第4篇波動(dòng)光學(xué)第十四章光的衍射

2一.光的衍射現(xiàn)象saE

幾何陰影區(qū)

幾何陰影區(qū)

光在傳播過(guò)程中遇到障礙物，能夠繞過(guò)障礙物的邊緣偏離直線傳播，并且光強(qiáng)重新分布的現(xiàn)象稱為衍射現(xiàn)象?！?4.1光的衍射現(xiàn)象

惠更斯－菲涅耳原理

縫寬3

波振面上任何一點(diǎn)都是發(fā)射子波的波源，各子波在空間某點(diǎn)相干疊加，就決定了該點(diǎn)波的強(qiáng)度?！ぁdE(P)rQdSS(波前)設(shè)初相為零nK():方向因子P點(diǎn)的振動(dòng)為合振動(dòng)：二.惠更斯－菲涅耳原理P點(diǎn)的振幅4*

衍射的分類菲涅耳衍射夫瑯和費(fèi)衍射光源—障礙物—接收屏距離為有限遠(yuǎn)。光源—障礙物—接收屏距離為無(wú)限遠(yuǎn)。平行光衍射光源障礙物接收屏光源障礙物接收屏5P1.實(shí)驗(yàn)裝置

屏幕中心為中央明紋，兩側(cè)對(duì)稱分布著其他明暗條紋，這是縫處波陣面上(連續(xù)的)無(wú)窮多子波發(fā)出的光的相干疊加的結(jié)果。AB=a

為縫寬：衍射角§14.2單縫夫瑯和費(fèi)衍射SfafBA透鏡L1單縫透鏡L2觀察屏o62.菲涅耳半波帶法

P

o

fa

fS

B

A

透鏡L1單縫

透鏡L2

觀察屏

——中央明紋(中心)A→P和B→P的光程差P點(diǎn)(衍射角),該束光線的最大光程差為:d72

相鄰波帶上對(duì)應(yīng)點(diǎn)發(fā)出的平行光線會(huì)聚時(shí)的光程差都是/2，因而總是相干相消。由此得出結(jié)論：

兩個(gè)相鄰波帶所發(fā)出的光線會(huì)聚于屏幕上時(shí)全部干涉相消。如果單縫被分成偶數(shù)個(gè)半波帶，屏幕上對(duì)應(yīng)點(diǎn)P出現(xiàn)暗紋;如果單縫被分成奇數(shù)個(gè)半波帶，于是屏幕上對(duì)應(yīng)點(diǎn)P出現(xiàn)亮紋.

這些平面把縫上的波振面就分割成許多等寬的窄帶——菲涅耳半波帶。22ABaC

平行于AC作一系列相距/2的平面,??????8

綜上所述，單縫衍射明暗紋的中心位置是:暗紋

(k=1,2,3,…)亮紋

(k=1,2,3,…)零級(jí)(中央)亮紋直線條紋波帶數(shù)注意：1.k與波帶數(shù)的關(guān)系2.明暗…3.k≠0afoPABC*S93.振幅矢量疊加法(定量)相鄰兩波帶發(fā)出的子波到達(dá)P點(diǎn)的光程差：相位差為：將a劃分為N個(gè)等寬的狹窄波帶，設(shè)每個(gè)波帶發(fā)出的子波在P點(diǎn)引起的光振動(dòng)的振幅近似相等，即10

根據(jù)惠更斯－菲涅耳原理，P點(diǎn)合振動(dòng)的振幅等于這N個(gè)振幅相等、相差依次為的光振動(dòng)的疊加，如圖所示。θθθθθθθθ11則令合振幅：——P點(diǎn)合振動(dòng)的振幅12與半波帶法所得結(jié)論一致①在=0處，

=0，

則I=I0，光強(qiáng)最大，即中央亮紋；②當(dāng)

=±k,

k=1,2,3…時(shí)，sin

=0則I=0，光強(qiáng)最小，為暗紋；此時(shí)③其他各級(jí)亮紋的位置：令得與半波帶法所得結(jié)論略有差異13

中央明紋又亮又寬(約為其它明紋寬度的2倍)。中央兩旁，明紋的亮度隨著級(jí)次的增大迅速減小。這是由于k越大，分成的波帶數(shù)越多,而未被抵消的波帶面積越小的緣故。(1)光強(qiáng)分布sin相對(duì)光強(qiáng)曲線1.0oaa2a2a圖15-64.條紋特點(diǎn):14(2)中央亮紋寬度：兩個(gè)第一級(jí)暗紋間的距離稱為中央亮紋的寬度1是第一級(jí)暗紋中心對(duì)應(yīng)的角位置也稱為中央亮紋半角寬度：

中央亮紋的線寬度：其它各級(jí)明條紋的寬度為中央明條紋寬度的一半。λΔxIx1x2衍射屏透鏡觀測(cè)屏Δx0

f115(4)波長(zhǎng)對(duì)條紋寬度的影響(3)縫寬對(duì)條紋的影響當(dāng)a一定時(shí)條紋在屏幕上的位置與波長(zhǎng)成正比，如果用白光做光源，中央為白色明條紋，其兩側(cè)各級(jí)都為彩色條紋。該衍射圖樣稱為衍射光譜。當(dāng)，各級(jí)條紋全部并入中央條紋，形成單一的明條紋,這是光直線傳播的結(jié)果，即衍射現(xiàn)象消失。幾何光學(xué)是波動(dòng)光學(xué)在a>>

時(shí)的極限情況?？p寬a越小，衍射現(xiàn)象越明顯。——衍射反比定律16例1

波長(zhǎng)為的單色光垂直入射到一狹縫上，若第一級(jí)暗紋對(duì)應(yīng)的衍射角為30°，求狹縫的縫寬及對(duì)應(yīng)此衍射角狹縫的波陣面可分為幾個(gè)半波帶。解:

由單縫的暗紋條件：k=1,

=30°,算得：a=2

。

(半)波帶數(shù)=(半)波帶數(shù)

若不知某處是明紋還是暗紋，則計(jì)算波帶數(shù)的方法是：2k=2。17例2單縫衍射，a=0.6mm透鏡焦距f=40cm,可見(jiàn)光垂直入射。在屏上x(chóng)=1.4mm處觀察到明紋極大。求入射光波長(zhǎng)及該處衍射條紋的級(jí)次。解:k=11=14000?k=22=8400?k=33=6000?k=44=4667?即在x=1.4mm處兩種波長(zhǎng)光的亮紋重疊橙色第3級(jí)7個(gè)半波帶青色第4級(jí)9個(gè)半波帶x

f明紋：18例3已知一雷達(dá)位于路邊d=15m處，射束與公路成15°，天線寬度a=0.20m，射束波長(zhǎng)=30mm。求：該雷達(dá)監(jiān)視范圍內(nèi)公路長(zhǎng)L=?解：將雷達(dá)波束看成是單縫衍射的中央亮紋。由：如圖：可以將雷達(dá)天線看成是發(fā)出衍射波的單縫，考慮到雷達(dá)距離公路較遠(yuǎn),故可按夫瑯禾費(fèi)衍射作近似計(jì)算。daβLθ11519a12AB例4設(shè)有一單色光斜射到寬度為a的單縫上，求單縫衍射明暗紋的中心位置。各級(jí)明、暗紋的中心位置：a(sin+sin)=DC光線1與2的光程差為：BD+CB=asin+asin(規(guī)定：衍射光在縫法線上側(cè)，取“+”，下側(cè)取“-”)解：（k=1,2,……）暗紋=-零級(jí)亮紋亮紋20*14.3圓孔衍射光學(xué)儀器的分辨本領(lǐng)相對(duì)光強(qiáng)曲線I圓孔直徑D一.小圓孔的夫瑯和費(fèi)衍射愛(ài)里斑的半角寬度：愛(ài)里斑21二.光學(xué)成像儀器的分辨本領(lǐng)幾何光學(xué)：一個(gè)點(diǎn)通過(guò)透鏡成像于一點(diǎn)。衍射觀點(diǎn)：一個(gè)點(diǎn)通過(guò)透鏡形成衍射圖樣。..0.81.0不能分辨恰能分辨

瑞利判據(jù):

若一個(gè)點(diǎn)光源的衍射圖樣的中央最大處恰好與另一點(diǎn)光源衍射圖樣的第一極小處相重合,則這兩個(gè)點(diǎn)光源恰能被分辨。..22

光學(xué)儀器的最小分辨角—恰能分辨時(shí)兩光點(diǎn)對(duì)透鏡中心所張的角(即為愛(ài)里斑的半角寬度):分辨率為

對(duì)望遠(yuǎn)鏡，不變，盡量增大透鏡孔徑D，以提高分辨率。90年哈勃太空望遠(yuǎn)鏡直徑達(dá)2.4米。對(duì)顯微鏡主要通過(guò)減小波長(zhǎng)來(lái)提高分辨率。榮獲1986年諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)的掃描隧道顯微鏡最小分辨距離已達(dá)0.01?，能觀察到單個(gè)原子的運(yùn)動(dòng)圖像。S1S2透鏡L透鏡直徑D23例題

通常亮度下,人眼瞳孔的直徑D=3mm，同學(xué)們最多坐多遠(yuǎn)，才不會(huì)把黑板上寫(xiě)的相距1cm的等號(hào)“=”號(hào)看成是減號(hào)“”？解只需“=”號(hào)對(duì)人眼所張的角最小分辯角就行。取=5500?，有(人眼的最小分辯角)由上式算得：d=45.5m。人眼dL等號(hào)24反射光柵透射光柵§14.4光柵衍射一.光柵

大量等寬等間距的平行狹縫(或反射面)構(gòu)成的光學(xué)元件。dda是透光(或反光)部分的寬度d=a+b

光柵常數(shù)b是不透光(或不反光)部分的寬度種類：25設(shè)平行光線垂直入射。每條狹縫有衍射，縫間光線還有干涉，光柵衍射圖樣是是單縫衍射和多縫干涉的總效果?？梢宰C明：屏上合成光強(qiáng)=縫間干涉光強(qiáng)×單縫衍射光強(qiáng)二.平面透射光柵的衍射1.多光束干涉

設(shè)衍射角為的光束經(jīng)透鏡會(huì)聚在屏上的P點(diǎn)，任意相鄰兩光束到達(dá)P點(diǎn)的光程差：(a+b)sind=(a+b)oPEfabP26(a+b)sind=(a+b)oPEfab(1)明紋(主極大)條件：(k=0,1,2,…)此時(shí)縫間干涉加強(qiáng)，對(duì)應(yīng)主極大亮紋。上式稱為光柵方程。根據(jù)干涉理論，當(dāng)NAiAi(N為光柵的總縫數(shù))相位差:振幅矢量圖:P點(diǎn)合振動(dòng)的振幅:光強(qiáng):光程差：27得：

和N－2個(gè)次極大。當(dāng)N

很大時(shí)，在主極大明條紋之間實(shí)際上形成一片相當(dāng)暗的背底。(2)暗紋條件：如果N束衍射光在P點(diǎn)的光振動(dòng)的振幅首尾連接成一閉合多邊形，則P點(diǎn)的光振動(dòng)的合振幅為零。即這時(shí)N束衍射光在P點(diǎn)干涉相消，P點(diǎn)為暗紋。A2A3A4A5A6A1相鄰主極大間有N－1個(gè)暗紋282.單縫衍射縫數(shù)愈多，亮紋愈細(xì)。0Ii-2-112單縫衍射光強(qiáng)(asin)/lk=(a)(dsin)/l04-8-48多縫干涉光強(qiáng)

亮紋(主極大)k=(b)IN2I0單048-4-8dsin(l/d)單縫衍射

輪廓線光柵衍射光強(qiáng)曲線k=(dsin)/l(c)29(2)主極大亮紋出現(xiàn)缺級(jí)現(xiàn)象單縫衍射暗紋：縫間干涉明紋：為整數(shù)時(shí)，會(huì)出現(xiàn)缺級(jí)：(1)各主極大亮紋的強(qiáng)度受到單縫衍射的調(diào)制。IN2I0單048-4-8dsin(l/d)單縫衍射

輪廓線光柵衍射光強(qiáng)曲線k=(dsin)/l圖15-10(c)30綜上所述，光柵衍射是N縫干涉和N個(gè)單縫衍射的總效果，衍射圖樣的特點(diǎn):在黑暗的背景上顯現(xiàn)窄細(xì)明亮的譜線(N越大譜線越細(xì)越亮)，且各級(jí)亮紋強(qiáng)度不同，還可能出現(xiàn)缺級(jí)。如果用白光照射光柵,由光柵方程

dsin=±k

,(k=0,1,2,…)可知,同一級(jí)譜線中，不同波長(zhǎng)的譜線出現(xiàn)在不同的角處(中央零級(jí)除外),由中央向外按波長(zhǎng)由短到長(zhǎng)的次序分開(kāi)排列，形成顏色的光帶—光柵光譜。這就是光柵的色散特性。3.光柵光譜k=0k=1k=2k=3k=-1k=-2k=-331例5

波長(zhǎng)=6000?的單色平行光垂直照射光柵，發(fā)現(xiàn)兩相鄰的主極大分別出現(xiàn)在sin1=0.2和sin2=0.3處，而第4級(jí)缺級(jí)。求：(1)光柵常數(shù)d=？

(2)最小縫寬a=？

(3)屏上實(shí)際呈現(xiàn)的全部級(jí)別和亮紋條數(shù)。解：(1)由題意有

dsin1=k,dsin2=(k+1)于是求得光柵常數(shù)=10=6×10-6m(2)因第4級(jí)缺級(jí)，由缺級(jí)公式：=4，取k′=1(因要a最小)32求得：a=d/4

=1.5×-6m由光柵方程：

dsin

=k

最大k對(duì)應(yīng)

=90°，于是

kmax=d/=10缺級(jí)：屏上實(shí)際呈現(xiàn)

0，±1，±2，±3，±5，±6，±7，±9級(jí)，15條亮紋(±10在無(wú)窮遠(yuǎn)處，看不見(jiàn))。opEfab(3)屏上實(shí)際呈現(xiàn)的全部級(jí)別和亮紋條數(shù):33例6一雙縫，縫距d=0.40mm，兩縫寬度都是a=0.08mm,用波長(zhǎng)為=4800?的平行光垂直照射雙縫，在雙縫后放一焦距f=2.0m的透鏡，求：(1)在透鏡焦平面處的屏上，雙縫干涉條紋的間距x；(2)在單縫衍射中央亮紋包跡內(nèi)可能出現(xiàn)的主極大亮紋數(shù)目。第k級(jí)亮紋在屏上的位置：相鄰亮紋的間距：(1)雙縫干涉第k級(jí)亮紋條件：ad

f透鏡λP

解:34(2)衍射的影響：?jiǎn)慰p衍射中央明紋寬度:IN2I0單048-4-8單縫衍射輪廓線應(yīng)缺±5±10…等級(jí)在單縫衍射中央亮紋范圍內(nèi)，雙縫干涉亮紋數(shù)目為：又因等9條35例7一個(gè)每厘米刻有4000條縫的光柵，在白光垂直照射下，可以產(chǎn)生多少完整的光譜？問(wèn)哪一級(jí)光譜中的哪個(gè)波長(zhǎng)的光開(kāi)始與其它譜線重疊？

解:根據(jù)光柵方程對(duì)第k級(jí)光譜，要產(chǎn)生完整的光譜，必須滿足由:36得：只有k=1才滿足上式，所以只能產(chǎn)生一個(gè)完整的可見(jiàn)光譜，而第二級(jí)和第三級(jí)光譜即有重疊出現(xiàn)。

設(shè)第二級(jí)光譜中波長(zhǎng)為的光與第三級(jí)中紫光開(kāi)始重疊，這樣(白)0級(jí)1級(jí)2級(jí)-2級(jí)-1級(jí)3級(jí)-3級(jí)37解：(1)光柵常數(shù)為例8用每毫米刻有500條紋的光柵，觀察鈉光譜線=589.3nm。問(wèn)(1)平行光線垂直入射時(shí)；(2)平行光線以入射角i=30°入射時(shí),最多能看見(jiàn)第幾級(jí)條紋？總共有多少條條紋？得：k只能取整數(shù)，故取k=3,即能看到第三級(jí)條紋。根據(jù)光柵方程共7條明紋。38(2)如平行光以i角入射時(shí)，光程差的計(jì)算公式應(yīng)做適當(dāng)?shù)恼{(diào)整,如圖所示。斜入射時(shí)的光柵方程為d(sin-

sini)=±k,k=0,1,2,...oPEfabi21在o點(diǎn)上方觀察到的最大級(jí)次為k1m，取=90o得而在o點(diǎn)下方觀察到的最大級(jí)次為k2m，取=-90o

得所以斜入射時(shí)，總共有7條明紋，即(+1、0、-1、-2、-3、-4、-5)39三.光柵的分辨本領(lǐng)由光柵方程和暗紋方程:是恰能分辨的兩條譜線的波長(zhǎng)差,是兩條譜線的平均波長(zhǎng)。表征光柵性能的主要技術(shù)指標(biāo)就是光柵的分辨本領(lǐng)，定義為：怎樣才算是恰能分辨？(瑞利判據(jù))得到:40一.X射線的產(chǎn)生-KAX射線X射線管+X射線