Chapter15有限元方法在流體力學(xué)中的應(yīng)用ApplicationsofFEMinFluidMechanics(FundamentalsoffiniteelementanalysisbyDavidV.Hutton)1引言不可壓縮流體(incompressibleflow):密度不變可壓縮流體(compressibleflow)Newton’slawofviscosityμ為絕對(duì)粘度(absoluteviscosity).是流體的基本材料參數(shù),與其抗剪應(yīng)力性能直接相關(guān)。如果流體的粘度很小，則可忽略其剪應(yīng)力，理想化為無(wú)粘性流體。2不可壓縮流體的控制方程質(zhì)量守恒連續(xù)性方程u,v,w,是速度在x,y,z方向的分量質(zhì)量守恒要求一個(gè)體積里面的質(zhì)量變化率等于該體積的質(zhì)量?jī)袅魅胨俣取ｓw積dV里的總質(zhì)量為ρdV,注意到dV為常數(shù),所以有：從x,y,z三個(gè)方向流入質(zhì)量造成的控制體積中的質(zhì)量變化率分別表示為：所以質(zhì)量的變化率為：注意到dV=dxdydz,于是得到連續(xù)性方程為：對(duì)于穩(wěn)態(tài)的不可壓縮流體(steadyflowofanincompressiblefluid),密度與時(shí)間和空間坐標(biāo)無(wú)關(guān)，于是有旋流和無(wú)旋流(RotationalandIrrotationalFlow)把流體流動(dòng)分為：有旋流動(dòng)(rotational)

---平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)混合無(wú)旋流動(dòng)(irrotational)---僅有平動(dòng)。流體微元體積沒(méi)有純轉(zhuǎn)動(dòng)。如果下列三式不能同時(shí)滿足，則為有旋流動(dòng):我們目前僅考慮無(wú)旋流動(dòng)。二維流的流函數(shù)(steamfunction)對(duì)于2D,穩(wěn)態(tài),不可壓縮,無(wú)旋流動(dòng)連續(xù)性方程為無(wú)旋條件退化為如果引入

ψ(x,y)(流函數(shù))，則連續(xù)性條件自動(dòng)滿足:無(wú)旋條件變?yōu)?Laplace’sequation)流函數(shù)的物理意義流線(streamlines):x-y平面內(nèi)的曲線，其上的流函數(shù)為常數(shù)。流線上的任一點(diǎn)的切向量可以表示為

nt

=dxi+dyj，該點(diǎn)處的流體速度為V

=ui+vj.則

V×nt=(?vdx+udy)k=0因?yàn)椋簝蓚€(gè)非零向量的叉積為零意味著這兩個(gè)向量平行，所以：在流線上任一點(diǎn)，流體速度正切于流線。有限元列式具有M個(gè)節(jié)點(diǎn)的有限單元內(nèi)的流函數(shù)可以表示為:利用Galerkin方法,單元的殘差方程為：or應(yīng)用Green-Gauss定理，上式變?yōu)槠渲?/p>

S

為單元邊界(nx

,ny

)為邊界單位外法線向量。代入流函數(shù)表達(dá)式，有：寫(xiě)為矩陣形式二維流動(dòng)的流速勢(shì)函數(shù)(VelocityPotentialFunction)假定存在流速勢(shì)函數(shù)φ(x,y)使得則無(wú)旋條件能自動(dòng)滿足:連續(xù)性條件變?yōu)?(again,weobtainLaplace’sequation)在流速勢(shì)函數(shù)為常數(shù)的曲線上，有所以可見(jiàn)，速度向量垂直于流速勢(shì)為常數(shù)的曲線。于是，流線和流速勢(shì)等值線形成了正交網(wǎng)格，稱為流網(wǎng)(flownet).有限元列式與流函數(shù)的情形類似：?jiǎn)卧獎(jiǎng)偠汝嚺c流函數(shù)法的相同，但是節(jié)點(diǎn)力完全不同。不可壓縮粘性流假定:可以看作二維問(wèn)題不涉及熱3.密度和粘度為常數(shù)4.穩(wěn)態(tài)(不隨時(shí)間變化)表示動(dòng)量守恒的Navier-Stokes方程為:u,v=x,y方向速度分量

ρ=密度p=壓力

μ=絕對(duì)粘度FBx

,FBy

=x,

y方向單位體積的體力斯托克斯流(StokesFlow)Stokesflow(orcreepingflow)：流體流動(dòng)的速度很小，慣性項(xiàng)比粘性項(xiàng)小很多，可以忽略。高粘度流體，如融化的高分子材料。動(dòng)量方程變?yōu)樯鲜胶瓦B續(xù)性方程一起構(gòu)成了三個(gè)未知數(shù)u(x,y),v(x,y),andp(x,y)的三個(gè)方