì)，通過(guò)觀察分析直接得出函數(shù)值域的方法叫直接法。也叫觀察分析法。——常用于一些解析式結(jié)構(gòu)比較簡(jiǎn)單的函數(shù)。方法一直接法題組1：求下列函數(shù)的值域：（搶答）

題組2：求下列函數(shù)的值域：（每組選答一題）

例題1求下列函數(shù)的值域：

通過(guò)把已知函數(shù)（或其部分）配成完全平方，再利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求得函數(shù)值域的方法叫配方法。

——常用于二次函數(shù)及與其有關(guān)的函數(shù)。方法三配方法

把已知函數(shù)分離成一個(gè)常數(shù)與另一個(gè)函數(shù)的和，從而求得函數(shù)值域的方法叫分離常數(shù)法。

——常用于分子分母都是一次式的分式函數(shù)。方法二分離常數(shù)法

說(shuō)明：分子分母都是一次式的分式函數(shù)可以分離成一個(gè)常數(shù)與一個(gè)反比例型函數(shù)的和。解析：所以用配方法解2）得：題組3：求下列函數(shù)的值域：（每組選答一題）

也可以用逆求法解例1的1）題：（直接法——用不等式性質(zhì)、非負(fù)數(shù)性質(zhì)）數(shù)學(xué)小博士出新招：

（1）（由啟示1、例1的1）和題組3的1）歸納總結(jié)）一4數(shù)學(xué)小博士考考你：（搶答）

例題2求下列函數(shù)的值域：

把已知函數(shù)轉(zhuǎn)化為關(guān)于變量的二次方程，再利用方程有解則判別式非負(fù)。從而求得原函數(shù)值域的方法叫判別式法。

——常用于分子或分母中有二次式的分式函數(shù)。

方法五判別式法

通過(guò)換元把求已知函數(shù)的值域轉(zhuǎn)化為求關(guān)于新元的函數(shù)值域，從而求得原函數(shù)值域的方法叫換元法。

——常用于部分根式函數(shù)。方法四換元法

二）（整體配方）一）（換元升次）1）中含二次根式，要設(shè)法轉(zhuǎn)化。三）（平方升次再用判別式）解析：

數(shù)學(xué)小博士特別提示3：

有時(shí)一題有多種解法，而有時(shí)一題又要同時(shí)使用多種方法才能解決。只有靈活選用最恰當(dāng)?shù)姆椒?，才能快捷解題。當(dāng)y=0時(shí)，x=0,所以y可以為0；

先用判別式法求下列函數(shù)的值域，再用其它方法檢驗(yàn)：（討論）

數(shù)學(xué)小博士考考你：

方法名稱主要適用函數(shù)注意事項(xiàng)直接法簡(jiǎn)單函數(shù)一般與非負(fù)數(shù)有關(guān)配方法與二次函數(shù)有關(guān)的函數(shù)取等號(hào)條件分離常數(shù)法（反函數(shù)）

分子分母都是一次式的分式函數(shù)可直接用結(jié)論換元法部分根式函數(shù)新元的取值范圍判別式法

分子或分母中有二次三項(xiàng)式的分式函數(shù)判斷——討論——檢驗(yàn)方法總結(jié)求函數(shù)值域的常用方法1）求下列函數(shù)的值域：課后作業(yè)數(shù)學(xué)小博士