第十一章梁和結構的位移11-1概述11-2梁的撓曲線近似微分方程及其積分11-3疊加法11-4單位荷載法11-5圖乘法11-6線彈性體的互等定理11-7結構的剛度校核11-1概述1．研究的對象：微小、彈性變形情況下，靜定梁和靜定結構的位移計算。2．計算位移的目的：（1）剛度驗算——變形符合使用要求（2）超靜定結構內力分析——變形條件“鳥巢”-國家體育場整個卸載工作將拆除鳥巢鋼結構的78個臨時支撐鋼柱，鋼結構在獨立承擔重力后將出現(xiàn)不同程度的下沉，最大下沉距離不超過30厘米。根據(jù)設計要求，外圈的下降總量將控制在67—70毫米，中圈161—178毫米，內圈208—286毫米。3．位移——結構桿件橫載面的位置發(fā)生的移動（1）撓曲線——梁的變形曲線稱為撓曲線。（2）撓度——梁橫截面沿與梁軸線垂直方向的線位移稱為梁的撓度。（3）轉角——截面繞中性軸轉過一角度，稱為該點處橫截面的轉角。它等于撓曲線上這點處的斜率。如圖所示梁變形后的曲線稱為撓曲線，其曲線方程稱為撓曲線方程。另截面撓度為截面位置的單值連續(xù)函數(shù)，且在小變形情況下，截面轉角：小變形即撓曲線上任意點的斜率為該點處橫截面的轉角。4．求位移兩種方法（1）撓曲線方程：確定梁的位移方便。（2）單位荷載法及圖乘法：確定結構的位移方便，不但適用于荷載產生的位移，而且可求支座移動、溫度變化所引起的位移。11-2梁的撓曲線近似微分方程及其積分純彎曲梁

剪切彎曲，當梁的高跨比較小（h/l<1/5）而成為細長梁時，剪力對變形的影響比較小，上述公式仍然實用。但是ρ、M不再是常量

從高等數(shù)學中知曲率公式：在小變形時，w(x)極其平坦，1+(dw/dx)21，所以上式可以簡化為

正負號fxM>0fxM<0對于等截面直梁，撓曲線近似微分方程可寫成如下形式：二、求撓曲線方程（彈性曲線）1.微分方程的積分2.位移邊界條件PABCPD討論：①適用于小變形情況下、線彈性材料、細長構件的平面彎曲。②可應用于求解承受各種載荷的等截面或變截面梁的位移。③積分常數(shù)由撓曲線變形的幾何相容條件（邊界條件、連續(xù)條件）確定。④優(yōu)點：使用范圍廣，直接求出較精確；缺點：計算較繁。支點位移條件：連續(xù)條件：光滑條件：PABCPD例1

求下列各等截面直梁的彈性曲線、最大撓度及最大轉角。建立坐標系并寫出彎矩方程寫出微分方程并積分解：PLxf應用位移邊界條件求積分常數(shù)xfPL寫出撓曲線方程并畫出曲線端點處：最大撓度及最大轉角例2簡支梁撓曲線解：建立坐標系并寫出彎矩方程寫出微分方程并積分qABLx應用位移邊界條件求積分常數(shù)寫出彈性曲線方程并畫出曲線最大撓度及最大轉角qABLx11-3疊加法一、載荷疊加：多個載荷同時作用于結構而引起的變形

等于每個載荷單獨作用于結構而引起的變形的代數(shù)和。撓度：轉角：例1按疊加原理求AC點轉角撓度PP=+AAABBBCaa解、載荷分解如圖由梁的簡單載荷變形表，查簡單載荷引起的變形。疊加qPP=+AAABBBCaa例2如圖所示懸臂梁，其抗彎剛度EI為常數(shù)，求B點位移及轉角。

Fl/2ql/2ABC解：1)在F作用下2)在q作用下ABqABCyBqyCqqCqqBFFyBFB查表：C3)在q和F共同作用下11-4單位荷載法&外力的功實功：例如：力在本身引起的位移上作的功。虛功:力在其它因素引起的位移上作的功。力與位移是彼此無關的量，分別屬于同一體系的兩種彼此無關的狀態(tài)。例如：W12=P1·△2&變形體的虛功原理

變形體平衡的必要和充分條件是：對任意微小虛位移，外力所作的虛功總和等于此變形體各微段上內力所作的變形虛功總和。即

W外=W內W外——外力虛功

W內——內力虛功變力做功—貯能外力緩慢做功W，無損失地轉化為變形位能U，貯存于彈性體內部：U=W進而計算可變形固體的位移、變形和內力，稱為能量方法。

P

廣義力（力，力偶）△廣義位移（線，角位移）11-4-2線彈性桿件的變形位能1.軸向拉壓桿的變形能計算

微元dx上軸力N(x)做功2.扭轉桿的變形能計算

微元dx上扭矩T(x)做功3.彎曲桿的變形能計算微元dx上彎矩M(x)做功四、變形能的普遍表達式1、軸力、扭矩和彎矩各自的變形垂直,相互不做功

2、變形能與加載次序無關，位能相互疊加（略掉剪力

的影響）(例題：11-6,7)11-4-3單位荷載法1．研究的對象：一般為線彈性變形情況下靜定結構的位移計算。(包括梁、剛架、桁架等各種結構)2．理論依據(jù)（1）變形位能在數(shù)值上等于外力在變形過程中所作的功。（適用于所有的變形體）加載方式假定：外力由零逐漸增大，變形過程中動能始終為零。（2） （適用于線彈性的梁）對應一般結構變形協(xié)調的位移狀態(tài)(P)平衡的力狀態(tài)(i)如圖示，求k點豎向位移.由變形體虛功方程:δWe=δWi

δWe=PΔiP，P=1δWi=Σ∫[NiδεP+QiδγP+MiδθP]ds

ΔiP=Σ∫[NiδεP+QiδγP+MiδθP]ds

----適用于各種桿件體系(線性,非線性).線彈性時對于由線彈性直桿組成的結構，有：適用于線彈性直桿體系桿件結構位移計算的一般公式受彎梁：拉壓桿：注意事項注:1)適用于靜定結構和超靜定結構;2)材料可以是彈性的也可是非彈性的;3)產生位移的原因可以是各種因素;4)既考慮了彎曲變形也考慮了剪切變形和軸向變形對位移的影響；5)一般公式右邊三項乘積,當力與變形的方向一致時,乘積取正。

通過虛設單位廣義力作用的力狀態(tài)，利用虛功方程求位移的方法—單位荷載法。虛擬狀態(tài)的設置：在應用單位荷載法計算時，應據(jù)所求位移不同，設置相應的虛擬單位力狀態(tài)。

例1：已知圖示粱的E、G,求A點的豎向位移。l解：構造虛設單位力狀態(tài).對于細長桿,剪切變形對位移的貢獻與彎曲變形相比可略去不計.位移方向是如何確定的?例2求圖示剛架A點的豎向位移△Ay。E、A、I為常數(shù)。ABCqLLA`實際狀態(tài)虛擬狀態(tài)ABC1解：1.設置單位力狀態(tài)xx選取坐標如圖。則各桿彎矩方程為:AB段：BC段：2.實際狀態(tài)中各桿彎矩方程為AB段：BC段：MP=MP=xx3.可得：△Ay=，()=(-x)(-2qx2)EIdx+(-L)(-2qL2)EIdx討論1.梁和剛架△KP=2.桁架△KP=3.組合結構△KP=在實際計算時，根據(jù)結構的具體情況,位移計算公式可以簡化：11-5圖乘法△KP=1.圖乘法:計算梁和剛架在荷載作用下的位移時，要計算下面的積分（1）桿軸為直線；（2）EI=常數(shù)；和M兩個彎矩圖中至少有一個是直線圖形。（3）當結構符合下述條件時：上述積分可以得到簡化，積分式可用和M圖形互乘表示設等截面直桿AB段的兩個彎矩圖中，為一段直線，MP圖為任意形狀，則上式中的ds可用dx代替。故且tan=常數(shù)，則積分為：MP圖xy面積ABOABMPdxd=MPdxx⌒MP圖xy形心C面積ABOABMPdxd=MPdxxxCyCyC=xCtg⌒有而

則積分運算化簡為一個彎矩圖的面積乘以其形心處所對應的另一個直線彎矩圖上的豎標yC。

如果結構上所有各桿段均可圖乘則位移計算公式可寫成△KP=2.圖乘法的注意事項（1）必須符合上述三個前提條件（2）豎標yC只能取自直線圖形（3）與yC若在桿件同側則乘積取正號，反之取負號。3.常用的幾種簡單圖形的面積和形心Lh2L/3L/3形心Lhab（L+a)/3(L+b)/3形心Lh二次拋物線頂點L/2二次拋物線Lh3L/4L/43L/85L/8121=2(hL)/32=(hL)/3頂點4.圖乘的技巧：

當圖形的面積和形心位置不便確定時，將它分解成簡單圖形，之后分別與另一圖形相乘，然后把所得結果疊加。MP圖abcdL則ya=2/3×c+1/3×dyb=1/3×c+2/3×dMP圖abcdyayb此時ya=2/3×c－1/3×dyb=2/3×d－1/3×cybya當yC所屬圖形是由若干段直線組成時，或各桿段的截面不相等時，均應分段相乘，然后疊加。123y1y2y3123y1y2y3△=

(1y1+2y2+3y3)I1I2I3△=例求下圖所示剛架C、D兩點間距離的改變。設EI=常數(shù)。ABCDLhqMP圖11hhyC=h形心解：1.作實際狀態(tài)的MP圖。2.設置虛擬狀態(tài)并作。3.（→←）?CD=∑EI=EI1(328qL2L)h=12EIqhL3yC例求圖示剛架A點的豎向位移△Ay。ABCDEIEI2EIPLLL/2解：1.作MP圖、PPLMP圖1L；2.圖乘計算?！鰽y=（↓）∑EIyC=EI1(2L?L2PL(L?4=16EIPL2)-2EI123L)PL2EIEIEI例求圖示外伸梁C點的豎向位移△Cy。EI=常數(shù)。qABCL圖11y2y3+解：1.作MP圖2.作圖3.圖乘計算y1=y2=y3=△Cy=y1MP圖2311-6線彈性體的互等定理&功的互等定理應用條件:1)σ<σP;2)小變形。即:線性變形體系。1.功的互等定理:P1P2①N1

M1

Q1F1F2②N2

M2

Q2即線彈性體上第一組外力（已達最終值）在由第二組外力引起的相應位移上所作的總虛功，等于第二組外力（已達最終值）在由第一組外力引起的相應位移上所作的總虛功。功的互等定理2.位移互等定理PPD=D212121若：P1=1，P2=1②P2P1①Δ21Δ12

由單位荷載P1=1所引起的與荷載P2相應的位移δ21等于由單位荷載P2=1所引起的與荷載P1相應的位移δ12。注意:1）這里荷載可以是廣義荷載,位移是相應的廣義位移。2）δ12與δ21不僅數(shù)值相等，量綱也相同。3反力互等定理k11k21k22k12kck×+×=221120ckk×+×221110c1=1c2=1

在任一線性變形體系中，由單位位移C1=1所引起的與位移C2相應的反力r21等于由單位位移C2=1所引起的與位移C1相應的反力r12。

注意:1）這里支座位移可以是廣義位移,反力是相應的廣義力。2）反力互等定理僅用與超靜定結構。11-7結構的剛度校核對于產生彎曲變形的桿件，在滿足強度條件的同時，為保證其正常工作還需對彎曲