第4章

MEMS設計中的尺度效應

ScalinglawsofMEMS尺度的基本概念剛體動力學中的尺度靜電力中的尺度電磁力中的尺度電學尺度問題流體力學的尺度問題熱傳遞的尺度問題AMEMSdesignerneedstobeawareofanumberofwiderangingissuesandcannotrelysolelyonmacroworldengineeringexperiencesandtrainingwhenconsideringtheimplementationofaMEMSdesign.Systemparameterswillchangeinrelativeimportanceasthesystemscaleisreduced.ScalinglawsistheveryfirstthingthatanyengineerwoulddointhedesignofMEMSandmicrosystems.MEMS不僅指以微型化為基本特征,更重要的是,MEMS具有自身獨特的理論基礎。微器件中的物理量和機械量等在微觀狀態(tài)下呈現出異于傳統機械的特有規(guī)律,這種變化可被定義成廣義尺度效應,即通常所說的尺寸效應。在微觀領域,與特征尺寸的高次方成比例的慣性力、電磁力等的作用相對減小,而與特征尺寸的低次方成比例的彈性力、表面張力和靜電力的作用顯著,表面積與體積之比增大,因而微機械中常常采用靜電力作為驅動力。尺寸效應對MEMS的影響：在當前MEMS所能達到的尺度下，宏觀世界基本的物理規(guī)律仍然起作用，但由于尺寸縮小帶來的影響，許多物理現象與宏觀世界有很大區(qū)別，相應物理量的作用可能發(fā)生急劇變化，而且與尺寸不一定成線性關系。原先在宏觀結構中占主導作用的物理量在微結構和器件中的作用可能下降，而另一些次要作用力卻上升到主導地.以尺度效應作為MEMS理論基礎的主要研究內容

既可以突出研究重點—構件的微型化,又給出了MEMS所涉及各學科之間的聯系,即微型化的構件產生的效應使其具有自身獨特的性能,導致在各學科領域產生新的問題。研究MEMS設計中的尺寸效應主要解決三個問題。首先,充分認識哪些宏觀領域理論可以沿用,這些理論所占比例有多大,是否起著重要作用。第二,了解隨著特征尺寸的不斷減小,在宏觀領域不太明顯的量,在微觀領域其相對作用顯著增強,如靜電力和表面張力等。第三,研究宏觀理論對哪些量不再適用,如介質連續(xù)性理論在微觀領域不成立，需要重新修正。這些問題可以采用傳統方法來研究解決,即實驗、計算機模擬仿真和理論建模。1.尺度的基本概念尺度問題的基本意義本章介紹尺度的目的在于提供一些可供選擇的尺度規(guī)律，使設計者意識到縮小機器和器件尺度所帶來的物理后果；并使其明白，一些微型化在物理上是行不通的，或者在經濟上是沒有意義的。用于微系統的設計尺度規(guī)律第一種規(guī)律是嚴格依據物體的尺寸，如幾何結構的尺度。這類物體的行為由物理定律所決定。第二種尺度規(guī)律涉及微系統的現象行為尺度，考慮到系統的尺寸和材料特性。微系統設計中常涉及的物理量：體積：體積與器件的質量和重量有關表面積：表面特性與流體力學中的壓力和浮力有關,與對流熱傳導中固體熱吸收和耗散有關。

在一個尺度減小的過程中，同等地減小一個物體的體積和表面積是不可能實現的。下圖是一個實心長方體的例子。a>b>c，體積V=abc，表面積S=2×(ac+bc+ab)。如果l代表一個固體的線性因次，

那么體積V∝l3

，表面積S∝l2

，So,anelephantcanneverflyaseasilyasadragonfly!!Sincevolume,Vrelatestomassandsurfacearea,

Srelatestobuoyancyforce:例題4-1計算當尺寸減小50％的情況下轉動微鏡所需扭矩的減小量。鏡的安裝和尺寸如圖4-1所示。解：沿y-y軸轉動微鏡所需的扭矩與微鏡的慣性質量Iyy有關，表達式為：式中M為鏡的質量，c為鏡的寬度由鏡的質量M=ρV=ρ(bct)，ρ為鏡子材料的質量密度，鏡子的慣性質量：當尺寸減小50％時，鏡子的慣性質量矩為：通過上面的簡單的計算可知：慣性質量矩減小了32倍，因此當尺寸減小50％時，轉動鏡子所要求的轉矩也減小了32倍。2.剛體動力學中的尺度Trimmer力尺度向量Trimmer力尺度向量Trimmer提出一個代表力尺度的矩陣（通稱為力尺度向量F

），這個矩陣與描述系統運動尺度的加速度a、時間t和功率密度P/V0等參數有密切關系。力尺度向量定義為根據上式可得加速度a時間t功率密度P/V0

由W＝F×s、P＝W/t得功率密度可表示為

建立功率密度與力尺度矢量的關系為

由上列一系列的公式，可得出一系列的剛體動力學的尺度效應，如表所示。階力尺度F加速度a時間t功率密度P/V01l1l-2l1.5l-2.52l2l-1l1l-13l3l0l0.5l0.54l4l1l0l2例題4-2當MEMS器件減小10倍時，計算加速度a，時間t和驅動能源的相應變化。

解：已知重量：W∝l3

意味表4.1中的三階。從表格中可得：1）加速度沒有減小(l0)2）完成運動的時間減小(l)0.5=(10)0.5=3.163）功率密度將減小(l)0.5=3.16。功耗的減小為P=3.16V0。由于器件的體積減小10倍，在尺寸縮小后功耗將減小P=3.16/10=0.3倍。3.靜電力中的尺度靜電勢能的尺度規(guī)律靜電力的尺度規(guī)律(1)研究靜電勢能的尺度規(guī)律如圖的平行板電勢能為

ε0是介電常數

εr是相對介電常數

V是擊穿電壓根據Paschen(帕邢定律)效應，平行板的擊穿電壓V隨兩平板的間隙變化而變化。該效應如圖所示。從圖可知：當d<5μm時，隨間隙增加電壓V急劇下降當d>5μm時，V下降趨勢明顯減緩當d≈10μm時，電壓的變化改變方向當d>10μm時，隨間隙增加電壓成線性增加當工作范圍d>10μm時，可知所加的電壓V∝d，ε0、εr∝l0?？砂咽街徐o電勢能的尺度表達為(2)研究靜電力的尺度規(guī)律在平行板排列的三個方向上可產生靜電力。這些力的表達式如下：三個力的分量Fd，FW和FL∝(l2)，則靜電力在表中的力尺度是2階的。例題如圖所示，如果平行板的長L和寬W都減小10倍，求一對平行板電極產生的靜電力的減小。解：當平板電極沒充電時保持間隙為d。因此，由靜電力分量的表達式，可得出各自的靜電力分量：法向力分量Fd∝l2沿寬度方向的力分量FW∝l2沿長度方向的力分量FL∝l2

即，靜電力在三個方向上減小(10)2=100倍4.電磁力的尺度本節(jié)主要介紹電磁力的尺度問題，解釋為什么大部分的微馬達和致動器都采用靜電驅動，盡管在大多數宏觀機器中主要采用電磁力驅動。原因：電磁力不象靜電力那樣容易按比例縮小微器件中沒有足夠的空間容納一定的線圈來產生足夠的驅動磁場對于磁通量為φ的磁場中的帶電導體，N匝線圈產生的電動勢為由電磁學可得或產生的電磁力為恒定電流流動情況，則電磁力表示為由電磁力表達式和i∝l2，得電磁力的尺度為

F∝(l2)(l2)=l4reducingthewirelengthbyhalf(1/2)resultinreductionofFby24=16times,ThisisthereasonwhyelectromagneticforcesareNOTcommonlyusedinMEMSandmicrosystemsaspreferredactuationforce.5.電學中的尺度電是MEMS和微系統的主要能源電主要應用在許多微系統的靜電、壓電、熱阻加熱驅動上電在微系統中的應用電動力泵機電轉換電的尺度規(guī)律是一個很重要的設計問題從物理規(guī)律得出電的尺度規(guī)律：電阻：ρ、L和A分別是電阻率、長度和導體的橫截面積電阻功率損失：其中V是所加電壓∝(l)0電場能：其中ε為電介質的介電系數∝(l)0

E是電場強度∝(l)-1

由電阻功率損失的表達式可知，由于材料的電阻引起的功率損失服從一階定律，即P∝l1對一個帶有電源的系統，可獲得的電源與系統的體積直接有關，即Eav∝(l)3功率損失與可用能量的比率為式中說明了能量供給系統尺度減少時的缺點：

電源尺度減小10倍會導致電阻增加，從而引起100倍的功率損失。結論：從上面可知：尺寸(l)減小10倍將會導致電磁力減小104=10000倍。靜電力的減小只是線性尺度減小的100倍。因此可得出結論，電磁力在尺度方面不利的減小是靜電力的100倍6.流體力學尺度問題本節(jié)主要講述：為什么毛細流動不能隨意按比例縮小在微流動中什么可較好地替代毛細流動如圖中的粘度表示為μ為流體的動態(tài)粘度Rs=Vmax/h為剪切速率剪應力τ=Fs/AFs為剪力。例題當圓管的半徑減小10倍，應用尺度規(guī)律求解其體積流量和壓降。并觀察此例的結果。解：由Q∝a4（a為管的直徑）得體積流量減小104＝10000倍由ΔP/L∝a-2得單位長度壓降提高102＝100倍結論：當管的半徑減小10倍時，單位長度的管壓降將提高100倍。上述分析表明在微米和亞微米尺度下，由于流體流動的尺度減小所引起的不利情況需要尋找新的原理代替?zhèn)鹘y的容積驅動。這些新原理包括壓電、電滲、電濕潤和電液力驅動。7.熱傳遞中的尺度微系統的熱傳遞常采用傳導和對流的形式，本節(jié)將對這兩種模式的熱傳遞的尺度進行綜述本節(jié)將給出兩個范圍的尺度規(guī)律：一個用于介觀和微觀一個用于亞微米(1)熱傳導中的尺度

熱通量尺度

固體中的熱傳導符合傅立葉定律，對于一維x坐標方向的熱傳導，有其中：qx是沿x方向的熱通量；k是固體熱率，T(x,y,z,t)為固體在直角坐標系下，時刻為t時的溫度場。更一般的固體熱導率的形式為由式可知，對于固體介觀和微觀的熱傳導，其尺度規(guī)律為從這個尺度規(guī)律中可看出，尺度的減小將導致固體中整個熱流量的減小。固體在亞微米尺度內熱流的尺度規(guī)律可通過合并上面兩個式子得到在亞微米尺度內熱導率的尺度由固體在亞微米尺度內熱流的尺度規(guī)律可得固體熱傳導時間的尺度例題固體的尺寸減小10倍時1）求總熱流的變化和所需的導熱時間；2）如果這個固體處于亞微米尺度，總熱流和傳熱時間將發(fā)生什么變化？解：1）根據固體在亞微米尺度內熱流的尺度規(guī)律和熱傳導時間的尺度規(guī)律，當固體的尺寸減小10倍時，總熱流的變化和所需的導熱時間都減小(10)2=100倍2）在亞微米尺度內，當固體的線性尺度減小10倍，總熱流Q和熱流時間都減小(10)2=100倍（2）熱對流中的尺度介觀和微觀范圍內對流熱傳遞的尺度從圖5.23可知，邊界層出現在固體與液體的界面處。流體中熱傳遞是以對流的方式，表達式為(5-40)由第五章可知，熱傳遞系數主要與流體速度有關，與熱流的尺度關系并不重要。根據上式，熱流總量主要與橫截面積A有關，而面積的階次為l2。因此，可得出流體在介觀和微觀范圍對流熱傳遞的尺度為Q∝(l2)。