第十六章

樹主要內(nèi)容無(wú)向樹及其性質(zhì)生成樹根樹及其應(yīng)用

116.1無(wú)向樹及其性質(zhì)定義16.1

(1)無(wú)向樹——連通無(wú)回路的無(wú)向圖(2)平凡樹——平凡圖(3)森林——至少由兩個(gè)連通分支（每個(gè)都是樹）組成的無(wú)向圖(4)樹葉——1度頂點(diǎn)(5)分支點(diǎn)——度數(shù)2的頂點(diǎn)

2無(wú)向樹的等價(jià)定義定理16.1設(shè)G=<V,E>是n階m條邊的無(wú)向圖，則下面各命題是等價(jià)的：(1)G是樹(2)G中任意兩個(gè)頂點(diǎn)之間存在惟一的路徑.(3)G中無(wú)回路且m=n1.(4)G是連通的且m=n1.(5)G是連通的且G中任何邊均為橋.(6)G中沒(méi)有回路，但在任何兩個(gè)不同的頂點(diǎn)之間加一條新邊，在所得圖中得到惟一的一個(gè)含新邊的圈.3由上式解出x2.

定理16.2設(shè)T是n階非平凡的無(wú)向樹，則T中至少有兩片樹葉.無(wú)向樹的性質(zhì)證設(shè)T有x片樹葉，由握手定理及定理16.1可知，4例題例1已知無(wú)向樹T中有1個(gè)3度頂點(diǎn)，2個(gè)2度頂點(diǎn)，其余頂點(diǎn)全是樹葉，試求樹葉數(shù).解解本題用樹的性質(zhì)m=n1，握手定理.設(shè)有x片樹葉，于是n=1+2+x=3+x,2m=2(n1)=2(2+x)=13+22+x解出x=3，故T有3片樹葉.5例2已知無(wú)向樹T有5片樹葉，2度與3度頂點(diǎn)各1個(gè)，其余頂點(diǎn)的度數(shù)均為4，求T的階數(shù)n例題解設(shè)T的階數(shù)為n,則邊數(shù)為n1，4度頂點(diǎn)的個(gè)數(shù)為n7.由握手定理得2m=2(n1)=51+21+31+4(n7)解出n=8，4度頂點(diǎn)為1個(gè).6子圖定義14.8

G=<V,E>,G=<V,E>(1)GG——G為G的子圖，G為G的母圖(2)若GG且V=V，則稱G為G的生成子圖(3)若VV或EE，稱G為G的真子圖(4)V（VV且V）的導(dǎo)出子圖，記作G[V](5)E（EE且E）的導(dǎo)出子圖，記作G[E]在圖中，設(shè)G為(1)中圖所表示，取V1={a，b，c}，則V1的導(dǎo)出子圖G[V1]為(2)中圖所示。取E1={e1，e3}，則E1的導(dǎo)出子圖G[E1]為(3)中圖所示。7不一定連通，也不一定不含回路，如圖所示定義16.2設(shè)G為無(wú)向圖(1)G的樹——T是G的子圖并且T是樹(2)G的生成樹——T是G的生成子圖并且T是樹(3)生成樹T的樹枝——G的在T中的邊(4)生成樹T的弦——G的不在T中的邊(5)生成樹T的余樹——T的所有弦的導(dǎo)出子圖16.2生成樹8推論2

的邊數(shù)為mn+1.推論3

為G的生成樹T的余樹，C為G中任意一個(gè)圈，則C與一定有公共邊.證否則，C中的邊全在T中，這與T為樹矛盾.定理16.3無(wú)向圖G具有生成樹當(dāng)且僅當(dāng)G連通.生成樹存在條件推論1

G為n階m條邊的無(wú)向連通圖，則mn1.證必要性顯然.充分性用破圈法（注意：在圈上刪除任何一條邊，不破壞連通性）由定理16.3和樹的邊數(shù)等于頂點(diǎn)數(shù)減1可立即得到下述推論。9基本回路系統(tǒng)定理16.4設(shè)T為G的生成樹，e為T的任意一條弦，則Te中含一個(gè)只有一條弦其余邊均為T的樹枝的圈.不同的弦對(duì)應(yīng)的圈也不同.證設(shè)e=(u,v)，在T中u到v有惟一路徑，則e為所求的圈.定義16.3設(shè)T是n階m條邊的無(wú)向連通圖G的一棵生成樹，設(shè)e1,e2,…,emn+1為T的弦.設(shè)Cr為T添加弦er產(chǎn)生的只含弦er、其余邊均為樹枝的圈.稱Cr為G的對(duì)應(yīng)樹T的弦er的基本回路或基本圈，r=1,2,…,mn+1.并稱{C1,C2,…,Cmn+1}為G對(duì)應(yīng)T的基本回路系統(tǒng)，稱mn+1為G的圈秩，記作

(G).求基本回路的算法：設(shè)弦e=(u,v)，先求T中u到v的路徑uv，再并上弦e，即得對(duì)應(yīng)e的基本回路.10Ca=aefCb=bdeCc=cdf此圖的圈秩為3，基本回路系統(tǒng)為：{Ca,Cb,Cc}基本回路系統(tǒng)在下圖中，對(duì)應(yīng)生成樹的弦a，b，c的基本回路為：11基本割集的存在定理16.5設(shè)T是連通圖G的一棵生成樹，e為T的樹枝，則G中存在只含樹枝e，其余邊都是弦的割集，且不同的樹枝對(duì)應(yīng)的割集也不同.證由定理16.1可知，e是T的橋，因而Te有兩個(gè)連通分支T1和T2，令

Se={e|eE(G)且e的兩個(gè)端點(diǎn)分別屬于V(T1)和V(T2)}，由構(gòu)造顯然可知Se為G的割集，eSe且Se中除e外都是弦，所以Se為所求.顯然不同的樹枝對(duì)應(yīng)的割集不同.12定義16.4設(shè)T是n階連通圖G的一棵生成樹，e1,e2,…,en1為T的樹枝，Si是G的只含樹枝ei的割集，則稱Si為G的對(duì)應(yīng)于生成樹T由樹枝ei生成的基本割集，i=1,2,…,n1.并稱{S1,S2,…,Sn1}為G對(duì)應(yīng)T的基本割集系統(tǒng)，稱n1為G的割集秩，記作(G).基本割集與基本割集系統(tǒng)求基本割集的算法設(shè)e為生成樹T的樹枝，Te為兩棵小樹T1與T2，令Se={e|eE(G)且e的兩個(gè)端點(diǎn)分別屬于T1與T2}則Se為e對(duì)應(yīng)的基本割集.13Sa={a,f,g}Sb={b,g,h}Sd={d,h,i}Sc={c,f,h}Se={e,f,i}基本割集系統(tǒng)為：{Sa,Sb,Sc,Sd,Se}割集秩為5.基本割集與基本割集系統(tǒng)在下圖中，對(duì)應(yīng)樹枝a，b，c，d，e的基本割集分別為：14解弦e,f,g對(duì)應(yīng)的基本回路分別為

Ce=e

b

c,Cf=f

a

b

c,Cg=g

a

b

c

d,C基={Ce,Cf,Cg}.樹枝a,b,c,d對(duì)應(yīng)的基本割集分別為Sa={a,f,g},Sb={b,e,f,g},Sc={c,e,f

g},Sd={d,g},S基={Sa,Sb,Sc,Sd}.

例下圖實(shí)線邊所示為生成樹，求基本回路系統(tǒng)與基本割集系統(tǒng)實(shí)例15最小生成樹定義16.5

T是無(wú)向連通帶權(quán)圖G=<V,E,W>的生成樹(1)T的權(quán)W(T)——T的各邊權(quán)之和(2)G的最小生成樹——G的所有生成樹中權(quán)最小的生成樹求最小生成樹的一個(gè)算法避圈法（Kruskal）設(shè)G=<V,E,W>，將G中非環(huán)邊按權(quán)從小到大排序：e1,e2,…,em.(1)取e1在T中(2)查e2，若e2與e1不構(gòu)成回路，取e2也在T中，否則棄去e2.(3)再查e3,…,直到得到生成樹為止.16例4求圖的一棵最小生成樹.所求最小生成樹如圖所示，W(T)=38.實(shí)例1716.3

根樹及其應(yīng)用定義16.6有向樹T——基圖為無(wú)向樹的有向圖。(1)T為根樹——T中一個(gè)頂點(diǎn)入度為0，其余頂點(diǎn)入度均為1的有向樹.(2)樹根——入度為0的頂點(diǎn)(3)樹葉——入度為1，出度為0的頂點(diǎn)(4)內(nèi)點(diǎn)——入度為1，出度不為0的頂點(diǎn)(5)分支點(diǎn)——樹根與內(nèi)點(diǎn)的總稱(6)頂點(diǎn)v的層數(shù)——從樹根到任意頂點(diǎn)v的路徑的長(zhǎng)度（即路徑中的邊數(shù)）(7)樹高——T中所有頂點(diǎn)的最大層數(shù)(8)平凡根樹——平凡圖18根樹的畫法:樹根放上方,省去所有有向邊上的箭頭如右圖所示a是樹根b,e,f,h,i是樹葉c,d,g是內(nèi)點(diǎn)a,c,d,g是分支點(diǎn)a為0層;1層有b,c;2層有d,e,f;3層有g(shù),h;4層有i.樹高為4根樹實(shí)例19家族樹與根子樹定義16.7設(shè)T為一顆非平凡的根樹(1)祖先與后代——vi

，vj

∈V(T)，vi

≠vj，若vi

可達(dá)vj

，則稱vi

為vj的祖先

，vj為vi的后代

。(2)父親與兒子——vi

，vj

∈V(T)，vi

≠vj，若vi

鄰接到vj（即<vi

，vj

>∈E(T)）

，則稱vi

為vj的父親

，vj為vi的兒子

。(3)兄弟——vj

，vk∈V(T)，vj

≠vk，若vj

，vk的父親相同

，則稱vj與vk是兄弟

。定義16.8設(shè)v為根樹T中的任意一個(gè)頂點(diǎn)，稱v及其后代的導(dǎo)出子圖Tv為T的以v為根的根子樹.常將根樹看成家族樹，家族中成員之間的關(guān)系由下面的定義給出：20根樹的分類(1)T為有序根樹——同層上的頂點(diǎn)都標(biāo)定次序的根樹(2)根據(jù)根樹T中的每個(gè)分支點(diǎn)兒子數(shù)以及是否有序，可以將根樹分為下列各類：①r叉樹——每個(gè)分支點(diǎn)至多有r個(gè)兒子②r叉有序樹——r叉樹是有序的③r叉正則樹——每個(gè)分支點(diǎn)恰有r個(gè)兒子④r叉正則有序樹——又若r叉正則樹是有序的⑤r叉完全正則樹——樹葉層數(shù)相同的r叉正則樹⑥r(nóng)叉完全正則有序樹——又若r叉完全正則樹是有序的

2叉正則有序樹的每個(gè)分支點(diǎn)的兩個(gè)兒子導(dǎo)出的根子樹分別稱為該分支點(diǎn)的左子樹和右子樹。在所有的r叉樹中，最常用的是2叉樹。下面介紹2叉樹的應(yīng)用。21定義16.9

設(shè)2叉樹T有t片樹葉v1,v2,…,vt，權(quán)分別為w1,w2,…,wt，稱為T的權(quán)，其中l(wèi)(vi)是vi的層數(shù).在所有有t片樹葉，帶權(quán)w1,w2,…,wt的2叉樹中，權(quán)最小的2叉樹稱為最優(yōu)2叉樹.最優(yōu)二叉樹求最優(yōu)2叉樹的算法——Huffman算法給定實(shí)數(shù)w1,w2,…,wt，且w1w2…wt.（1）作t片樹葉,分別以w1,w2,…,wt為權(quán).（2）在所有入度為0的頂點(diǎn)(不一定是樹葉)中選出兩個(gè)權(quán)最小的頂點(diǎn),添加一個(gè)新分支點(diǎn),以這2個(gè)頂點(diǎn)為兒子,其權(quán)等于這2個(gè)兒子的權(quán)之和.（3）重復(fù)（2）,直到只有1個(gè)入度為0的頂點(diǎn)為止.W(T)等于所有分支點(diǎn)的權(quán)之和22例5求帶權(quán)為1,1,2,3,4,5的最優(yōu)樹.解題過(guò)程由下圖給出，W(T)=38最優(yōu)二叉樹的算法——Huffman算法23最佳前綴碼定義16.10設(shè)12…n-1n是長(zhǎng)度為n的符號(hào)串(1)前綴——該符號(hào)串的子串1,12,…,12…n1

(2)前綴碼——符號(hào)串集合A={1,2,…,m}中的任意兩個(gè)符號(hào)串都互不為前綴(3)二元前綴碼——i(i=1,2,…,m)中只出現(xiàn)兩個(gè)符號(hào)，如0與1.如何產(chǎn)生二元前綴碼？定理16.6一棵2叉樹產(chǎn)生一個(gè)二元前綴碼.推論一棵正則2叉樹產(chǎn)生惟一的一個(gè)二元前綴碼（按左子樹標(biāo)0，右子樹標(biāo)1）24一棵2元樹產(chǎn)生一個(gè)二元前綴碼:對(duì)每個(gè)分支點(diǎn),若關(guān)聯(lián)2條邊,則給左邊標(biāo)0,右邊標(biāo)1;若只關(guān)聯(lián)1條邊,則可以給它標(biāo)0(看作左邊),也可以標(biāo)1(看作右邊).將從樹根到每一片樹葉的通路上標(biāo)的數(shù)字組成的字符串記在樹葉處,所得的字符串構(gòu)成一個(gè)前綴碼，如右圖所示：樹的編碼：最優(yōu)2進(jìn)制編碼：使信息傳遞的2進(jìn)制數(shù)最短由最優(yōu)2叉樹產(chǎn)生的前綴碼為最佳前綴碼。用最佳前綴碼傳輸?shù)亩M(jìn)制位數(shù)最省。最佳前綴碼25圖所示二叉樹產(chǎn)生的前綴碼為{00,10,11,011,0100,0101}二叉樹產(chǎn)生的前綴碼26用Huffman算法產(chǎn)生最佳前綴碼例16.7在通信中，八進(jìn)制數(shù)字出現(xiàn)的頻率如下：0：25%1：20%2：15%3：10%4：10%5：10%6：5%7：5%求傳輸它們的最佳前綴碼，并求傳輸10n（n2）個(gè)按上述比例出現(xiàn)的八進(jìn)制數(shù)字需要多少個(gè)二進(jìn)制數(shù)字？若用等長(zhǎng)的（長(zhǎng)為3）的碼字傳輸需要多少個(gè)二進(jìn)制數(shù)字？27解用100個(gè)八進(jìn)制數(shù)字中各數(shù)字出現(xiàn)的個(gè)數(shù)，即以100乘各頻率為權(quán)，并將各權(quán)由小到大排列，得w1=5,w2=5,w3=10,w4=10,w5=10,w6=15,w7=20,w8=25。用Huffman算法求以頻率(乘以100)為權(quán)的最優(yōu)2叉樹。用此權(quán)產(chǎn)生的最優(yōu)2叉樹如下圖所示：求最佳前綴碼傳100個(gè)按比例出現(xiàn)的八進(jìn)制數(shù)字所需二進(jìn)制數(shù)字的個(gè)數(shù)為W(T)=285，傳10n(n2)個(gè)按比例出現(xiàn)的八進(jìn)制數(shù)字需要2.8510n個(gè)二進(jìn)制數(shù)字，用等長(zhǎng)碼(長(zhǎng)為3)傳輸需310n個(gè)二進(jìn)制數(shù)字.01-----011-----1001-----2100-----3101-----40001-----500000-----600001-----7它產(chǎn)生的最優(yōu)前綴碼28波蘭符號(hào)法與逆波蘭符號(hào)法行遍或周游根樹T——對(duì)根樹T的每個(gè)頂點(diǎn)訪問(wèn)且僅訪問(wèn)一次.對(duì)于2叉有序正則樹有以下三種周游方式：①中序行遍法——訪問(wèn)的次序?yàn)椋鹤笞訕洹⒏?、右子樹②前序行遍法——訪問(wèn)的次序?yàn)椋焊⒆笞訕?、右子樹③后序行遍法——訪問(wèn)的次序?yàn)椋鹤笞訕洹⒂易訕洹⒏鶎?duì)如右圖所示的根樹T（2叉有序正則樹）按中序、前序、后序行遍的周游結(jié)果分別為：

b

a(f

d

g)c

e，

a

b(c(d

f

g)e)，

b((f

g

d)e

c)a29用2叉有序正則樹存放算式存放規(guī)則最高層次運(yùn)算放在樹根然后依次將運(yùn)算符放在根子樹的根上數(shù)放在樹葉上規(guī)定：被除數(shù)、被減數(shù)放在左子樹樹葉上

算式((b+(c+d))a)((ef)(g+h)(ij))存放在如上圖所示的2叉有序正則樹上.30波蘭符號(hào)法波蘭符號(hào)法按前序行遍法訪問(wèn)存放算式的2叉有序正則樹，其結(jié)果不加括號(hào)，規(guī)定從右到左每個(gè)運(yùn)算符對(duì)它后面緊鄰的兩個(gè)數(shù)進(jìn)行運(yùn)算。在這種算法中，由于運(yùn)算符在它的兩個(gè)運(yùn)算對(duì)象之前，所以稱此種算法為前綴符號(hào)法或波蘭符號(hào)法.對(duì)下圖的訪問(wèn)結(jié)果為

b+c

d

a

e

f

+g

h

i

j

逆波蘭符號(hào)法按后序行遍法訪問(wèn)存放算式的2叉有序正則樹，其結(jié)果不加括號(hào)，規(guī)定從左到右每個(gè)運(yùn)算符對(duì)它前面緊鄰的兩個(gè)數(shù)進(jìn)行運(yùn)算。在這種算法中，由于運(yùn)算符在它的兩個(gè)運(yùn)算對(duì)象之后，所以稱此種算法為后綴符號(hào)法或逆波蘭符號(hào)法.對(duì)上圖的訪問(wèn)結(jié)果為b

c

d++a

e

f

g

h+i

j

31重點(diǎn)主要內(nèi)容無(wú)向樹及其性質(zhì)生成樹、最小生成樹、基本回路系統(tǒng)、基本割集系統(tǒng)根樹及其分類、最優(yōu)樹、二叉樹產(chǎn)生的前綴碼、最佳前綴碼、波蘭符號(hào)法、逆波蘭符號(hào)法基本要求深刻理解無(wú)向樹的定義及性質(zhì)熟練地求解無(wú)向樹準(zhǔn)確地求出給定帶權(quán)連通圖的最小生成樹深刻理解基本回路、基本割集的概念，并會(huì)計(jì)算理解根樹及其分類等概念熟練掌握求最優(yōu)樹及最佳前綴碼的方法掌握波蘭符號(hào)法與逆波蘭符號(hào)法32第十六章習(xí)題課主要內(nèi)容無(wú)向樹及其性質(zhì)生成樹、最小生成樹、基本回路系統(tǒng)、基本割集系統(tǒng)根樹及其分類、最優(yōu)樹、最佳前綴碼、波蘭符號(hào)法、逆波蘭符號(hào)法基本要求深刻理解無(wú)向樹的定義及性質(zhì)熟練地求解無(wú)向樹準(zhǔn)確地求出給定帶權(quán)連通圖的最小生成樹深刻理解基本回路、基本割集的概念，并會(huì)計(jì)算理解根樹及其分類等概念會(huì)畫n階（n較?。┓峭瑯?gòu)的無(wú)向樹及根樹（1n6）熟練掌握求最優(yōu)樹及最佳前綴碼的方法掌握波蘭符號(hào)法與逆波蘭符號(hào)法33（2）（3）從而解出練習(xí)11.無(wú)向樹T有ni個(gè)i度頂點(diǎn)，i=2,3,…,k，其余頂點(diǎn)全是樹葉，求T的樹葉數(shù).解用樹的性質(zhì)：邊數(shù)m=n1（n為階數(shù)），及握手定理.(1)342．設(shè)n階非平凡的無(wú)向樹T中，(T)

k，k1.證明T至少有k片樹葉.證反證法.否則，T至多有s片樹葉，s<k，下面利用握手定理及樹的性質(zhì)m=n1推出矛盾.由于(T)

k，故存在v0，d(v0)

k.于是，由此解出s

k，這與s<k矛盾.證本題的方法有多種，請(qǐng)用分支點(diǎn)都是割點(diǎn)來(lái)證明.練習(xí)2353．設(shè)G為n階無(wú)向簡(jiǎn)單圖，n5，證明G或中必含圈.本題的方法很多