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1一、基本概念觀察以下曲面的側(cè)(假設(shè)曲面是光滑的)上側(cè)和下側(cè)內(nèi)側(cè)和外側(cè)左側(cè)和右側(cè)2曲面的分類(lèi):1.雙側(cè)曲面;2.單側(cè)曲面.典型雙側(cè)曲面3莫比烏斯帶典型單側(cè)曲面:4曲面法向量的指向決定曲面的側(cè).決定了側(cè)的曲面稱(chēng)為有向曲面.有向曲面的投影問(wèn)題:5二、概念的引入實(shí)例:流向曲面一側(cè)的流量.671.分割則該點(diǎn)流速為.單位法向量為.83.求和94.取極限10三、概念及性質(zhì)11被積函數(shù)積分曲面類(lèi)似可定義12存在條件:組合形式:物理意義:13性質(zhì):14四、計(jì)算法1516注意(1)對(duì)坐標(biāo)的曲面積分,必須注意曲面所取的側(cè).17解1819其中是旋轉(zhuǎn)拋物面

取下側(cè)。

解：在xoy面投影域?yàn)槿〉姆较驗(yàn)橄聜?cè)，其中：把分成兩部分：20取前側(cè)；取后側(cè)。2122例3.

計(jì)算積分其中是以原點(diǎn)為中心,邊長(zhǎng)為

a

的正立方體的整個(gè)表面的外側(cè).解:

由被積表達(dá)式及積分曲面的對(duì)稱(chēng)性知原式的頂部取上側(cè)的底部取下側(cè)23五、兩類(lèi)曲面積分之間的聯(lián)系242526兩類(lèi)曲面積分之間的聯(lián)系27向量形式28例4.設(shè)是其外法線(xiàn)與z軸正向夾成的銳角,計(jì)算解:29解303132六、小結(jié)1、物理意義2、計(jì)算時(shí)應(yīng)注意以下兩點(diǎn)曲面的側(cè)“一投,二代,三定號(hào)”3334莫比烏斯帶典型單側(cè)曲面:35典型單側(cè)曲面:莫比烏斯帶36典型單側(cè)曲面:莫比烏斯帶37典型單側(cè)曲面:莫比烏斯帶38典型單側(cè)曲面:莫比烏斯帶39典型單側(cè)曲面:莫比烏斯帶40典型單側(cè)曲面:莫比烏斯帶41典型單側(cè)曲面:莫比烏斯帶42典型單側(cè)曲面:莫比烏斯帶43典型單側(cè)曲面:莫比烏斯帶44典型單側(cè)曲面:莫比烏斯帶45典型單側(cè)曲面:莫比烏斯帶46典型單側(cè)曲

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