1．理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義．2．了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系．3．掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，會(huì)進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．4．能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角，會(huì)用數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系．5．會(huì)用向量方法解決某些簡(jiǎn)單的平面幾何問(wèn)題．6．會(huì)用向量方法解決簡(jiǎn)單的力學(xué)問(wèn)題與其他一些實(shí)際問(wèn)題．第3課時(shí)向量的數(shù)量積、向量的應(yīng)用【命題預(yù)測(cè)】向量的數(shù)量積是高考命題的重點(diǎn)，主要考查平面向量數(shù)量積的性質(zhì)在向量運(yùn)算、化簡(jiǎn)、求值、證明中的應(yīng)用，考查平面向量平行、垂直的充要條件的應(yīng)用，以及用向量的數(shù)量積解平面幾何問(wèn)題．多出現(xiàn)在填空題與選擇題中，難度不會(huì)太大．在解答題中，常常與其他章節(jié)的內(nèi)容，例如三角函數(shù)、數(shù)列、函數(shù)等相結(jié)合，考查平面向量數(shù)量積的綜合運(yùn)用，綜合性較強(qiáng)，屬于中等偏難的題．【應(yīng)試對(duì)策】1．在運(yùn)用向量的數(shù)量積解題時(shí)，一定要注意兩向量的夾角． 兩向量的夾角描述了兩向量的方向差異，求兩向量的夾角時(shí)一定要注意向量 的方向．例如在△ABC中，向量

的夾角是π－∠B，不是∠B. (1)當(dāng)a≠0時(shí)，由a·b＝0不能推出b＝0，這是因?yàn)槿我慌ca垂直的非零向量b都 有a·b＝0.(2)當(dāng)a≠0時(shí)，由a·b＝a·c也不能推出b＝c.只要b，c在a方向上的投影相等(|b|cos〈b，a〉＝|c|cos〈c，a〉)，都有a·b＝a·c(如圖所示，對(duì)于直線l上任意點(diǎn)P，

的值都相等)．

(3)數(shù)量積運(yùn)算不滿足結(jié)合律，即(a·b)·c不一定等于a·(b·c)．這是因?yàn)?a·b)·c表示一個(gè)與c共線的向量，而a·(b·c)表示一個(gè)與a共線的向量，而a與c不一定共線．2．?dāng)?shù)量積公式a·b＝|a||b|·cosθ(其中θ為a，b的夾角)的一些簡(jiǎn)單應(yīng)用： (1)當(dāng)θ＝0°時(shí)，a·b＝|a||b|，所以求兩向量的模的乘積可轉(zhuǎn)化為求向量的 數(shù)量積． (2)當(dāng)θ＝90°時(shí)，a·b＝0?a⊥b，所以判定兩向量垂直常可轉(zhuǎn)化為證明數(shù) 量積為零． (3)

＝0?點(diǎn)O在以AB為直徑的圓上；

>0?點(diǎn)O在以AB為直徑的圓外?∠AOB＜90°.【知識(shí)拓展】1.向量積由兩向量a和b作一個(gè)新向量c，若c滿足下列三個(gè)條件：(1)向量c的模等于|a||b|sin〈a，b〉；(2)c同時(shí)垂直于a和b；；(3)c的方向按“右手法則”確定．則稱c為a與b的向量積，記作c＝a×b.1．兩個(gè)向量的夾角 (1)定義：對(duì)于

向量a與b，作 ，則∠AOB=θ， (0°≤θ≤180°)叫做向量a與b的夾角． (2)特殊情形：當(dāng)θ=

時(shí)，a與b同向；當(dāng)θ=

時(shí)，a與b反向； 當(dāng)θ=

時(shí)，則稱向量a與b垂直，記作a⊥b.兩個(gè)非零180°0°90°2．平面向量的數(shù)量積 (1)平面向量數(shù)量積的定義 已知兩個(gè)非零向量a和b，它們的夾角為θ，則數(shù)量

叫做a與 b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作a·b，即

，并規(guī)定零向量與任 一向量的數(shù)量積為

.|a|·|b|·cosθ0a·b＝|a|·|b|·cosθ(2)b在a方向上的投影①定義：設(shè)θ是a與b的夾角，則

叫做a在b的方向上的投影，

叫做b在a的方向上的投影，一向量在另一向量的方向上的投影是一個(gè)實(shí)數(shù)，而不是向量，當(dāng)0°≤θ<90°時(shí)，它是

，當(dāng)90°<θ≤180°時(shí)，它是

，當(dāng)θ＝90°時(shí)，它是

.②a·b的幾何意義數(shù)量積a·b等于a的長(zhǎng)度|a|與

的投影|b|cosθ的乘積．|a|cosθ|b|cosθ正數(shù)負(fù)數(shù)b與a的方向上03．向量數(shù)量積的運(yùn)算律 (1)a·b＝

(交換律)．(2)(λa)·b＝

＝

(數(shù)乘結(jié)合律)． (3)(a＋b)·c＝

.(分配律)4．平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2) (1)a·b＝

.(2)|a|＝

，|b|＝

. (3)a⊥b?

. (4)若a與b夾角為θ，則cosθ＝

.b·aλ(a·b)a·(λb)a·c＋b·cx1x2＋y1y2x1x2＋y1y2＝0 (5)若c的起點(diǎn)坐標(biāo)和終點(diǎn)坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)， 則|c|＝

.5．向量方法解決幾何問(wèn)題的步驟 (1)建立幾何與向量的聯(lián)系，用

表示問(wèn)題中的幾何元素，將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn) 化為

問(wèn)題． (2)通過(guò)向量的

，研究幾何元素之間的關(guān)系，如夾角、距離、垂直、 平行等問(wèn)題． (3)把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系．向量運(yùn)算向量1．對(duì)于向量a、b、c和實(shí)數(shù)λ，下列命題中真命題是________． ①若a·b＝0，則a＝0或b＝0②若λa＝0，則λ＝0或a＝0 ③若a2＝b2，則a＝b或a＝－b④若a·b＝a·c，則b＝c 解析：A中若a⊥b，則有a·b＝0，不一定有a＝0，b＝0. C中當(dāng)|a|＝|b|時(shí)，a2＝b2，此時(shí)不一定有a＝b或a＝－b. D中當(dāng)a＝0時(shí)，a·b＝a·c，不一定有b＝c.答案：②2．(2010·江蘇通州市高三素質(zhì)檢測(cè))已知向量a和向量b的夾角為30°，|a|＝2，|b|＝，則向量a和向量b的數(shù)量積a·b＝________.

答案：33．若向量a與b的夾角為60°，|b|＝4，(a＋2b)·(a－3b)＝－72，則向量a的模是________．解析：∵(a＋2b)·(a－3b)＝a2－6b2－a·b＝－72，∴|a|2－2|a|－24＝0，解得|a|＝6.答案：64．已知a＝(2,1)，b＝(3，x)，若(2a－b)⊥b，則x的值是________． 解析：∵2a－b＝(4,2)－(3，x)＝(1,2－x)，又∵(2a－b)⊥b， ∴3＋x(2－x)＝0，∴x2－2x－3＝0.解得x＝－1或3. 答案：－1或35．已知力F＝(3,5)，在力F的作用下發(fā)生的位移S＝(6,9)， 則F所做的功為________． 解析：W＝F·S＝(3,5)·(6,9)＝18＋45＝63. 答案：631．向量的數(shù)量積有兩種計(jì)算方法，一是利用公式a·b＝|a|·|b|cosθ來(lái)計(jì)算， 二是利用a·b＝x1x2＋y1y2來(lái)計(jì)算，具體應(yīng)用時(shí)可根據(jù)已知條件的特征來(lái)選擇， 同時(shí)要注意數(shù)量積運(yùn)算律的應(yīng)用．2．?dāng)?shù)量積中的常用公式: (1)|a|2＝a2＝a·a；(2)|a±b|2＝(a±b)2＝a2±2a·b＋b2；【例1】已知|a|＝3，|b|＝4，a與b的夾角為，求：(1)(3a－2b)·(a－2b)； (2)|a＋b|. 思路點(diǎn)撥：利用平面向量數(shù)量積的定義及運(yùn)算律，可求出第(1)問(wèn)； 求|a＋b|可先求(a＋b)2，再開方．解：(1)a·b＝|a|·|b|·cos＝3×4×

a2＝32＝9，b2＝16.∴(3a－2b)·(a－2b)＝3a2－8a·b＋4b2＝3×9－8×(－)＋64＝91＋48(2)|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝9＋2×(－)＋16＝25－12∴|a＋b|＝變式1：(1)證明：(a－b)2＝a2－2a·b＋b2； (2)設(shè)a、b是夾角為60°的單位向量，求|2a＋b|、|3a－2b|. 解：(1)證明：(a－b)2＝(a－b)·(a－b)＝(a－b)·a－(a－b)·b

＝a2－b·a－(a·b－b2)＝a2－2a·b＋b2. (2)∵|2a＋b|2＝(2a＋b)2＝4a2＋4a·b＋b2＝4＋4|a||b|cos60°＋1＝7， ∴|2a＋b|＝.同理可求|3a－2b|＝.1．非零向量a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0.2．當(dāng)向量a與b是非坐標(biāo)形式時(shí)，要把a(bǔ)，b用已知的不共線的向量表示．【例2】已知|a|＝5，|b|＝4，且a與b的夾角為60°，則當(dāng)k為何值時(shí)， 向量ka－b與a＋2b垂直？思路點(diǎn)撥：由(ka－b)⊥(a＋2b)?(ka－b)·(a＋2b)＝0， 展開求解即可．解：∵(ka－b)⊥(a＋2b)，∴(ka－b)·(a＋2b)＝0，∴ka2＋(2k－1)a·b－2b2＝0，∴k×52＋(2k－1)×5×4×cos60°－2×42＝0，∴k＝即k為時(shí)，向量ka－b與向量a＋2b垂直．在△ABC中，

＝(2,3)，

＝(1，k)，且△ABC的一個(gè)內(nèi)角為直角,求k的值．解：(1)當(dāng)∠A＝90°時(shí)，∵

＝0,2×1＋3k＝0，∴k＝(2)當(dāng)∠B＝90°時(shí)，

＝(1－2，k－3)＝(－1，k－3)．∵

，∴2×(－1)＋3×(k－3)＝0，∴k＝(3)當(dāng)∠C＝90°時(shí)，∵

＝0，∴－1＋k(k－3)＝0，k2－3k－1＝0，∴k＝∴k的取值為變式2：用向量解決應(yīng)用問(wèn)題，首先要把實(shí)際問(wèn)題中的條件和要求(或證)的問(wèn)題用向量表示出來(lái)，然后通過(guò)向量的運(yùn)算求出結(jié)果，并把求出的結(jié)果解釋為實(shí)際要求的問(wèn)題．【例3】在△ABC內(nèi)求一點(diǎn)P，使AP2＋BP2＋CP2的值最?。?思路點(diǎn)撥：AP2＋BP2＋CP2可轉(zhuǎn)化為向量模的平方來(lái)表示，而模的平方又可轉(zhuǎn)化為數(shù)量積，所以，可選定一組基底來(lái)解決最小值問(wèn)題．解：設(shè)

，則

，于是

＝(p－a)2＋(p－b)2＋p2＝3p2－2(a＋b)·p＋a2＋b2＝∴當(dāng)p＝(a＋b)時(shí)，

取最小值．記D為AB的中點(diǎn)，則a＋b＝2

，于是

∴C，P，D三點(diǎn)共線，且P點(diǎn)是△ABC的重心時(shí)，

取最小值，即AP2＋BP2＋CP2的值最?。鬌是△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，且AB2－AC2＝DB2－DC2，求證：AD⊥BC.證明：設(shè)

，則a＝e＋c，b＝e＋d，∴a2－b2＝(e＋c)2－(e＋d)2＝c2－d2＋2e·c－2e·d①由已知，a2－b2＝c2－d2，②由①②，可得e·c－e·d＝0，即e·(c－d)＝0.∵

＝d－c，∴

＝0，∴AD⊥BC.變式3：1．平面向量a與b的數(shù)量積|a|·|b|·cosθ，它是一個(gè)實(shí)數(shù)，而不是向量， 它的值等于兩個(gè)向量的模與兩向量夾角余弦的乘積，其中θ的取值范圍是 0°≤θ≤180°.2．向量數(shù)量積a·b與實(shí)數(shù)a、b乘積a·b不同．由a·b＝0，并不能得出a＝0或 b＝0，因?yàn)閮煞橇阆蛄繆A角為90°時(shí)，數(shù)量積也為0.【規(guī)律方法總結(jié)】3．向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律，即(a·b)·c≠a·(b·c)，在(a·b)·c與a·(b·c) 中，由于a·b與b·c都是一個(gè)實(shí)數(shù)，設(shè)a·b＝λ1，b·c＝λ2，則(a·b)·c＝ λ1c，a·(b·c)＝λ2a，它們分別是與c共線和與a共線的向量，由于a與c不一 定共線，那么λ1c與λ2a的方向不一定相同，故一般情況下， (a·b)·c≠a·(b·c)．4．?dāng)?shù)量積的消去律不成立，即a·b＝c·b不一定得到a＝c.5．可以用向量的數(shù)量積公式解決有關(guān)夾角和垂直問(wèn)題，但要注意兩種公式 的靈活運(yùn)用．6．利用向量垂直的充要條件研究幾何中線與線垂直的問(wèn)題，若易建立適當(dāng) 的坐標(biāo)系，得到簡(jiǎn)單的向量坐標(biāo)表示，則可以減少運(yùn)算量，實(shí)現(xiàn)了平面幾 何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)量的運(yùn)算.

【例4】已知向量a，b滿足|a|＝|b|＝1，且|a－kb|＝|ka＋b|，其中k>0. (1)試用k表示a·b，并求出a·b的最大值及此時(shí)a與b的夾角θ的值； (2)當(dāng)a·b取得最大值時(shí)，求實(shí)數(shù)λ，使|a＋λb|的值最小，并對(duì)這一結(jié)果作出幾何解釋.

本題可以通過(guò)對(duì)已知條件兩端平方解決，容易出現(xiàn)的問(wèn)題是對(duì)向量模與數(shù)量積的關(guān)系不清導(dǎo)致錯(cuò)誤，如認(rèn)為|a－kb|＝|a|－|kb|或|a－kb|2＝|a|2－2k|a||b|＋k2|b|2等都會(huì)得出錯(cuò)誤的結(jié)果．第二個(gè)易錯(cuò)之處就是在得到a·b＝－后，忽視了k>0的限制條件，求錯(cuò)最值

【錯(cuò)因分析】解：(1)|a－kb|＝|ka＋b|?(a－kb)2＝3(ka＋b)2?a·b＝－(k>0)．∴a·b＝ ，a·b的最大值為－

此時(shí)cosθ＝－，θ＝.∴a·b＝－(k>0)，a·b的最大值為－

此時(shí)a與b的夾角θ的值為.【答題模板】(2)由題意，a·b＝－，故|a＋λb|2＝λ2－λ＋1＝

∴當(dāng)λ＝時(shí)，|a＋λb|的值最小，此時(shí)·b＝0，這表明⊥b.向量的運(yùn)算法則有相同的，也有不同的，在命題中千萬(wàn)不要進(jìn)行盲目類比，特別是關(guān)于向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則和實(shí)數(shù)的乘法運(yùn)算法則完全不同，一定要把這些運(yùn)算法則分清楚.

【狀元筆記】1．設(shè)向量a，b，c滿足a＋b＋c＝0，(a－b)⊥c，a⊥b， 若|a|＝1，求|a|2＋|b|2＋|c|2. 分析：把條件化簡(jiǎn)整理，根據(jù)“向量垂直等價(jià)于向量的數(shù)量積為零”，尋找向量a，b，c的內(nèi)在聯(lián)系．解：∵a＋b＋c＝0，∴c＝－(a＋b)．∵(a－b)⊥c，∴(a－b)·c＝－(a－b)·(a＋b)＝0，∴a2＝b2，∴|b|＝1.∵a⊥b，∴a·b＝0，∴|c|2＝c2＝(a＋b)2＝a2＋b2＋2a·b＝2，∴|a|