24.1.4圓周角1.理解圓周角的概念,掌握圓周角的定理的內容及簡單應用；2.掌握圓周角的定理的三個推論及簡單應用；3.滲透由“特殊到一般”，由“一般到特殊”的數學思想方法.圓周角：__________，并且角______________.圓心角:___________的角.頂點在圓上兩邊都和圓相交頂點在圓心一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半.化歸化歸圓周角定理分類討論完全歸納法定理定理一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半.也可以理解為：一條弧所對的圓心角是它所對的圓周角的二倍；圓周角的度數等于它所對的弧的度數的一半.弧相等，圓周角是否相等？反過來呢？什么時候圓周角是直角？反過來呢？直角三角形斜邊中線有什么性質？反過來呢？理解定理3.如下圖，⊙O1和⊙O2是等圓，如果弧AB＝弧CD，那么∠E和∠F是什么關系？反過來呢？OBADEC1.如下左圖，比較∠ACB、∠ADB、∠AEB的大小.2.如上右圖，如果弧AB＝弧CD，那么∠E和∠F是什么關系？反過來呢？DCEBFAODCEO1BFAO2想一想同弧或等弧所對的圓周角相等；在同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧相等.FED思考：1、“同圓或等圓”的條件能否去掉？2、判斷正誤：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦、兩條弦心距、兩個圓周角中有一組量相等，那么它們所對應的其余各組量也相等.推論1：半圓（或直徑）所對的圓周角是90°；

90°的圓周角所對的弦是直徑.

如果三角形一邊上的中線等于這條邊的一半，那么這個三角形是直角三角形.推論2：推論3：如圖，⊙O直徑AB為10cm，弦AC為6cm，∠ACB的平分線交⊙O于D，求BC、AD、BD的長．又在Rt△ABD中，AD2+BD2=AB2，∵AB是直徑，

∴∠ACB=∠ADB=90°．在Rt△ABC中，∵CD平分∠ACB，∴AD=BD.【解析】

例題1、如圖，在⊙O中，∠ABC=50°，則∠AOC等于（）.A.50°B.80°C.90°D.100°ACBOD2、如圖，△ABC是等邊三角形，動點P在圓周的劣弧AB上，且不與A、B重合，則∠BPC等于（）.A.30°B.60°C.90°D、45°CABPB跟蹤訓練1.如圖，∠A=50°，∠AOC=60°BD是⊙O的直徑，則∠AEB等于（）.A.70°B.110°C.90°D.120°BACBODE2.（南通·中考）如圖，⊙O的直徑AB=4，點C在⊙O上，∠ABC=30°，則AC的長是()A．1 B．C．D．2【解析】選D.直徑所對的圓周角是直角，在直角三角形中，30°的角所對的邊是斜邊的一半.

OABC3.（衢州·中考）如圖，△ABC是⊙O的內接三角形，點D是弧BC的中點，已知∠AOB=98°，∠COB=120°．則∠ABD的度數是

．【解析】如圖，連接OD，∵D是弧BC的中點，∠COB=120°．∴∠CBD=∠COD=×∠COB=30°.又∠AOB=98°，∠COB=120°．∴∠OAB=41°，∠OBC=∠OCB=30°,∠ABD=41°+30°+30°=101°.答案：101°ABCDO4.如圖，△ABC的頂點A、B、C都在⊙O上，∠C＝30°，AB＝2，則⊙O的半徑是多少？CABO【解析】連結OA、OB∵∠C=30°，∴∠AOB=60°又∵OA=OB，∴△AOB是等邊三角形∴OA=OB=AB=2，即半徑為2.5.求證：如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形.（提示：作出以這條邊為直徑的圓）·ABCO求證：△ABC為直角三角形.證明：CO=AB,以AB為直徑作⊙O，∵AO=BO， ∴AO=BO=CO.∴點C在⊙O上.又∵AB為直徑,∴∠ACB=×180°=90°.已知：如圖△ABC中，CO為AB邊上的中線，且CO=AB∴△ABC為直角三角形.24.1.4圓周角（第2課時）

——圓周角定理的推論1、100o的弧所對的圓心角等于_______，所對的圓周角等于_______。2、一弦分圓周角成兩部分，其中一部分是另一部分的4倍，則這弦所對的圓周角度數為________________。3、如圖，在⊙O中，∠BAC=32o，則∠BOC=________。4、如圖，⊙O中，∠ACB=130o，則∠AOB=______。5、下列命題中是真命題的是（）（A）頂點在圓周上的角叫做圓周角。（B）60o的圓周角所對的弧的度數是30o（C）一弧所對的圓周角等于它所對的圓心角（D）120o的弧所對的圓周角是60o課前測驗AOCBBAOC100o50o36o或144o64o100oD圖1圖2圖3如圖1至圖3，

∵對著圓周角∠C和圓心角∠AOB，AB∴∠C=

∠AOB，從而，∠AOB=

∠C。2圖1圖2圖3如圖1至圖3，

（1）若∠AOB=50°，則∠C=

°；（2）若∠C=75°，則∠AOB=

°。25150問題討論問題1、如圖1,在⊙O中,∠B,∠D,∠E的大小有什么關系?為什么?圖1問題2、如圖2，BC是⊙O的直徑，A是⊙O上任一點，你能確定∠BAC的度數嗎?BAOC圖2問題3、如圖3，圓周角∠BAC=90o，弦BC經過圓心O嗎？為什么？∠B=∠D=∠E∠BAC=90o●OBACDE●OBCA圖3環(huán)節(jié)二、同一條弧所對的圓周角【思考】同一條弧所對的圓周角有怎樣的大小關系？即如圖4，對著圓周角∠C與∠D，觀察幾何畫板《同弧所對的圓周角》，猜想∠C與∠D有怎樣的大小關系。AB圖4【猜想】∠C

∠D。=證明：連接OA，OB。∵對著圓周角∠C和圓心角∠AOB，AB∴∠C=

∠AOB，同理，∠D=

∠AOB，∴∠C

∠D。=圖4又因為相等的弧所對的圓心角

，從而它們所對的圓周角

。相等相等【推論1】同弧或等弧所對的圓周角

。相等∵對著圓周角∠C和∠D，AB∴∠C=∠D。同弧等弧∵=ABCD∴∠E=∠F。環(huán)節(jié)三、直徑與直角圖51、直徑所對的圓周角【問題1】如圖5，AB是⊙O的直徑，求直徑AB所對的圓周角∠C的度數。解：∵AB是⊙O的直徑，∴∠AOB=

°，∴∠C=

∠AOB=

=

。18090°【推論2】半圓（或直徑）所對的圓周角是

角。直圖5∵AB是⊙O的直徑，∴∠C=90°。直徑90°2、90°的圓周角所對的弦【問題2】如圖6，圓周角∠C=90°,求證：AB是直徑。圖6證明：設圓心為O，∵圓周角∠C=90°,∴∠AOB=

∠C=

=

，22×90°180°∴弦AB經過

，圓心∴AB是直徑。【推論3】90°的圓周角所對的弦是

。

直徑∵圓周角∠C=90°,∴AB是直徑。圖6直徑問題解答1、圓周角定理的推論1：同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧也相等。2、圓周角定理的推論2：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角；90°的圓周角所對的弦是直徑。用于找相等的角用于找相等的弧用于判斷某個圓周角是否是直角用于判斷某條線是否過圓心環(huán)節(jié)四、鞏固練習1、如圖7，AB是⊙O的直徑，點C在⊙O上，

AB=10cm，BC=6cm，則AC=

。圖78cm61090°8直徑圖7如圖7，AB是⊙O的直徑，點C在⊙O上，AC=12cm，BC=5cm，則⊙O的半徑為

cm。變式練習：6.512590°13直徑2、如圖8，CD是⊙O的直徑，A，B是⊙O上的兩點，（1）∠CAD=

°；（2）若∠B=20°，則∠C=

°，∠ADC=

°。902070圖890°20°20°70°直徑圖8變式練習：如圖8，CD是⊙O的直徑，A，B是⊙O上的兩點，∠ADC=50°，則∠B=

°。40直徑50°90°4