PAGEPAGE7直線(xiàn)與平面垂直的性質(zhì)【課時(shí)目標(biāo)】1．理解直線(xiàn)和平面垂直的性質(zhì)定理，并能用文字、符號(hào)和圖形語(yǔ)言描述定理．2．能夠靈活地應(yīng)用線(xiàn)面垂直的性質(zhì)定理證明相關(guān)問(wèn)題．3．理解并掌握“平行”與“垂直”之間的相互轉(zhuǎn)化．直線(xiàn)與平面垂直的性質(zhì)定理文字語(yǔ)言垂直于同一個(gè)平面的兩條直線(xiàn)________符號(hào)語(yǔ)言eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊥α))?________圖形語(yǔ)言作用①線(xiàn)面垂直?線(xiàn)線(xiàn)平行②作平行線(xiàn)一、選擇題1．下列說(shuō)法正確的是()A．若l上有無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)不在平面α內(nèi)，則l∥αB．若直線(xiàn)l與平面α垂直，則l與α內(nèi)的任一直線(xiàn)垂直C．若E、F分別為△ABC中AB、BC邊上的中點(diǎn)，則EF與經(jīng)過(guò)AC邊的所有平面平行D．兩條垂直的直線(xiàn)中有一條和一個(gè)平面平行，則另一條和這個(gè)平面垂直2．若M、n表示直線(xiàn)，α表示平面，則下列命題中，正確命題的個(gè)數(shù)為()①eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(m∥n,m⊥α))?n⊥α；②eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(m⊥α,n⊥α))?M∥n；③eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(m⊥α,n∥α))?M⊥n;④eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(m∥α,m⊥n))?n⊥α．A．1B．2C．33．已知直線(xiàn)PG⊥平面α于G，直線(xiàn)EF?α，且PF⊥EF于F，那么線(xiàn)段PE，PF，PG的大小關(guān)系是()A．PE>PG>PFB．PG>PF>PEC．PE>PF>PGD．PF>PE>PG4．PA垂直于以AB為直徑的圓所在平面，C為圓上異于A，B的任一點(diǎn)，則下列關(guān)系不正確的是()A．PA⊥BCB．BC⊥平面PACC．AC⊥PBD．PC⊥BC5．下列命題：①垂直于同一直線(xiàn)的兩條直線(xiàn)平行；②垂直于同一直線(xiàn)的兩個(gè)平面平行；③垂直于同一平面的兩條直線(xiàn)平行；④垂直于同一平面的兩平面平行．其中正確的個(gè)數(shù)是()A．1B．2C．36．在△ABC所在的平面α外有一點(diǎn)P，且PA＝PB＝PC，則P在α內(nèi)的射影是△ABC的()A．垂心B．內(nèi)心C．外心D．重心二、填空題7．線(xiàn)段AB在平面α的同側(cè)，A、B到α的距離分別為3和5，則AB的中點(diǎn)到α的距離為_(kāi)_______．8．直線(xiàn)a和b在正方體ABCD－A1B1C1D1的兩個(gè)不同平面內(nèi)，使a∥①a和b垂直于正方體的同一個(gè)面；②a和b在正方體兩個(gè)相對(duì)的面內(nèi)，且共面；③a和b平行于同一條棱；④a和b在正方體的兩個(gè)面內(nèi)，且與正方體的同一條棱垂直．9．如圖所示，平面ABC⊥平面ABD，∠ACB＝90°，CA＝CB，△ABD是正三角形，O為AB中點(diǎn)，則圖中直角三角形的個(gè)數(shù)為_(kāi)_______．三、解答題10．如圖所示，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，M是AB上一點(diǎn)，N是A1C的中點(diǎn)，MN⊥平面A求證：(1)MN∥AD1；(2)M是AB的中點(diǎn)．11．如圖所示，設(shè)三角形ABC的三個(gè)頂點(diǎn)在平面α的同側(cè)，AA′⊥α于A′，BB′⊥α于B′，CC′⊥α于C′，G、G′分別是△ABC和△A′B′C′的重心，求證：GG′⊥α．能力提升12．如圖，△ABC為正三角形，EC⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，CE＝CA＝2BD，M是EA的中點(diǎn)，N是EC的中點(diǎn)，求證：平面DMN∥平面ABC．13．如圖所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC⊥BC，AC＝BC＝CC1，M，N分別是A1B，B1C(1)求證：MN⊥平面A1BC；(2)求直線(xiàn)BC1和平面A1BC所成的角的大小．1．直線(xiàn)和平面垂直的性質(zhì)定理可以作為兩條直線(xiàn)平行的判定定理，可以并入平行推導(dǎo)鏈中，實(shí)現(xiàn)平行與垂直的相互轉(zhuǎn)化，即線(xiàn)線(xiàn)垂直?線(xiàn)面垂直?線(xiàn)線(xiàn)平行?線(xiàn)面平行．2．“垂直于同一平面的兩條直線(xiàn)互相平行”、“垂直于同一直線(xiàn)的兩個(gè)平面互相平行”都是真命題．但“垂直于同一直線(xiàn)的兩條直線(xiàn)互相平行”、“垂直于同一平面的兩個(gè)平面互相平行”都是假命題．2．3．3直線(xiàn)與平面垂直的性質(zhì)答案知識(shí)梳理平行a∥b作業(yè)設(shè)計(jì)1．B[由線(xiàn)面垂直的定義知B正確．]2．C[①②③正確，④中n與面α可能有：n?α或n∥α或相交(包括n⊥α)．]3．C[由于PG⊥平面α于G，PF⊥EF，∴PG最短，PF<PE，∴有PG<PF<PE．故選C．]4．C[PA⊥平面ABC，得PA⊥BC，A正確；又BC⊥AC，∴BC⊥面PAC，∴BC⊥PC，B、D均正確．∴選C．]5．B[由線(xiàn)線(xiàn)、線(xiàn)面垂直與平行的性質(zhì)知②③正確，選B．]6．C[設(shè)P在平面α內(nèi)的射影為O，易證△PAO≌△PBO≌△PCO?AO＝BO＝CO．]7．4解析由直線(xiàn)與平面垂直的性質(zhì)定理知AB中點(diǎn)到α距離為以3和5為上、下底的直角梯形的中位線(xiàn)的長(zhǎng)．8．①②③解析①為直線(xiàn)與平面垂直的性質(zhì)定理的應(yīng)用，②為面面平行的性質(zhì)，③為公理4的應(yīng)用．9．6解析由題意知CO⊥AB，∴CO⊥面ABD，∴CO⊥OD，∴直角三角形為△CAO，△COB，△ACB，△AOD，△BOD，△COD．10．證明(1)∵ADD1A1∴AD1⊥A1D．又∵CD⊥平面ADD1A1，∴CD⊥AD1∵A1D∩CD＝D，∴AD1⊥平面A1DC．又∵M(jìn)N⊥平面A1DC，∴MN∥AD1．(2)連接ON，在△A1DC中，A1O＝OD，A1N＝NC．∴ON綊eq\f(1,2)CD綊eq\f(1,2)AB，∴ON∥AM．又∵M(jìn)N∥OA，∴四邊形AMNO為平行四邊形，∴ON＝AM．∵ON＝eq\f(1,2)AB，∴AM＝eq\f(1,2)AB，∴M是AB的中點(diǎn)．11．證明連接AG并延長(zhǎng)交BC于D，連接A′G′并延長(zhǎng)交B′C′于D′，連接DD′，由AA′⊥α，BB′⊥α，CC′⊥α，得AA′∥BB′∥CC′．∵D、D′分別為BC和B′C′的中點(diǎn)，∴DD′∥CC′∥BB′，∴DD′∥AA′，∵G、G′分別是△ABC和△A′B′C′的重心，∴eq\f(AG,GD)＝eq\f(A′G′,G′D′)，∴GG′∥AA′，又∵AA′⊥α，∴GG′⊥α．12．證明∵M(jìn)、N分別是EA與EC的中點(diǎn)，∴MN∥AC，又∵AC?平面ABC，MN?平面ABC，∴MN∥平面ABC，∵DB⊥平面ABC，EC⊥平面ABC，∴BD∥EC，四邊形BDEC為直角梯形，∵N為EC中點(diǎn)，EC＝2BD，∴NC綊BD，∴四邊形BCND為矩形，∴DN∥BC，又∵DN?平面ABC，BC?平面ABC，∴DN∥平面ABC，又∵M(jìn)N∩DN＝N，∴平面DMN∥平面ABC．13．(1)證明如圖所示，由已知BC⊥AC，BC⊥CC1，得BC⊥平面ACC1A1連接AC1，則BC⊥AC1．由已知，可知側(cè)面ACC1A1是正方形，所以A1C⊥AC又BC∩A1C所以AC1⊥平面A1BC．因?yàn)閭?cè)面ABB1A1是正方形，M是A1B的中點(diǎn)，連接AB1，則點(diǎn)M是AB1又點(diǎn)N是B1C1的中點(diǎn)，則MN是△AB1C1的中位線(xiàn)，所以MN∥AC1．故MN⊥平面A(2)解如圖所示，因?yàn)锳C1⊥平面A1BC，設(shè)AC1與