[基礎(chǔ)題組練]1的最小值為( )1．(2020安·徽省六校聯(lián)考)若正實(shí)數(shù)x，y滿足x＋y＝2，則xyA．1B．2C．3D．4分析：選A.因?yàn)檎龑?shí)數(shù)x，y滿足x＋y＝2，（x＋y）22所以xy≤4＝2＝1，41所以xy≥1.2．以下選項(xiàng)中，正確的選項(xiàng)是()1的最小值為2A．x＋x44，x∈(0，π)B．sinx＋sinx的最小值為C．x2＋1的最小值為2D．4x(1－x)的最大值為1分析：選D.關(guān)于A，當(dāng)x<0時(shí)，x＋1<0，錯(cuò)誤；關(guān)于B，當(dāng)x∈(0，π)時(shí)，0<sinx≤1，x由基本不等式可得sinx＋4≥2sinx·4＝4，當(dāng)且僅當(dāng)sinx＝4，即當(dāng)sinx＝2sinxsinxsinx時(shí)，等號(hào)成立，這與0<sinx≤1矛盾，錯(cuò)誤；關(guān)于C，因?yàn)閤2≥0，x2＋1≥1，當(dāng)且僅當(dāng)x＝0時(shí)取等號(hào)，所以，x2＋1的最小值為1；4x(1－x)≤4·x＋1－x2關(guān)于D，由基本不等式可得＝1，當(dāng)且僅當(dāng)x＝1－x時(shí)，即當(dāng)x2＝1時(shí)，等號(hào)成立，正確．23．設(shè)x>0，則函數(shù)y＝x＋2－3的最小值為()2x＋121A．0B.23C．1D．2分析：選A.y＝x＋2－3＝x＋1＋1－2≥2x＋1·1－2＝0，當(dāng)且僅當(dāng)x2x＋122121x＋2x＋2＋1＝1，即x＝1時(shí)等號(hào)成立．所以函數(shù)的最小值為0.應(yīng)選A.212x＋24．若a>0，b>0，a＋b＝ab，則a＋b的最小值為()A．2B．4C．6D．8a＋b）2分析：選B.法一：因?yàn)閍＋b＝ab≤，所以a＋b≥4或a＋b≤0(舍去)，當(dāng)且4僅當(dāng)a＝b＝2時(shí)取等號(hào)，應(yīng)選B.1111ab≥2＋2＝4，當(dāng)且僅當(dāng)a法二：由題意，得＋＝1，所以a＋b＝(a＋b)(＋)＝2＋＋ababba＝b＝2時(shí)取等號(hào)，應(yīng)選B.法三：由題意知a＝bb＋b＝2＋b－1＋1≥2＋2＝4，當(dāng)且b－1(b>1)，所以a＋b＝b－1b－1僅當(dāng)a＝b＝2時(shí)取等號(hào)，應(yīng)選B.5．某公司一年購(gòu)買某種貨物600噸，每次購(gòu)買x噸，運(yùn)費(fèi)為6萬(wàn)元/次，一年的總儲(chǔ)存花費(fèi)為4x萬(wàn)元．要使一年的總運(yùn)費(fèi)與總儲(chǔ)存花費(fèi)之和最小，則x的值是．分析：一年購(gòu)買600次，則總運(yùn)費(fèi)與總儲(chǔ)存花費(fèi)之和為600×6＋4x＝4900＋xxxx900≥8x·x＝240，當(dāng)且僅當(dāng)x＝30時(shí)取等號(hào)，故總運(yùn)費(fèi)與總儲(chǔ)存花費(fèi)之和最小時(shí)x的值是30.答案：30x26．函數(shù)y＝x＋1(x>－1)的最小值為．分析：因?yàn)閥＝x2－1＋11＋1＝x＋1＋1－2(x>－1)，x＋1＝x－x＋1x＋1所以y≥21－2＝0，當(dāng)且僅當(dāng)x＝0時(shí)，等號(hào)成立．答案：07．(2020·湖南岳陽(yáng)期末改編)若a>0，b>0，且a＋2b－4＝0，則ab的最大值為，1＋2的最小值為．a(chǎn)b分析：因?yàn)閍>0，b>0，且a＋2b－4＝0，所以a＋2b＝4，所以ab＝1a·2b≤1×a＋2b2222時(shí)等號(hào)成立，所以ab的最大值為2，因?yàn)?＋2＝＝2，當(dāng)且僅當(dāng)a＝2b，即a＝2，b＝1ab12a＋2b＝15＋2b＋2a≥15＋2·2b2a9，所以1＋2＋·444·＝，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)等號(hào)成立ababab4ab的最小值為94.答案：2948．已知x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，求(1)xy的最小值；(2)x＋y的最小值．解：(1)由2x＋8y－xy＝0，得8x＋2y＝1，又x>0，y>0，82≥2828則1＝＋·＝.xyxyxy得xy≥64，當(dāng)且僅當(dāng)x＝16，y＝4時(shí)，等號(hào)成立．所以xy的最小值為64.82(2)由2x＋8y－xy＝0，得x＋y＝1，則x＋y＝8＋2·(x＋y)y＝10＋2x8y2x8y＋≥10＋2·＝18.yxyx當(dāng)且僅當(dāng)x＝12且y＝6時(shí)等號(hào)成立，所以x＋y的最小值為18.[綜合題組練]1．設(shè)a>0，若關(guān)于x的不等式a≥5在(1，＋∞)上恒成立，則a的最小值為()x＋x－1A．16B．9C．4D．2分析：選C.在(1，＋∞)上，x＋a＝(x－1)＋a＋1≥2（x－1）×a＋1x－1x－1（x－1）2a＋1(當(dāng)且僅當(dāng)x＝1＋a時(shí)取等號(hào))．由題意知2a＋1≥5，所以a≥4.1＋1＝1，則x＋y的最小值為( )2．(2020陜·西銅川一模)已知x>0，y>0，且x＋1y2A．3B．5C．7D．9分析：選C.因?yàn)閤>0，y>0.且1＋1＝1，所以x＋1＋y＝21＋1x＋1y2x＋1y(x＋1＋y)＝2(1＋1yx＋1yx＋1yx＋1＋x＋1＋y)≥22＋2x＋1·y＝8，當(dāng)且僅當(dāng)x＋1＝y(tǒng)，即x＝3，y＝4時(shí)取等號(hào)，所以x＋y≥7，故x＋y的最小值為7，應(yīng)選C.3．已知正實(shí)數(shù)x，y滿足x＋y＝1，①則x2＋y2的最小值為；②若1＋4≥a恒xy成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．分析：因?yàn)閤＋y＝1，所以xy≤x＋y21×2＝1，＝1，所以x2＋y2＝(x＋y)2－2xy≥1－24421所以x2＋y2的最小值為2.若a≤1＋4恒成立，則a小于等于1＋4的最小值，因?yàn)?＋4＝1＋4y＋4xxyxyxyxy(x＋y)＝5＋xy≥5＋2y×4x＝9，所以1＋4的最小值為9，所以a≤9，故實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－∞，9]．xyxy答案：1(－∞，9]21＋2＝1，則xy＋x＋y的最小值為．4．(2020洛·陽(yáng)市統(tǒng)考)已知x>0，y>0，且xy121