級(jí)

數(shù)

與

多

元

微

積

分

SeriesandCalculousinSeveralVariables授課教師：胡鵬彥授課對(duì)象：05本科第十二章數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)§1級(jí)數(shù)的收斂性§2正項(xiàng)級(jí)數(shù)§3一般項(xiàng)級(jí)數(shù)§1級(jí)數(shù)的收斂性定義給定一個(gè)數(shù)列{un},對(duì)它的各項(xiàng)依次用“”號(hào)連接起來的表達(dá)式(1)稱為數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)或無窮級(jí)數(shù)(也簡(jiǎn)稱級(jí)數(shù)),其中un稱為數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)(1)的通項(xiàng).數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)(1)常記作:或簡(jiǎn)單寫作§1級(jí)數(shù)的收斂性數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)(1)的前n項(xiàng)之和記為(2)稱它為數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)(1)的第n個(gè)部分和,也簡(jiǎn)稱為部分和.§1級(jí)數(shù)的收斂性定義若數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)(1)的部分和數(shù)列{Sn}收斂于S,即則稱數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)(1)收斂,稱S為數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)(1)的和,記作或若{Sn}是發(fā)散數(shù)列,則稱數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)(1)發(fā)散.§1級(jí)數(shù)的收斂性例1討論等比級(jí)數(shù)(也稱為幾何級(jí)數(shù))的斂散性(a0).例2討論數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性.§1級(jí)數(shù)的收斂性級(jí)數(shù)與數(shù)列斂散性的聯(lián)系:級(jí)數(shù)斂散性與其部分和數(shù)列的斂散性是相同的,一個(gè)級(jí)數(shù)對(duì)應(yīng)一個(gè)部分和數(shù)列,同時(shí)一個(gè)數(shù)列可以作為某個(gè)級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列.§1級(jí)數(shù)的收斂性數(shù)列收斂的柯西(Cauchy)準(zhǔn)則要條件是:任給正數(shù)

,總存在正整數(shù)N,使得當(dāng)mN以及任意的正整數(shù)

p,都有數(shù)列{an}收斂的充§1級(jí)數(shù)的收斂性定理12.1(級(jí)數(shù)收斂的柯西準(zhǔn)則)要條件是:任給正數(shù)

,總存在正整數(shù)N,使得當(dāng)mN以及任意的正整數(shù)

p,都有推論若級(jí)數(shù)(1)收斂,則級(jí)數(shù)(1)收斂的充§1級(jí)數(shù)的收斂性正整數(shù)N,存在m0

N以及正整數(shù)

p0,有級(jí)數(shù)(1)發(fā)散的充要條件是:存在正數(shù)0

,對(duì)任何§1級(jí)數(shù)的收斂性例3討論調(diào)和級(jí)數(shù)的斂散性.例4應(yīng)用級(jí)數(shù)收斂的柯西準(zhǔn)則證明級(jí)數(shù)收斂.§1級(jí)數(shù)的收斂性定理12.2若級(jí)數(shù)un與vn都收斂,則對(duì)任意常數(shù)c,d,級(jí)數(shù)cundun也收斂,且定理12.3去掉、增加或改變級(jí)數(shù)的有限個(gè)項(xiàng)并不改變級(jí)數(shù)的斂散性.定理12.4在收斂級(jí)數(shù)的項(xiàng)中任意加括號(hào),既不改變級(jí)數(shù)的收斂性,也不改變它的和.§1級(jí)數(shù)的收斂性若級(jí)數(shù)un收斂,其和為S,則級(jí)數(shù)第n個(gè)余項(xiàng)(或簡(jiǎn)稱余項(xiàng)),它表示以部分和Sn代(8)也收斂,且其和Rn

S

Sn.(8)式稱為級(jí)數(shù)un的替S時(shí)所產(chǎn)生的誤差.§2正項(xiàng)級(jí)數(shù)定理12.5正項(xiàng)級(jí)數(shù)un收斂的充要條件是:部分和數(shù)列{Sn}有界,即存在某正數(shù)M,對(duì)一切正整數(shù)n有SnM.一正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性的一般判別原則若數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)各項(xiàng)的符號(hào)都相同,則稱它為同號(hào)級(jí)數(shù).由正數(shù)項(xiàng)組成的級(jí)數(shù)稱為正項(xiàng)級(jí)數(shù).§2正項(xiàng)級(jí)數(shù)例1考察的收斂性.定理12.6(比較原則)設(shè)un和vn是兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù),若存在某正數(shù)N,對(duì)一切nN都有則(i)若級(jí)數(shù)vn收斂,則級(jí)數(shù)un也收斂;(ii)若級(jí)數(shù)un發(fā)散,則級(jí)數(shù)vn也發(fā)散.(1)§2正項(xiàng)級(jí)數(shù)推論則設(shè)(i)當(dāng)0

l

時(shí),級(jí)數(shù)(3)與(4)斂散性相同;(ii)當(dāng)l

0且級(jí)數(shù)(4)收斂時(shí),級(jí)數(shù)(3)也收斂;(iii)當(dāng)l且級(jí)數(shù)(4)發(fā)散時(shí),級(jí)數(shù)(3)也發(fā)散.(3)(4)是兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù),若(5)§2正項(xiàng)級(jí)數(shù)例2例3考察的收斂性.考察的收斂性.§2正項(xiàng)級(jí)數(shù)定理12.7(達(dá)朗貝爾(D’Alembert)判別法或比式判別法)設(shè)un為正項(xiàng)級(jí)數(shù),且存在某正數(shù)N0及常數(shù)q

0

q

1(i)若對(duì)一切n

N0,成立不等式則級(jí)數(shù)un收斂.(ii)若對(duì)一切n

N0,成立不等式二比式判別法和根式判別法則級(jí)數(shù)un發(fā)散.(7)(8)§2正項(xiàng)級(jí)數(shù)推論1(比式判別法的極限形式)則若un為正項(xiàng)級(jí)數(shù),且(i)當(dāng)q

1時(shí),級(jí)數(shù)un收斂;(ii)當(dāng)q

1或

q

時(shí),級(jí)數(shù)un發(fā)散.(9)比式判別法的極限形式在

q

1時(shí)是失效的.§2正項(xiàng)級(jí)數(shù)例4討論級(jí)數(shù)

例5的斂散性.討論級(jí)數(shù)nxn1x0的斂散性.§2正項(xiàng)級(jí)數(shù)定理12.8(柯西(Cauchy)判別法或根式判別法)設(shè)un為正項(xiàng)級(jí)數(shù),且存在某正數(shù)

N0及正常數(shù)

l,(i)若對(duì)一切n

N0,成立不等式則級(jí)數(shù)un收斂.(ii)若對(duì)一切n

N0,成立不等式則級(jí)數(shù)un發(fā)散.(11)(12)§2正項(xiàng)級(jí)數(shù)推論1(根式判別法的極限形式)若un為正項(xiàng)級(jí)數(shù),且則(i)當(dāng)l

1時(shí),級(jí)數(shù)un收斂;(ii)當(dāng)l

1時(shí),級(jí)數(shù)un發(fā)散.例7研究級(jí)數(shù)的斂散性.根式判別法的極限形式在

l

1時(shí)是失效的.(13)§2正項(xiàng)級(jí)數(shù)根式判別法與比式判別法的關(guān)系凡能用比式判別法鑒別斂散性的級(jí)數(shù),也能用根式判別法來判斷,而且根式判別法較之比式判別法更有效.§2正項(xiàng)級(jí)數(shù)定理12.9設(shè)f為[1,)上非負(fù)減函數(shù),那么正項(xiàng)級(jí)數(shù)三積分判別法同時(shí)收斂或同時(shí)發(fā)散.f(n)與反常積分例9討論p級(jí)數(shù)的斂散性.例10討論下列級(jí)數(shù)的斂散性.§2正項(xiàng)級(jí)數(shù)定理12.10(拉貝(Baabe)判別法存在某正數(shù)

N0及常數(shù)

r,(i)若對(duì)一切n

N0,成立不等式則級(jí)數(shù)un收斂.(ii)若對(duì)一切n

N0,成立不等式則級(jí)數(shù)un發(fā)散.四拉貝判別法設(shè)un為正項(xiàng)級(jí)數(shù),且§2正項(xiàng)級(jí)數(shù)推論(拉貝判別法的極限形式)若un為正項(xiàng)級(jí)數(shù),且存在,則(i)當(dāng)r

1時(shí),級(jí)數(shù)un收斂;(ii)當(dāng)r

1時(shí),級(jí)數(shù)un發(fā)散.拉貝判別法的極限形式在

r

1時(shí)是失效的.§3一般項(xiàng)級(jí)數(shù)若級(jí)數(shù)的各項(xiàng)符號(hào)正負(fù)相間,即則稱(1)為交錯(cuò)級(jí)數(shù).一交錯(cuò)級(jí)數(shù)定理12.11(萊布尼茨判別法)若交錯(cuò)級(jí)數(shù)(1)滿足:則級(jí)數(shù)(1)收斂.(i)數(shù)列{un}單調(diào)遞減;(1)(ii)§3一般項(xiàng)級(jí)數(shù)推論若級(jí)數(shù)(1)滿足萊布尼茨判別法的條件,則收斂級(jí)數(shù)(1)的余項(xiàng)估計(jì)式為§3一般項(xiàng)級(jí)數(shù)若級(jí)數(shù)各項(xiàng)絕對(duì)值所組成的級(jí)數(shù)二絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)及其性質(zhì)(5)(6)收斂,則稱原級(jí)數(shù)(5)為絕對(duì)收斂.定理12.12絕對(duì)收斂的級(jí)數(shù)一定收斂.考察絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)可用正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性判別法.§3一般項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性.若級(jí)數(shù)(5)收斂,但級(jí)數(shù)(6)不收斂,則稱例1考察級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)(5)為條件收斂.§3一般項(xiàng)級(jí)數(shù)1.級(jí)數(shù)的重排稱為正整數(shù)列的重排,數(shù)列{un}按映射把正整數(shù)列到它自身的一一映射所得的數(shù)列{ukn}稱為數(shù)列的重排.即把級(jí)數(shù)寫成(7)為級(jí)數(shù)(5)的重排.記而稱級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì):§3一般項(xiàng)級(jí)數(shù)定理12.13設(shè)級(jí)數(shù)(5)絕對(duì)收斂,且其和等于S,則任意重排后所得的級(jí)數(shù)(7)也絕對(duì)收斂,且有相同的和數(shù).注:由條件收斂級(jí)數(shù)重排得到的級(jí)數(shù)不一定收斂,即使收斂,也不一定收斂于原來的級(jí)數(shù)的和.§3一般項(xiàng)級(jí)數(shù)設(shè)有收斂級(jí)數(shù)2.級(jí)數(shù)的乘積(11)(12)(13)§3一般項(xiàng)級(jí)數(shù)可用正方形順序或?qū)蔷€順序依次相加得到級(jí)數(shù).(14)§3一般項(xiàng)級(jí)數(shù)(15)§3一般項(xiàng)級(jí)數(shù)定理12.14(柯西定理)若級(jí)數(shù)(11)和(12)都絕對(duì)收斂,則對(duì)(13)中所有乘積uivj按任意順序排列所得的級(jí)數(shù)wn也絕對(duì)收斂,且其和等于AB.§3一般項(xiàng)級(jí)數(shù)引理(分部求和公式,也稱阿貝耳變換)設(shè)i,vi(i1,三阿貝耳判別法和狄利克雷判別法2,,n)為兩組實(shí)數(shù),若令則有如下分部求和公式成立(18)§3一般項(xiàng)級(jí)數(shù)推論(阿貝耳引理)若(i)1,2,,n是單調(diào)數(shù)組;(ii)對(duì)任一正整數(shù)k

1

k

n有|k

|

A這里(19)則記時(shí),有k

v1vn,§3一般項(xiàng)級(jí)數(shù)定理12.15(阿貝耳判別法)若{an}為單調(diào)有界數(shù)列,級(jí)數(shù)bn